复变函数共轭可微的又一充要条件及应用

２００８年５月吉林师范大学学报（自然科学版）№．２第２期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｌｉｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｍａｙ２００８

复变函数共轭可微的又一充要条件及应用

王海英

（安顺学院数学系，贵州安顺５６１０００）

摘要：给出了复形式的复变函数的共轭可微性充要条件的证明及其重要应用．

关键词：共轭可导；共轭可微；共轭解析条件

中图分类号：０１７４．５文献标识码：Ａ文章编号：１０００－１８４０－（２００８）０２．（Ｄ８２－０２

复变函数起源于１９世纪，起初它研究的中心对充要条件给出了如下的定理．

象是解析函数．１９８８年，王见定提出了共轭解析函引理１．２设函数人ｚ）＝ｕ（菇，Ｙ）＋面（石。），）在数概念，这是一类和解析函数对称的函数，它的出现区域Ｄ内有定义，则函数八ｚ）在点：＝茗＋耖∈Ｄ共使复变函数达到对称完美．共轭解析函数可以用来轭可微的充要条件是：

解决解析函数所能解决的所有问题，并且比解析函（１）二元函数ｕ（ｘ，Ｙ），ｔ，（戈，），）在点（互，ｙ）可微；数更直观方便．复变函数共轭解析的前提是函数共（２）Ｍ（茗，Ｙ），”（茗，），）在点（菇，Ｙ）满足共轭解析轭可微，因而研究复变函数共轭可微的充要条件就

显得尤为重要．那么可否根据研究复变函数可微的条件：襄＝一考，等＝警．

方法去研究复变函数共轭可微的性质呢？文献［１］而对于自变量以极坐标形式给出的复变函数在一中以习题的形式给出了复变函数的形式导数，杜应点的共轭可微性，仝泽柱等在文献［４］中也进行了讨论，雪等在文献［２］中证明了形式导数是复变函数可微并对函数共轭可微的充要条件给出了如下的定理．的充要条件之一．为此，本文就从复变函数的复形式引理１．３设函数厂（：）＝ｕ（ｒ，∞在区域Ｄ内出发，研究其共轭可微的充要条件．有定义，则函数．厂（ｚ）在点ｚ＝陀毋（ｒ＞０）共轭可微的

充要条件是：

１引言（１）二元函数Ｕ（ｒ，口），移（ｒ，口）在点（ｒ，臼）可微；

王见定在文献［３］中给出了共轭导数的概念，让（２）１１，（ｒ，口），＂（ｒ，口）在点（ｒ，口）满足极坐标的共我们认识了共轭可微函数．轭解析条件：擎：一÷蓦，挈＝÷器．

定义１．１设函数∞＝．厂（ｚ）在区域Ｄ内有定如果是复函数形式，则需要代人变成代数形式义，给自变量＝∈Ｄ以增量＆＝厶＋讼），（名＝茗＋后再讨论，相对有点麻烦，下面就从复变函数的复形打），使（ｚ＋纽）∈Ｄ，并计算由于自变量所引起的函式出发，研究其共轭可微的充要条件．数∞＝．厂（ｚ）的增量：

血＝八：＋止）一八：）２主要结果

Ａ

如果＆按任意方式趋于零时比值竿的极限存可设复变函数ｆ（ｚ）＝Ｕ（茗，Ｙ）＋面（ｚ，Ｙ），且

△三ｕ（ｘ，），）和（石，），）都有偏导数，下面引进复变数ｚ＝互

在，其值有限，则称此极限为函数叫＝．厂（ｚ）在点：的＋哆，三＝茗一耖，贝４

共轭导数，记为厂ｏ（ｚ）：

＾石＝｛（ｚ＋三），Ｙ＝考（ｚ—ｉ）

。厂ｏ（：）＝ＩｉＩＩｌ掣删［ｋ

于是

这时称函数ｃｃ，＝厂（＝）于ｚ点共轭可导或共轭可微．ｆ（ｘ，Ｙ）＝ｕ（ｘ，Ｙ）＋西（石，Ｙ）王见定对自变量以代数形式给出的复变函数在

一点的共轭可微性进行了讨论。对函数共轭可微的＝Ⅱ（半，等）＋西（字，等）

收稿日期：２００８．０４－０２

第一作者简介：王海英（１９８２．），女，河南南阳人。安顺学院数学系教师，研究生．研究方向：主要从事非线性泛函分析研究．一８２—

这里形式地把八茗，，，）考虑成：与三的函数，而把ｚ（２）．厂（名）在ｚ点满足警＝０．与ｆ视为独立的自变量．因此厂（ｚ）可以对自变量ｚ

与三求导数．根据复合函数求偏导数的法则，则可形由于二元函数的可微性可以通过偏导数连续判

断出来，因而很容易得到下面的结论：

推论２．２设函数八Ｚ）＝Ⅱ（菇，Ｙ）＋匆（石，，，）在

隧８ｚ．：妻Ｊａｚ一”ａ；㈤区域Ｄ内有定义，则函数．厂（ｚ）在点ｚ＝石＋耖∈Ｄ共

，．

Ｉ堑一地．叠一轭可微的充要条件是：

（１）－－元函数ｕ（茹，），），＂（菇，ｙ）的偏导数‰，扯，，

％，移，在点（茹，），）连续；

ｒａｕａ／．Ｌ１９ｘ．；３ｕａ’，刍，

巨黧．。鎏（２）．厂（ｚ）在ｚ点满足曼＝０．

Ｉａ口㈤‘。注２．３（１）式在作为极限定义时并没有什么

【磊２赢磊＋丽蔷ａ口ａｚ．ａｔＪａｙ

方便之处，但我们仍然可以把它们作为对于ｚ与三

的形式导数．这里值得一提的是，实际上：与三并不

巨三主一芋㈤是独立变量，因为它们是互相共轭的．也就是说。一

【磊２磊２夏’个共轭可微函数与ｚ无关，而是三的独立函数．这也

就是我们把一个共轭可微函数看作确实是一复数的

将（２）、（３）代入（１）得函数，而不称之为两个实变数的复值函数的理由．同

豇３ｚ＝吉【（襄＋等）一ｉ（￡一詈）】一２虿ｌＩ瓦＋瓦卜。Ｉ磊一爵／Ｊ（４）‘４’时共轭可微条件的这一表示形式也是有趣的，简便由引理１．１知，八ｚ）在点名共轭可微的充要条件是“的，它使共轭可微函数的本质格外突出．（石，ｙ）和口（茗，），）在点二可微且满足共轭解析条件应用定理３和推论可以简便地去判断函数的共

轭可微性．

襄＝一骞夏２一丽考＝襄爵２夏（５）～）’

３定理应用

将（５）代入（４）得

婺：０例判断下列函数的共轭可微性．

（１）八ｚ）＝ｉ（２）ｈ（ｚ）＝Ｉ夕Ｉ

反之，如果譬＝０，则共轭可微条件成立，故有解：（１）由于祟＝ｏ，所以八：）＝三在整个复平面

内都共轭可微．

定理２．１设函数八彳）＝Ⅱ（茗，ｙ）＋面（菇，），）在（２）由于＾（：）＝ｌｚ１２＝ｚｚ－，所以譬＝三，显然，区域Ｄ内有定义，则函数以ｚ）在点ｚ＝茗＋耖∈Ｄ共Ｕｚ轭可微的充要条件是：只有在彳＝０处塞＝ｏ，其它点处均不可能为零，所

（１）二元函数ｕ（ｘ，，，），ｔ，（名，ｙ）在点（茗，，，）可微；以＾（ｚ）＝Ｉ石１２只在ｚ＝０共轭可微．

参考文献

［１］钟玉泉．复变函数论（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版杜．２００４．

［２］杜应雪．许小艳．复变函数的可导性与解析性［Ｊ】．中国科技信息。２００６，（１３）：２７２—２７４．

［３］王见定．半解析函数共轭解析函数【Ｍ］．北京：北京工业大学出版杜，１９８８．

［４］仝泽柱，娄正凯．复变函数共轭解析的充要条件［Ｊ］．徐州工程学院学报．２００６．（３）：９７—１００．

ＮｅｃｅｓｓａｒｙａｎｄＳｕｆｆｉｃｉｅｎｔＣｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ

ｏｆＣｏｎｊｕｇａｔｅＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅＣｏｍｐｌｅｘＦｕｎｃｔｉｏｎ

ＷＡＮＧＨａｉ－ｙｉｎｇ

（ｎ事缸ｈＩ栅蠢ｍＢｄ哪ｄａ，ＡｎｓｈｕｎＮｏｎｍｌＣｏｌｌｅｇｅ，Ａｎｓｈｕｎ５６１０００．Ｏｆｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｉｓａｒｔｉｃｌｅＷａＳｔｏｏｆｆｅｒｎｅｃｅｓｓａｒ矿ａｎｄｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｃｏｎｊｕｇａｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅｃｏｍｐｌｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｃｏｍｐｌｅｘｓｙｓｔｅｍ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｊｕｇａｔｅｄｅｒｉｖａｂｌｅ；ｃｏｎｊｕｇａｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅ；ｃｏｎｊｕｇａｔｅａｎａｌｙｔｉｃｃｏｎｄｉｔｉｏｎ一８３—

复变函数共轭可微的又一充要条件及应用

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作者单位：

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英文刊名：

年，卷(期)：

被引用次数：王海英， WANG Hai-ying安顺学院,数学系,贵州,安顺,561000吉林师范大学学报（自然科学版）JILIN NORMAL UNIVERSITY JOURNAL(NATURAL SCIENCE EDITION)2008，29(2)1次

参考文献(4条)

1. 钟玉泉 复变函数论 2004

2. 杜应雪. 许小艳 复变函数的可导性与解析性[期刊论文]-中国科技信息 2006(13)

3. 王见定 半解析函数共轭解析函数 1988

4. 仝泽柱. 娄正凯 复变函数共轭解析的充要条件[期刊论文]-徐州工程学院学报 2006(03)

引证文献(1条)

1. 晋守博. 王艳莉 共轭解析函数为常数的条件[期刊论文]-宿州学院学报 2010(2)

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