待定系数法

待定系数法

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等．

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ① 利用对应系数相等列方程；

② 由恒等的概念用数值代入法列方程；

③ 利用定义本身的属性列方程；

④ 利用几何条件列方程．

比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程．

Ⅰ、再现性题组：

x -1＋m ，f(x)的反函数f (x)＝nx －5，那么m 、n 的值依次为_____． 2

5555A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2 22221122. 二次不等式ax ＋bx ＋2>0的解集是(－, ) ，则a ＋b 的值是_____． 231. 设f(x)＝

A. 10 B. －10 C. 14 D. －14

3. 在(1－x ) （1＋x ）310的展开式中，x 的系数是_____． 5

A. －297 B.－252 C. 297 D. 207

4. 函数y ＝a －bcos3x (b

正周期是_____．

5. 与直线L ：2x ＋3y ＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L ’的方程是_______________．

6. 与双曲线x 2y 2

－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是4

____________．

x -1＋m 求出f (x)＝2x －2m ，比较系数易求，选C ； 2

111122小题：由不等式解集(－, ) ，可知－、是方程ax ＋bx ＋2＝0的两根，代入2323【简解】1小题：由f(x)＝

两根，列出关于系数a 、b 的方程组，易求得a ＋b ，选D ；

3小题：分析x 的系数由C 10与(－1)C 10两项组成，相加后得x 的系数，选D ；

4小题：由已知最大值和最小值列出a 、b 的方程组求出a 、b 的值，再代入求得答案55252π； 3

5小题：设直线L ’方程2x ＋3y ＋c ＝0，点A(1,-4)代入求得C ＝10，即得2x ＋3y ＋10＝0；

x 2y 2y 2

6小题：设双曲线方程x －＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1． 43122

Ⅱ、示范性题组：

mx 2+43x +n 例1. 已知函数y ＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式． x 2+1

【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m 、n 的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”．

【解】 函数式变形为： (y－m)x －43x ＋(y－n) ＝0， x∈R, 由已知得y －m ≠0 ∴ △＝(－4) －4(y－m)(y－n) ≥0 即： y－(m＋n)y ＋(mn－12) ≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y －(m＋n)y ＋(mn－12) ＝0的两根， 2222

代入两根得：⎨⎧m =5⎧m =1⎧1+(m +n ) +mn -12=0 解得：⎨或⎨ n =1n =5⎩⎩⎩49-7(m +n ) +mn -12=0

5x 2+43x +1x 2+43x +5∴ y＝或者y ＝ x 2+1x 2+1

此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7) ≤0, 即y －6y －7≤0，然后与不等式①比较2

⎧m +n =6系数而得：⎨，解出m 、n 而求得函数式y ． mn -12=-7⎩

【注】 在所求函数式中有两个系数m 、n 需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m 、n 的关于y 的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m 、n ．两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m 、n 的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m 、n 的方程组求解．本题要求对一元二次不等式的解