十字交叉法

十字交叉法

十字交叉法是快速求解二元混合问题的一种常见的有效方法．若a 1、a 2分别表示某二元混合物中的两种组分A 、B 的量，a 为a 1、a 2的加权平均值而非算术平均值，则n A /nB 为二元混合．．体系中的A 和B 的组成比．则：

A a12－a

n A

＝a 2-a „(1) n B a -a 1

a B a2 a －a 1，

二元混合物凡能满足下列关系的均可用以上方法． a 1·n A ＋a 2·n B ＝a (nA ＋n B ) 或 a ＝

a 1⋅n A +a 2⋅n B n A n B

＝a 1·＋a 2·

n A +n B n A +n B n A +n B

[

＝a 1·A%＋a 2·B% „(2) 1. 加权平均值和算术平均值有何区别？ 以上(2)中表示的均为加权平均值，其中A%＝B%＝

n B

×100%＝1－A%.

n A +n B

n A

×100%，

n A +n B

A%、B% 即a 1、a 2在计算a 时所占的权重，a 为加权平均值．

若为算术平均值，则a '＝

a 1+a 2

. 2

显然，只有当A%＝B%＝50% 时，a ＝a '．一般是不相等的，a 不仅与a 1、a 2有关，更与各自在混合物中的权重有关． ．．

2.

n A

表示什么量之比？ n B

n A

是什么量之比却模糊不清，有些不符合加权平n B

不少学生滥用十字交叉法，但交叉出的

均计算关系式的问题，乱用十字交叉法，势必导致错误结果．

n A

表示什么量之比，要视参加交叉的a 1、a 2、a 的意义而定，a 1、a 2、a 的量纲中分母是n B

何种物理量，

n A

就是该物理量之比．在不同的情况，它可以是物质的量之比、气体体积之比、n B

质量之比、原子个数比等．

3. 宜用范围

(1)根据二元混合物的平均分子量，求两元的物质的量之比．若为气体也即体积之比． （此类情况最为熟悉，不再赘述）

(2)根据只含2种同位素的元素的平均原子量，求两种同位素原子的个数比或物质的量之比或在自然界中的百分含量（也称作丰度）．

为何直接求出的不是质量之比或体积之比呢？

元素的平均原子量在数值上等于原子的平均摩尔质量，与平均分子量同理．

M ＝

n A M A +n B M B

＝M A ·A%＋M B ·B%.

n A +n B

其中：n A /nB 的求法即可用十字交叉法． MA B －M

n A M -M

＝B

M n M -M B A

MB M －M A

n A n

是何种物理量之比，只需找出M 的量纲，其分母为mol ，故A 是物质的量之比，不n B

n B

可能为质量之比或原子的体积之比．

1 若题目要求两种同位素原子的质量之比，可先用十字交叉法求出物质的量之比后，再分别乘以各原子的摩尔质量．

m A n ⋅M A (M B -M ) ⋅M A

＝A ＝ m B n B ⋅M B (M -M A ) ⋅M B

o

2 若提供的是两种同位素原子的质量分数A%、B%， 要求元素的平均原子量，则可用如下列关系直接求解.

M ＝

o

m 总n 总

＝

100A B +M A M B

g/mol

11

例1、硼有两种天然同位素10已知B 元素的原子量为10.80．下列对B 元素中105B 、5B ，5B

的质量分数的判断正确的是（ ）

Ａ. 等于20% Ｂ. 略大于20% Ｃ. 略小于20% Ｄ. 等于80% 解 ①先求出物质的量之比

105B 1

4

10.80 115B 11 0.80

10

5B 的物质的量的分数为

1

×100%＝20%. 4+1

1⨯1010

的质量分数为×100%＜20%. B 5

5⨯11

答案：Ｃ．

(3)同种溶质不同质量分数(A%、B%)的溶液混合而成质量分数为C%的溶液，求所取溶液的质量之比m A :mB .

根据混合前后溶质质量守恒，得

m A ·A%＋m B ·B%＝(mA ＋m B ) ·C% 或 C%＝该式满足十字交叉法加权平均关系 －C)%

m A B -C

＝ m C -A B m A ⋅A %+m B ⋅B %

.

m A +m B

B% (C－A)%

注意：用十字交叉法求出只能是两种溶液质量的质量比，不能是体积之比．

(4)根据两种有机物形成混合物的平均组成，来求两种有机物的物质的量之比．可选用平均C 原子数或平均H 原子数、平均O 原子数来求解．（此类情况在有机计算中已作叙述）．

(5)有关反应热的问题

例2、已知下列两个热化学方程式 2H2(g)＋O 2(g)＝2H 2O(l)＋571.6KJ

C3H 8(g)＋5O 2(g)＝3CO 2(g)＋4H 2O(l)＋2220.0KJ.

实验测得H 2、C 3H 8混合气体共5mol 完全燃烧时放热3847KJ ，则原混合气体中H 2、C 3H 8的体积比是（ ）

Ａ.1:3 Ｂ.3:1 Ｃ.1:4 Ｄ.1:1 解析 是求出每摩 H2、C 3H 8完全燃烧时放出的热量，然后用十字交叉法求出． H2n H 2n C 3H 8

＝

1450. 6

≈ 3

483. 6

1

C3H 8 2220.0 483.6 答案：Ｂ．

(6)结合有关反应的计算

例3、有1.5L 的C 2H 4和C 2H 2组成的混合气体，恰好能与同条件下的2.7L 的H 2完全加成生成乙烷，则原混合气体中C 2H 4、C 2H 2的体积比为（ ）

Ａ.1:1 Ｂ.1:2 Ｃ.1:4 Ｄ.4:1

解析 每1L C 2H 4、C 2H 2分别加氢，消耗H 2的量为1L 、2L ，平均每1L 混合气体加H 2量为＝1.8(L)，可用十字交叉法求解．

C 2H 42. 7

1. 5

V C 2H 4V C 2H 2

＝

10. 2

＝ 0. 84

C 2H 2 2 0.8

例4、 Li2CO 3和BaCO 3的混合物与盐酸完全反应，所消耗盐酸的量与等质量的CaCO 3和同浓度的盐酸反应所消耗盐酸的量相等．则混合粉末中Li 2CO 3和BaCO 3的质量之比为 （ ）

Ａ.3:5 Ｂ.5:3 Ｃ.7:5 Ｄ.5:7 解析 首先请判断用下列十字交叉法求出两者之比是什么量之比． Li 2CO 397 26＝?

BaCO 3 197 26

若设均与2 mol HCl 反应，则所需的Li 2CO 3、BaCO 3、CaCO 3各1 mol ，摩尔质量分别为74g/mol、197g/mol、100g/mol.故上面用十字交叉法求出的是Li 2CO 3和BaCO 3的物质的量之比．然后换算为质量比．

n Li 2CO 3n BaCO 3

＝

m Li 2CO 39797⨯747

⇒ ＝＝.

m BaCO 326⨯197526

例5、 Na、Al 混合物0.2 mol溶于足量盐酸，产生H 2 3.136mL(S.T.P)，求Na 、Al 的物质的量之比．

解析 Na ～ 1mol

13H 2 Al ～ H 2 2213

mol 1mol mol 22

混合金属 ～H 2 0.2mol

3. 136

mol 22. 4

1mol 0.7mol

Al 1.5 0.2

n Na 0. 84

== n Al 0. 21

例6、原计划实现全球卫星通讯需发射77颗卫星，这与铱(Ir)元素的原子核外电子数恰好相等, 因此称为“铱星计划”。

(1)已知铱的一种同位素是19177Ir, 则其核内的中子数是 ( ) A ．77 B ．114 C ．191 D ．268

(2)已知自然界中铱有两种质量数分别为191和193的同位素，而铱的平均原子量为192.22，这两种同位素的原子个数比应为 ( )

A ．39︰61 B ．61︰39 C ．1︰1 D ．39︰11

方法：（1）可利用“质量数＝质子数+中子数”求解，（2）利用“十字交叉”求解。 捷径：（1）根据“质量数＝质子数+中子数”知：中子数＝191－77＝114。选B 。 （1） 利用“十字交叉”可得：

以此19177Ir 与19377Ir 两种同位素的原子个数比为：0.78︰1.22=39︰61，得答案为A 。 例7、由CO 2、H 2、和CO 组成的混合气在同温同压下与氮气的密度相同。则该混合气中CO 2、H 2、和CO 的体积比为 ( )

A ．29︰8︰13 B ．22︰1︰14 C ．13︰8︰29 D ．26︰16︰57 方法：将题中三种气体的式量与氮气的式量作比较，找出其间的联系，然后用“十字交叉”求解。

193

77Ir 191

77Ir

193

193－192.22 = 0.78

192.22－191 = 1.22

捷径：由于CO 在同温同压下时的密度与N 2相同，所以CO 的含量为任意值。只要CO 2与H 2的混合气体密度等于N 2，即平均相对分子质量等于28便满足题意。利用“十字交叉”可求得CO 2与H 2的体积比，即：

CO 2 44

28

28－2 = 26

H 2 2 44－28 = 16

只要在在同温同压下混合气中CO 2与H 2的体积比满足26︰16或13︰8即可。以此得答案为CD 。

例8、已知Fe 2O 3在高炉中有下列反应：Fe 2O 3＋CO →2FeO ＋CO 2，反应形成的固体混和物（Fe 2O 3、FeO ）中，元素铁和氧的质量比用 m Fe ︰m O 表示。

（1）上述固体混和物中，m Fe ︰m O 不可能是 （选填 a 、b 、c 多选扣分） （a ）21︰9 （b ）21︰7.5 （c ） 21︰6 （2）若m Fe ︰m O ＝21︰8，计算Fe 2O 3被CO 还原的百分率

（3）设 Fe 2O 3被CO 还原的百分率为A ％，则A ％和混和物中m Fe ︰m O 的关系式为（用含m Fe 、m O 的代数式表示）。

A ％＝ 请在下图中画出A%和m Fe /mO 关系的图形。

（4）如果 Fe 2O 3和CO 的反应分两步进行： 3Fe 2O 3＋CO →2Fe 3O 4＋CO 2 ，Fe 3O 4＋CO →3FeO ＋CO 2

试分析反应形成的固体混和物可能的组成及相应的m Fe ︰m O （令m Fe ︰m O ＝21︰a ，写出a 的取值范围）。将结果填入下表。

方法：利用十字交叉及数形结合方法解题。

捷径：（1）Fe 2O 3中m Fe ︰m O =(56×2) ︰(16×3)=21︰9，在FeO 中m Fe ︰m O =56︰16=7︰2，在Fe 2O 3和FeO 的混合物中，m Fe ︰m O 应介于21︰9 ~ 21︰6之间，所以不可能是21︰9或21︰6 。故选a 、c 。

（2）解法一：因为Fe 2O 3中m Fe ︰m O =21︰9，FeO 中m Fe ︰m O =21︰6，在混合物中

Fe 2O 3与FeO 物质的量之比可通过十字交叉确定为： FeO 6

Fe 2O 3 9

8

2

1

被还原Fe 2O 3的百分率为：

解法二：

设原有Fe 2

O

3物质的量为 1 mol，还原率为 A%，则混合物中有（1—A%）molFe 2O 3和2A% mol的Fe 。

（4）可能组成的混合物是Fe 2O 3、Fe 3O 4，Fe 3O 4、FeO ，Fe 2O 3、Fe 3O 4、FeO ，其中Fe 3O 4中m Fe ︰m O =(56×3) ︰(16×4)=21︰8，所以有：当混合物是Fe 2O 3、Fe 3O 4时，8＜a ＜ 9，当混合物是Fe 3O 4、FeO 时6＜a ＜ 8，当混合物是Fe 2O 3、Fe 3O 4、FeO 时6＜a ＜9 。

例9、有四种不纯的碳酸钠样品，分别含有下列选项中的一种杂质。取等质量的样品，分别向这些样品中加入2mol/L盐酸，均完全反应生成CO 2，且所耗盐酸的体积也均相同。这四种样品中Na 2CO 3的质量百分比最小的是（ ）

A ．KHCO 3 B ．NH 4HCO 3 C ．K 2CO 3 D ．NaHCO 3

方法：将四种杂质中不是正盐的都看作“正盐”，然后与Na 2CO 3比较，通过十字交叉分析求解。

捷径：将四种杂质都看作“正盐”——假设与Na 2CO 3相当，“1mol ”盐消耗2mol 盐酸，则（A ）（B ）(C) (D)的“分子量”依次变为200、158、138和168。各组混合物耗酸量相同时，各组盐的物质的量n 正盐必相等。又因为各组盐的质量相同，所以盐的平均分子量相同。这样，Na 2CO 3与所含杂质物质的量之比则可由下式计算：

欲使Na 2CO 3的含量最小，上式中M （即换量后杂质盐的分子量）值就应最小。M(K2CO 3)=138，最小。故答案为C 。

例10、甲烷和丙烷混合气的密度与同温同压下乙烷密度相同，混合气中甲烷与丙烷的体积比是（ ）

A ．2︰1 B ．3︰1 C ．1︰3 D ．1︰1 方法：通过平均分子量和十字交叉求算。

捷径：因混合气的密度与同温同压下乙烷密度相同，故混合气的平均分子量也与乙烷的分子量相同，即为30，又甲烷的分子量16，丙烷的分子量44。利用十字交叉得：

甲烷 16

44─30

30

30─16

n(CH4) n(C2H 6)

乙烷 44

═

1 1

相同条件下，1︰1既是体积比又是物质的量比，因此选D 。 例11、已知下列两个热化学方程式

2H 2（g ）+ O2（g ）= 2H2O （l ）；△H =－571.6kJ/mol

C 3H 8（g ）+ 5O2（g ）= 3CO2（g ）+4H2O （l ）；△H =－2220 kJ/mol

实验测得氢气和丙烷气体共5mol 完全燃烧放热3847kJ ，则混合气体中氢气与丙烷的体积比是（ ）

A ．1︰3 B ．3︰1 C ．1︰4 D ．1︰1

方法：首先求得混合气体1mol 完全燃烧所放出的热量，再通过十字交叉求其比例。 捷径：氢气和丙烷气体共5mol 完全燃烧放热3847kJ ，则1mol 混合气体所放出的热量为769.4kJ 。根据十字交叉求得其比例为：

氢气 285.8

丙烷 2220

以此得答案为B 。

例12、把100g 10%KNO3溶液的浓度增加到20%，可采用的方法是 A ．蒸发掉45g 水 B ．蒸发掉50g 水 C ．加入10g KNO3固体 D ．加入15g KNO3固体 方法：采取去水或加硝酸钾两种方法，利用十字交叉分别求算。 捷径：①去水加浓。（水的“浓度”视为零）。

上式的意义是20g10%的溶液去掉（负号表示）10g 水即可得20%的溶液，所以100g10%的溶液需去水10/20×100=50（g ），选B 。

②加KNO 3（KNO 3“浓度”视为100%），有

20－10 = 10 KNO 3 100

20

溶液 10

100－20 = 80

水 0 溶液 10

20

10－20 = －10 20－0 = 20

483.6 1450.6

V(H2) V(C3H 8)

3 1

═

需加KNO 3

10

× 100 = 12.5（g ），C 、D 都不能选。 80

本题答案只能是B 。

例13、常温下，一种烷烃A 和一种单烯烃B 组成混合气。A 或B 分子中最多只含4个碳原子，且B 分子的碳原子数比A 分子多。将1 L该混合气充分燃烧，在同温同压下得2.5 LCO2气体，推断原混合气中A 和B 所有可能的组合及其体积比。

方法：先根据混合气的平均碳原子数2.5确定可能的组合，再利用十字交叉求解。 捷径：据题意，1mol 混合烃含碳2.5mol ，且B 的碳原子数多于A ，可能的混合气组成只能是下面4种

A B

① CH 4 C 3H 6 ② CH 4 C 4H 8 ③ C 2H 6 C 3H 6 ④ C 2H 6 C 4H 8

运用十字交叉法（根据碳原子数列式），有： ① CH 4、C 3H 6组成混合气时 CH 4 1

2.5

C 3H 6 3

上式表明，混合时A 和B 的体积比为1︰3（即0.5︰1.5）。

②、③、④种组合时A 与B 的体积比也都可按上法求出，答案分别为1︰1，1︰1，3︰1，具体过程不再重复。

例14、某气态烃A 和B 按2︰3（体积比）混合后，取0.1mol 与一定量氧气混合燃烧，产物为CO 、CO 2和水蒸气。将燃烧产物依次通过足量的浓硫酸、灼热的CuO 及碱石灰，最后碱石灰增重7.04g 。求A 和B 可能的分子式。

方法：根据碱石灰增重即为CO 2的质量，求得烃的平均碳原子数，再结合气态烃A 和B 体积比为2︰3和十字交叉法求得结果。

3－2.5 = 0.5

2.5－1 = 1.5

捷径：（1）碱石灰吸收的CO 2包括燃烧生成的CO 2及CO 转化（还原CuO ）成的CO 2，即0.1mol 混合烃中的C 转化成CO 2的总量，共为7.04g ÷44g/mol=0.16mol 。

可知：1mol 混合烃含碳1.6mol ，所以混合烃一定含CH 4。

（2）设另一烃分子中含x 个碳原子： x －1.6 CH 4 1

另一烃 x 1.6 1.6－1 = 0.6

① 令A 为CH 4，则有

（x —1.6）/ 0.6 = 2/3，解得x=2

B 可能是C 2H 6、C 2H 4、C 2H 2。

② 令B 为CH 4，则有

0.6 /（x —1.6）=2/3，解得x=2.5（不合理，舍去）。

以此得A 的分子式为CH 4，B 的分子式可能为C 2H 6、C 2H 4、C 2H 2。

例15、铁、锌合金8.5g 溶于稀H 2SO 4中，充分反应后制得0.300gH 2，求合金中Fe ，Zn 的含量分别为多少克。

方法：因1mol 铁或锌与稀硫酸作用均产生1molH 2，以此可通过H 2的物质的量求得混合物中铁锌的总物质的量，再利用十字交叉求其比例。

捷径：先求出合金的平均摩尔质量：因Fe → H 2 ，Zn → H 2 ，合金→ H 2，

则合金的平均摩尔质量为：8.5 g /（0.300/2）mol= 59.0g/mol，平均分子量为59.0。

6.0 Fe 56.0 Zn 65.0 3.0

故Fe ，Zn 分别产生H 2的物质的量之比为6.0︰3.0 = 2︰1，从而可知合金中Fe ，Zn 的质量分别为：

m (Fe) = 56g/mol×（0.300/2）mol ×2/3 = 5.60g

m (Zn) = 65g/mol×（0.300/2）mol ×1/3 = 3.25g