标准教案 简单的逻辑联结词

教学过程

一、 复习预习

复习时应紧扣概念，理清相似概念间的异同点，准确把握逻辑联结词的含义和用法，熟练掌握对含有量词命题的否定的方法．本讲常与其他知识结合，在知识的交汇处命题，试题难度中档偏下．

二、知识讲解

考点/易错点1 1. 简单的逻辑联结词

(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词． (2)简单复合命题的真值表：

考点/易错点2 2. 全称量词与存在量词

(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．

(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等． (3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示． 考点/易错点3

3．全称命题与特称命题

(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题． 考点/易错点4 4．命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p 或q 的否定为：非p 且非q ；p 且q 的否定为：非或非.

注意事项： 一个关系

逻辑联结词与集合的关系

“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题． 两类否定

1．含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题

全称命题p ：∀x ∈M ，p (x ) ，它的否定¬p：∃x 0∈M ，¬p(x 0) ． (2)特称命题的否定是全称命题

特称命题p ：∃x 0∈M ，p (x 0) ，它的否定¬p：∀x ∈M ，¬p(x ) ． 2．复合命题的否定 (1)⌝(p ∧q ) ⇔(¬p) ∨(¬q) ； (2)⌝(p ∨q ) ⇔(¬p) ∧(¬q) ． 三条规律

(1)对于“p ∧q ”命题：一假则假； (2)对“p ∨q ”命题：一真则真；

(3)对“¬p”命题：与“p ”命题真假相反．

三、例题精析

【例题1】

【题干】已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( ) ． A ．¬p：∃x 0∈R ，sin x 0≥1 C ．¬p：∃x 0∈R ，sin x 0>1

B ．¬p：∀x ∈R ，sin x ≥1 D ．¬p：∀x ∈R ，sin x >1

【答案】C

【解析】命题p 是全称命题，全称命题的否定是特称命题．

【例题2】

【题干】若p 是真命题，q 是假命题，则( ) ． A ．p ∧q 是真命题 C ．¬p是真命题

【答案】D

【解析】 本题考查命题和逻辑联结词的基础知识，意在考查考生对逻辑联结词的理解运用能力．只有¬q是真命题．

B ．p ∨q 是假命题 D ．¬q是真命题

【例题3】

【题干】已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(¬p1) ∨p 2和q 4：p 1∧(¬p2) 中，真命题是( ) ． A ．q 1，q 3 C ．q 1，q 4

【答案】C

【解析】可判断p 1为真，p 2为假；则q 1为真，q 2为假，q 3为假，q 4为真．

B ．q 2，q 3 D ．q 2，q 4

【例题4】

5

【题干】已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＞0. 给出

2下列结论

①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“¬p∨¬q”是假命题； ③命题“¬p∨q ”是真命题； ④命题“p ∨¬q”是假命题． 其中正确的是( ) ． A ．②③ C ．③④

【答案】C

【解析】 命题p 是假命题，命题q 是真命题，故③④正确

B ．②④ D ．①②③

四、课堂运用

【基础】

1. 设p 、q 是两个命题，则复合命题“p ∨q 为真，p ∧q 为假”的充要条件是( ) ．

A ．p 、q 中至少有一个为真 C ．p 、q 中有且只有一个为真

答案： C

解析：见答案，考察复合命题的定义

2. 命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是______________________． 答案：存在x 0∈R ，使|x 0－2|＋|x 0－4|≤3 解析：见答案

3. 命题p ：若a ，b ∈R ，则|a |＋|b |＞1是|a ＋b |＞1的充分而不必要条件．命题q ：函数y ＝

|x －1|－2的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞) 则( ) ．

B ．p 、q 中至少有一个为假 D ．p 为真、q 为假

A ．“p 或q ”为假 B ．“p 且q ”为真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真

答案： D

解析：见答案

4. 写出下列命题的非命题：

（1）p:对任意实数x ，均有x 2－2x+1≥0； （2）q ：存在一个实数x ，使得x 2－9=0

（3）“AB ∥CD ”且“AB=CD”；

（4）“△ABC 是直角三角形或等腰三角形”．

答案：（1）存在一个实数x ，使得x 2－2x+1＜0； （2）不存在一个实数x ，使得x 2－9=0； （3）AB 不平行于CD 或AB ≠CD ；

（4）原命题是“p 或q ”形式的复合命题，它的否定形式是：△ABC 既不是直角三角形又不是等腰三角形． 解析：见答案 【巩固】

1. 已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－

ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围．

答案：(0,1]∪[4，＋∞) ．

解析：∵函数y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a ＞1. 不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立，

∴a ＞0且a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，∴q ：0＜a ＜4. ∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真， ∴p 、q 中必有一真一假．

⎧⎪a ＞1，①当p 真q 假时，⎨得a ≥4.

⎪a ≥4，⎩

⎧⎪0＜a ≤1，

②当p 假q 真时，⎨得0＜a ≤1.

⎪⎩0＜a ＜4，

故a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞) ．

2. 已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2) x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围．

答案：m ≥3或1＜m ≤2.

⎧⎪Δ1＝m 2－4＞0，解析：由p 得：⎨则m ＞2. －m ＜0，⎪⎩

由q 得：Δ2＝16(m －2) 2－16＝16(m 2－4m ＋3) ＜0，

则1＜m ＜3.

又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假．

⎧⎪m ＞2，①当p 真q 假时，⎨解得m ≥3； ⎪⎩m ≤1或m ≥3，

⎧⎪m ≤2，②当p 假q 真时，⎨解得1＜m ≤2. ⎪⎩1＜m ＜3，

∴m 的取值范围为m ≥3或1＜m ≤2.

【拔高】

3. 已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x ) ＝x 2－2cx ＋1在 ⎛1⎫ ，＋∞⎪上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围． 2⎝⎭

⎧⎪⎪⎪1答案：⎨c ⎪2⎪⎪⎩ ⎫⎪＜c ＜1⎬ ⎪⎭

解析： ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，

∴0＜c ＜1.(2分)

即p ：0＜c ＜1. ∵c ＞0且c ≠1，∴¬p：c ＞1.

又∵f (x ) ＝x 2－2cx ＋1⎛1⎫在，＋∞⎪上为增函数， ⎝2⎭

11∴c ≤即q ：0＜c 22

1∵c ＞0且c ≠1，∴¬q：c ＞c ≠1. 2

又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 真q 假或p 假q 真．

⎧⎪1⎫⎧⎪1⎫①当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎨c ⎪c 且c ≠1⎬＝⎨c ⎪c ＜1⎬； ⎪2⎪2⎩⎭⎩⎭

⎧⎪1⎫②当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎨c ⎪0＜c ＝∅. ⎬2⎩⎪⎭

⎧⎪1综上所述，实数c 的取值范围是⎨c ⎪⎪2⎩

4. 设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2) x －3m ＋10＝0无实根．求使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围．

⎫＜c ＜1⎬. ⎭

答案：{m |m ≤－2，或－1≤m ＜3}

⎧⎪Δ1＝4m 2－4＞0，解析：由⎨得m ＜－1. x ＋x ＝－2m ＞0，⎪12⎩

∴p ：m ＜－1；

由Δ2＝4(m －2) 2－4(－3m ＋10) ＜0，

知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3.

由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p ，q 一真一假，

⎧⎪m ＜－1，当p 真q 假时，⎨此时m ≤－2； ⎪⎩m ≥3或m ≤－2，

⎧⎪m ≥－1，当p 假q 真时，⎨此时－1≤m ＜3. ⎪⎩－2＜m ＜3，

∴m 的取值范围是{m |m ≤－2，或－1≤m ＜3}．

课程小结

本节内容主要学习了用逻辑联接词“或”“且”“非”联接命题而形成的新形式的命题（复合命题），本节课的亮点是用口诀“有真或真，有假且假”的判断方法，简单易于记忆和理解，记忆方法具有高度的概括性. 在学生的记忆方面提供了很好手段. 对“ p ”命题的判断可以借助否定句的相反意义判断起来没有困难作了简要的介绍. 同时对于本节课学习的后续内容而言，把已知复合命题的真假判断每一个简单命题的真假提供了方法，对于含有参数的简单命题的真假决定了参数的求解方法, 利用对立事件或者命题的否定求解分类讨论情况较多的问题时，往往采用求对立事件的方法. 为学生对命题真假的分类讨论提供了思维的伸缩性空间. 有利于优等生对后面知识的自我拓展，解决了优生吃不饱的问题，同时对课堂教学内容的扩充起了不可或缺的作用.

课后作业

【基础】

1. 分别指出下列复合命题的形式

（1）8≥7

（2）2是偶数且2是质数；

（3）π不是整数；

答案：（1）是“p ∨q ”形式，p ：8>7，q ：8=7；

（2）是“p ∧q ”形式，p ：2是偶数，q ：2是质数；

（3）是“⌝p ”形式，p ：π是整数；

解析：见答案

2. 指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：

（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；

（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；

（3）平行线不相交

答案：（1）中的命题是p 且q 的形式，其中p ：24是8的倍数；q ：24是6的倍数.

（2）的命题是p 或q 的形式，其中p ：李强是篮球运动员；q ：李强是跳高运动员.

（3）命题是非p 的形式，其中p ：平行线相交。

解析：见答案

3. 命题“存在x 0∈

R,

A ．不存在x 0∈

R, ≤0”的否定是( ) ＞0 B ．存在x 0∈

R, ≥0

C ．对任意的x ∈R,2x ≤0

答案：D D ．对任意的x ∈R,2x ＞0

解析：由特称命题和全称命题的否定可知，命题“∃x 0∈

R,

≤0”的否定是“∀x ∈R,2x ＞0”．

4. 若函数f (x ) ＝x 2＋(a ∈R) ，则下列结论正确的是( ) a x

A ．∀a ∈R ，f (x ) 在(0，＋∞) 上是增函数

C ．∃a ∈R ，f (x ) 是偶函数

答案：C B ．∀a ∈R ，f (x ) 在(0，＋∞) 上是减函数 D ．∃a ∈R ，f (x ) 是奇函数

解析：对于A 只有在a ≤0时f (x ) 在(0，＋∞) 上是增函数，否则不成立；对于B ，如果a ≤0就不成立；对于D 若a ＝0，则成为偶函数了，因此只有C 是正确的，即对于a ＝0时有f (x ) ＝x 2是一个偶函数，因此存在这样的a ，使f (x ) 是偶函数．

5. 下列说法错误的是( )

A ．命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是：“若x ≠3，则x 2－4x ＋3≠0”

B ．“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件

C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题

D ．命题p ：“∃x ∈R 使得x 2＋x ＋1＜0”，则 p ：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”

答案： D

解析：逆否命题是对条件结论都否定，然后再将否定后的条件作结论，结论作条件，则A 是正确的；x ＞1时，|x |＞0成立，但|x |＞0时，x ＞1不一定成立，故x ＞1是|x |＞0的充分不必要条件，故B 是正确的；p 且q 为假命题，则p 和q 至少有一个是假命题，故C 不正确；特称命题的否定是全称命题，故D 正确．

【巩固】

6. 已知命题“∃x ∈R ，使

答案：(－1,3)

解析：由条件得命题“∀x ∈R ，使

0. 解得－1＜a ＜3.

7. 已知命题p ：函数f (x ) ＝log 0.5(3－x ) 的定义域为(－∞，3) ；命题q ：若k ＜0，则函数h (x ) ＝2x 2＋(a －1) x ＋10”是真命题，所以Δ＝(a －1) 2－4＜22x 2＋(a －1) x ＋10”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 2k 在(0，＋∞) 上是减函数．则下列结论中错误的是________． x

①命题“p 且q ”为真；②命题“p 或非q ”为假；③命题“p 或q ”为假；④命题“非p 且非q ”为假．

答案：①②③

解析：由3－x ＞0，得x ＜3，命题p 为真，命题非p 为假．又由k ＜0，易知函数h (x ) ＝k

x

在(0，＋∞) 上是增函数，命题q 为假，所以命题非q 为真．所以命题“p 且q ”为假，命题“p 或非q ”为真，命题“p 或q ”为真，命题“非p 且非q ”为假．

8. 设p ：函数f (x ) ＝2|x －a |在区间(4，＋∞) 上单调递增；q ：log a 2＜1. 如果“綈p ”是真命题，

“p 或q ”也是真命题，那么实数a 的取值范围是________．

答案：(4，＋∞)

解析：由题意知：p 为假命题，q 为真命题．当a ＞1时，由q 为真命题得a ＞2；由p 为假命题且画图可知：a ＞4. 当0＜a ＜1时，无解．所以a ＞4.

【拔高】

9. 已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3≥0，如果命题⌝p 是真命题，求实数a 的取值范围．

1答案：a ＜3

解析：∵⌝p 是真命题，∴p 是假命题，又当p 是真命题，即ax 2＋2x ＋3≥0恒成立时，

⎧111⎪a ＞0应有⎨，∴a ，∴当p 为假命题时，a ＜∴实数a 的取值范围是a ＜. 333⎪⎩4－12a ≤0

10. 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x ) ＝(3－2a ) x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．

答案：1≤a ＜2，或a ≤－2.

解析：设g (x ) ＝x 2＋2ax ＋4，

由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x ) 的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0，∴－2＜a ＜2.

又∵函数f (x ) ＝(3－2a ) x 是增函数，∴3－2a ＞1，∴a ＜1.

又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．

⎧⎪－2＜a ＜2，(1)若p 真q 假，则⎨∴1≤a ＜2； a ≥1，⎪⎩

⎧⎪a ≤－2，或a ≥2，(2)若p 假q 真，则⎨∴a ≤－2. ⎪⎩a ＜1，

综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a ＜2，或a ≤－2.

⎛⎛π⎫⎛π⎫π⎫11. 命题p ：函数f (x ) ＝sin 2x －⎪＋1满足f x ⎪＝f －x ⎪，命题q ：函数g (x ) ＝sin(2x 633⎝⎭⎝⎭⎝⎭

＋φ) ＋1可能为奇函数(φ为常数) ，则复合命题①“p 或q ”，②“p 且q ”，③“非p ”中，真命题是________．

答案：①

⎛⎛π⎫⎛2π⎫π⎫2x －x π＋2x ＋1，∴f ⎪＝sin ⎪＋1 解析：∵f (x ) ＝sin 6336⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛π⎫⎛π⎫⎛2ππ⎫2＝sin ＋2x ⎪＋1＝cos 2x ＋1＝2cos x ，f x ⎪＝sin 2x －＋1 6⎭⎝2⎭⎝3⎭⎝3

⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫2＝sin －2x ⎪＋1＝cos 2x ＋1＝2cos x ，∴f ＋x ⎪＝f －x ⎪，即命题p 为真命题． 233⎝⎭⎝⎭⎝⎭

又命题q 为假命题．∴“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，“非p ”为假命题．

12. 已知命题p ：方程x 2-ax +3=0无实数根；命题 q ：函数y =2ax -4在R 上是增函数；

若命题p ∧q 是真命题，试确定a 的取值范围.

答案

：0

解析： 方程x 2-ax +3=0无实数根, ∴∆=(-a ) 2-4⨯1⨯3=a 2-12

∴-2

又y =2ax -4在R 上是增函数

∴2a >0 即：a >0

命题p ∧q 是真命题，∴命题p 和q 是真命题

⎧⎪0. ⎪⎩

∴0