圆锥曲线综合题

圆锥曲线综合问题分类精讲

一、弦的垂直平分线问题

例题1.1、过点T(-1,0)作直线l与曲线N:y2=x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得∆ABE是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。

x2

练习1.1、已知椭圆+y2=1的左焦点为F,O为坐标原点。

2

（1）、求过点O、F，并且与x=-2相切的圆的方程；

（2）、设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。

x2y2

练习1.2、设椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，

ab

Q、过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2F1F2+F2Q=0。若过A、

F2三点的圆的半径是2。

（1）、求椭圆C的方程；

（2）、过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上存在点P(m,0)使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形，求m的取值范围。

二、过已知曲线上定点的问题

x2y2

例题2.1、如图，已知点A、B、C是椭圆 E:2+2=1(a>b>0)上的三点，

ab

其中

点A,0是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且

AC BC=0=CA 。C

()

（1）、求点C的坐标以及椭圆E的方程；

（2）、若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC

关于直线x=称，求直线PQ的斜率。

x2y2练习2.1、已知椭圆C:2+2=1(a>b>

0)x轴上的顶点

ab分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 （1）、求椭圆的方程；

（2）、若直线l:x=t(t>2)与x轴交于点T，点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别于椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

三、共线向量问题

x2y2例题3.1、已知椭圆C:2+2=1(a>b>

0)的离心率e=，MN是经过椭圆左

ab焦点F的任一弦，AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦。

（1）、若2MF=5FN，求弦MN所在直线的斜率； （2）、证明：AB是MN和椭圆长轴2a的等比中项。

x2y2练习3.1、如图，已知椭圆E:2+2=1(a>b>

0)，E的左顶点

ab为A、上顶点为B，点P在椭圆上，且∆

PF1F2的周长为4+ （1）、其椭圆的方程；

（2）、设C、D是椭圆E上两不同点，CD AB，直线CD与x轴、y轴分别交

于M、N两点，且MC=λCN，MD=μDN，求λ+μ的取值范围。

四、面积问题

例题4.1、已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1,F2，且

⎛3⎫

F1F2=2，点 1,⎪在椭圆C上。

⎝2⎭

（1）、求椭圆C的方程；

（2）、过F1的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且∆

AF2BF2为圆心且与直线l相切的圆的方程。

，求以

x2y2练习4.1、已知椭圆C:2+2=1(a>b>

0)

ab （1）、求椭圆C的方程；

（2）、设直线l与椭圆C相交于A、B两点，坐标原点O到直线l

求∆AOB面积的最大值。

x2y2练习4.2、已知双曲线C的方程为2-2=1(a>0,b>

0)，离心率e=

ab。 （1）、求双曲线C的方程；

（2）、P是双曲线C上一点，A、B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别

⎡1⎤AP=λPB,λ∈,2⎥，求∆AOB面积的取值范围。 位于第一、第二象限，若⎢3⎣⎦

x2y2

练习4.3、设椭圆2+2=1(a>b>0)的焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0)，直线

ab

l:x=a交x轴于点A，且AF1=2AF2。

2

（1）、试求椭圆的方程；

（2）、过F1,F2分别作互相垂直的两条直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点，若四边形DMEN的面积为

27

，求DE的直线方程。

7

五、角度问题

x2y2

=1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，例题5.1、已知F1,F2是椭圆+

24

且满足PF1 PF2=1，过点P作倾斜角互补的两条直线PA,PB分别交椭圆于A,B两点。

（1）、求点P的坐标；

（2）、求证直线AB的斜率为定值；

（3）、求∆PAB面积的最大值，并求出此时直线AB的方程。

六、定值、定点、存在性问题

x2y2例题6.1、已知椭圆C:2+2=1(a>b>

0)，过右焦点F的直线

abl与C相交于A,B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l

的距离为（1）、求a,b的值；

。 2

2（）、C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP=OA+OB成

立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，请说明理由。

x2y2例题6.2、已知椭圆方程为2+2=1(a>b>

0)，离心率e=，F1,F2分别是

ab椭圆的左、右焦点，过椭圆的左焦点F1且垂直于长轴的直线交椭圆于M,N两点，

且MN=

（1）、求椭圆的方程；

（2）、已知直线l与椭圆相交于P,Q两点，O为坐标原点，且OP⊥OQ，试探 究点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。

x2y2222

例题6.3、已知曲线C1:2+2=1(a>b>0,x≥0)和曲线C2:x+y=r(x≥0)都

ab

过点A(0,-1)，且曲线C

1所在的圆锥曲线的离心率为（1）、求曲线C1和曲线C2的方程；

。 2

（2）、设点B,C分别在曲线C1和曲线C2上，k1,k2分别为直线AB,AC的斜率，当k2=4k1时，问直线BC是否过定点？若过定点，求出顶点坐标；若不过定点，请说明理由。

x2y2

练习6.1、设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆2+2=1(a>b>0)上两点，已知向量

ab

⎛xy⎫ ⎛xy⎫ 11

m= ,⎪，向量n= 2,2⎪，若m

n=0且椭圆的离心率e=短轴长为2，

baba⎝⎭⎝⎭2

O为坐标原点。 （1）、求椭圆的方程；

（2）、若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)，（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值。

（3）、∆AOB的面积是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由。

练习6.2、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1。 （1）、求椭圆C的标准方程；

（2）、若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是做右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

练习6.3、已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个定点恰好是抛物线x2=4y的焦点，

离心率e=点。

（1）、求椭圆的标准方程；

（2）、设点M(m,0)是线段OF上的一个动点，且MA+MB⊥AB，求m的取

F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A,B两()

值范围；

（3）、设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、

B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。

x2y2

练习6.4、如图，在平面坐标系xOy中，椭圆2+2=1(a>b>0)的两焦点分别

ab

为F1

,F2

(

)1⎫，且经过点⎪。

2⎭)

（1）、求椭圆的方程以及离心率；

（2）、设点B,C,D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称。设直线CD,CB,OB,OC的斜率分别为k1,k2,k3,k4，且k1k2=k3k4。 ①求k1k2的值； ②求OB2+OC2的值。