运算放大器的稳定性 TI

運算放大器穩定性之原理與分析15之1：迴路穩定性基本原理

作者：Tim Green - Strategic Development Engineer, Burr-Brown Products from Texas Instruments

1.0 前言

本運算放大器系列文章將以「範例定義」(definition by example) 做為主要分析技巧，同時還有一般性公式可用於其它應用。為了讓穩定性分析更容易，我們會運用許多不同的分析工具，例如元件資料表資訊、秘訣技巧、經驗規則、SPICE 模擬、和實際測試等，來加快穩定運算放大器電路的設計。雖然這些工具中有部份可用於任何電壓回授型運算放大器，但是其主要目標為單位增益頻寬小於20 MHz的電壓迴授型放大器。以20 MHz做為上限，是因為隨著運算放大器的頻寬增加，許多其它因素必須列入考慮，例如電路板訊號線的寄生電容、電容的寄生電感、以及電阻的寄生電容和寄生電感等。目前已有理論支持多數的經驗規則和秘訣技巧，還有實際設計和製造運算放大器電路時所累積的知識做為依據。

本系列的第一篇文章將複習一些對於穩定性分析的簡化極為重要的基本原理。我們另外還會定義此系列文章可能用到的某些名詞術語。

目標：學習如何利用元件資料表資訊、秘訣技巧、經驗規則、Tina SPICE模擬和測試來輕易地

分析設計運算放大器電路，同時確保迴路穩定性。

說明：秘訣技巧和經驗規則適用於單位增益頻寬小於20 MHz的電壓迴授型放大器

圖1：穩定性分析工具

1.1 波德圖基本原理

頻率響應圖的振幅圖可以顯示電壓增益如何隨著頻率而改變，可由代表電壓增益與頻率之間關係的波德圖 (Bode plot) 描述。波德圖是一種半對數圖，其橫軸以對數座標表示頻率值 (Hz)，縱軸則以線性座標表示的電壓增益值 (dB)。而為了分析方便，縱軸每格最好為20 dB。波德圖的另一半是相位圖，代表相位移與頻率之間的變化關係；通常是以相位移度數和頻率來顯示的關係圖。波德相位圖也是半對數圖，其橫軸以對數座標表示頻率值 (Hz)，縱軸則以線性座標表示相位移度數。為了分析方便，縱軸的每一格最好是45度。

圖1.1：振幅和相位波德圖

振幅波德圖必須將電壓增益轉換成dB 值。我們因此在增益分析中將電壓增益的dB 值定義為20Log10A ，其中A 是以V/V為單位的電壓增益值。

圖1.2：振幅波德圖的dB 值定義

圖1.3是波德圖常用的某些名詞定義。

下降率 (Roll-Off Rate) Æ

增益隨著

頻率上升而減少

Decade Æ頻率增加10倍或減少10

倍，例如從10Hz 到100Hz 就是1個

decade

Octave Æ頻率增加2倍或減少2倍，

例如從10 Hz到20Hz 就是1個octave

圖1.3：波德圖的其它名詞定義

在電壓增益波德圖中，電壓增益相對於頻率的斜率是由+20 dB/decade或-20 dB/decade增量來定義；另一種定義方式則是使用+6 dB/octave或是-6 dB/octave (參考圖1.4) 。 以下推導可證明20 dB/decade等於6 dB/octave：

ΔA(dB)= A(dB) at fb – A(dB) at fa

=Aol(dB) - 20log10(fb/f1)] – [Aol(dB) - 20log10(fa/f1)]

=Aol(dB) - 20log10(fb/f1) – Aol(dB) + 20log10(fa/f1)]

=20log10(fa/f1) – 20Log10(fb/f1)]

=20log10(fa/fb)

=20log10(1k/10k) = -20dB/decade

ΔA(dB)= 20log10(fb/fc)

=20log10(10k/20k) = -6db/octave

-20 dB/decade = -6 dB/octave

所以：

+20 dB/decade = +6 dB/octave -20 dB/decade = -6 dB/octave

+40 dB/decade = +12 dB/octave -40 dB/decade = -12 dB/octave

+60 dB/decade = +18 dB/Octave -60 dB/decade = -18 dB/Octave

圖1.4：振幅波德圖：20 dB/Decade = 6 dB/Octave

極點Æ單極點響應曲線在振幅或增益波德圖裡的下降率 (roll-off rate) 為-20 dB/decade或-6 db/octave其中極點頻率 (fP) 的增益值比直流增益值減少3 dB，相位圖裡的相移值則為-45°，並以-45°/decade的速率向極點頻率的兩邊延伸至0°和-90°。單極點可以圖1.5所示的簡單RC 低通電路為代表；注意極點相位如何影響比其頻率高10倍和低10倍範圍內的所有頻率。

圖1.5：極點的振幅和相位波德圖

零點 (zero)Æ單零點響應曲線在振幅或增益波德圖裡會以+20 dB/decade或+6 db/octave的速率逐漸上升；其中零點頻率 (fZ) 的增益值比直流增益值增高3 dB，相位圖裡的相移值則為+45°，並以+45°/decade的速率向零點頻率的兩邊延伸至0°和+90°。單零點可由圖1.6所示的簡單RC 高通電路為代表，注意零點相位如何影響比其頻率高10倍和低10倍的所有頻率。

圖1.6：零點的振幅和相位波德圖

我們很容易在波德振幅圖上測量零點或極點頻率的位置。由於橫軸是頻率的對數座標，因此可以利用距離的比值快速精確地找出我們所感興趣的極點或零點頻率。圖1.7即可用來說明這種「對數座標技巧」。

圖1.7：對數座標技巧

1.2 簡易元件模型

多數運算放大器應用是由運算放大器、電阻、電容、和電感等四種元件所構成。它們的簡易模型 (intuitive model) 對於穩定性分析非常有用。

圖1.8是我們針對交流穩定性分析所定義的簡易運算放大器模型；IN+和IN-接腳的差動電壓在放大1倍後會轉換成單端交流電壓源VDIFF ，接著再放大K(f) 倍，其中K(f) 代表元件資料表的Aol 曲線 (開迴路增益與頻率關係圖) 。所得的電壓VO

便會通過運算放大器的開迴路、交流

小訊號、以及輸出電阻RO ；待此電壓通過RO 後便得到VOUT 。

圖1.8：簡易運算放大器模型

圖1.9是交流穩定性分析所用的簡易電阻模型，這個電阻會有固定的阻抗值，不受其操作頻率的影響。

圖1.9：簡易電阻模型

圖1.10是我們為交流穩定性分析所定義的簡易電容模型，它包含三個不同的操作區。電容在「直流」操作區可視為開路，而在「高頻」操作區可視為短路，

兩者之間則可視為由頻率控制的電阻，

其阻抗會隨著頻率增加而以1/Xc的速率減少。圖1.11就是簡易電容模型的SPICE 模擬結果。

圖1.10：簡易電容模型

圖1.11：簡易電容模型的SPICE 模擬結果

圖1.12是我們為交流穩定性分析所定義的簡易電感模型，它包含三個不同的操作區。電感在

「直

流」操作區可視為短路，在「高頻」操作區可視為開路，兩者之間則可視為由頻率控制的電阻，

其阻抗會隨著頻率增加而以XL 的速率而增加。圖1.13就是簡易電感模型的SPICE 模擬結果。

圖1.12：簡易電感模型

圖1.13：簡易電感模型的SPICE 模擬結果

1.3穩定性條件

圖1.14下半部是代表運算放大器電路及其回授迴路的傳統控制迴路模型方塊圖。上半部則是對應於控制迴路模型的典型運算放大器電路及其回授迴路，我們將此運算放大器電路和回授迴路的模型稱為「運算放大器迴路增益模型」。注意，Aol 就是運算放大器元件資料表裡的開迴路增益Aol ；β則是回授電壓與VOUT 的比值。這個例子是以電阻回授電路做為它的β電路。 在推導VOUT/VIN時，我們將會看到閉迴路增益函數由Aol 和β直接定義。

圖1.14：運算放大器迴路增益模型

我們可從圖1.14的運算放大器迴路增益模型導出閉迴路運算放大器電路的穩定條件，詳細過程請參考圖1.15。

若迴路增益相移值在迴路增益 (Aolβ) 為1或0 dB的頻率點上 (fcl) 時，其值等於±180°，此時運算放大器電路就無法穩定工作。在fcl 頻率點上，迴路增益相移值與180°之間的差距稱為迴路增益相位邊限 (Loop Gain Phase Margin)。要得到良好的臨界阻尼閉迴路響應，迴路增益相位邊限值最好能超過45°。

圖1.15：穩定性條件的推導

1.4 迴路穩定性測試

迴路穩定性是由迴路增益 (Aolβ) 的振幅圖和相位圖所定義，因此我們必須知道如何才能輕易地分析出迴路增益的振幅和相位。為了達到這項要求，我們必須將閉迴路運算放大器電路切開，在迴路中間增加交流小訊號源，然後測量振幅和相位以便繪出完整的迴路增益圖。圖1.16是運算放大器迴路增益模型的等效控制迴路方塊圖，以及我們在迴路增益測試時所用的技巧。

圖1.16：傳統的迴路增益測試

在分析SPICE 模擬電路時，傳統迴路增益測試會利用電感和電容將閉迴路運算放大器電路分成多個部份。電感值很大的電感對於直流訊號是短路 (SPICE模擬在執行交流分析前必須先計算出直流操作點) ，對於所要分析的交流頻率則為開路。電容值大的電容可以確保交流小訊號源在直流時不會與電路相連接，但在我們所要分析的頻率範圍內，則會直接與電路相連。圖1.17是傳統迴路增益測試的SPICE 設定線路圖。

圖1.17：傳統迴路增益測試 – SPICE 的設定

若我們想在模擬SPICE 電路前知道最後的大致結果，Beta (β) 和其倒數1/Beta (1/β) 以及元件資料表的Aol 曲線是很有用的工具；我們能利用它們在執行SPICE 前先算出迴路增益分析結果的1階近似值。在往後的單元裡，我們將介紹Beta (β) 及其倒數 (1/β) 的計算技巧和經驗規則。圖1.18是運算放大器電路的Beta (β) 電路定義。

圖1.18：運算放大器的β電路

將1/β圖與Aol 曲線重疊即可清楚看出迴路增益圖 (Aolβ) 的含義。我們可從圖1.19的推導發現Aol β振幅圖其實就是在Aol 曲線上繪出以dB 為單位的1/β圖後Aol 和1/β之間的差值，而Aol β則會隨著頻率增加而減少。換言之，Aol β可以來補償VOUT/VIN

或閉迴路響應誤差的

增益值；因此當Aol β減少時，VOUT/VIN響應的精確度就會隨著下降，等到Aol β等於0 dB時，VOUT/VIN響應就只能隨著Aol 曲線移動。

圖1.19：根據Aol 和1/β圖所得到的迴路增益資訊

只要在Aol 曲線上繪出1/β圖，我們就能利用「吻合度」(Rate-Of-Closure) 執行簡單的一階穩定性檢查。吻合度穩定性檢查是指1/β與Aol 曲線在迴路增益等於0 dB的頻率點上的吻合程度。40 db/decade吻合度意味著電路並不穩定，因為它表示在Aol β圖的fcl 頻率之前還有兩個極點，它們可能造成180°相位移；而20 dB/decade吻合度則表示電路穩定。圖1.20共包含4個例子，它們的吻合度計算過程如下：

fcl1: Aol - 1/β1 = -20 dB/decade - +20 dB/decade = -40 dB/decade a 40 dB/decade吻合度，不穩定

fcl2: Aol - 1/β2 = -20 dB/decade - 0 dB/decade = -20 dB/decade a 20 dB/decade吻合度，穩定

fcl3: Aol - 1/β3 = -40 dB/decade - 0 dB/decade = -40 dB/decade a 40 dB/decade吻合度，不穩定

fcl4: Aol - 1/β4 = -40 dB/decade - -20 dB/decade = -20 dB/decade a 20dB/decade吻合度，穩定

圖1.20：迴路增益穩定性的吻合度測試

1.5 迴路增益穩定性範例

我們以圖1.21的迴路增益分析範例說明，如何根據繪製在Aol 曲線上的1/β圖來分析運算放大器電路的穩定性。在此電路裡，電容CF 的阻抗會隨著頻率增加而漸趨近零，使得β圖的振幅隨著頻率增加而下降 (電壓回授值隨著頻率的增加而減少) ，1/β曲線則隨著頻率增加而變高。因此我們可以根據吻合度條件預測電路無法穩定操作。

圖1.21：迴路增益穩定性範例

我們可以根據Aol 曲線上的1/β圖繪出迴路增益Aol β振幅圖 (參考圖1.22) ，

接著再利用迴路

增益振幅圖繪出迴路增益相位圖。我們很容易就能根據Aol 曲線上的1/β圖繪出Aol β圖。其基本規則是：Aol 曲線的極點和零點是AolB 圖的極點和零點；1/β圖的極點和零點則是AolB 圖的零點和極點。記住這項規則的簡單方式為Aol β會用到β值，1/β則是β的倒數，所以Aol β會用到1/β圖上極點和零點的倒數值。極點的倒數是零點，零點的倒數則是極點。

圖1.22：根據Aol 曲線和1/β圖所繪出的迴路增益圖

1.6 1/β與閉迴路響應

VOUT/VIN閉迴路響應並不一定和1/β相同。在圖1.23例子裡，我們看到交流小訊號回授電壓會受到RI 並聯的Rn-Cn 電路影響；隨著頻率增加，該電路的影響會顯示在Aol 曲線的1/β圖上。我們可以把圖1.23當成反相加法放大器，它會透過RI 對VIN 進行加法運算，透過Rn-Cn 電路對地電位進行加法運算。VOUT/VIN在低頻時不會受到Rn-Cn 電路影響，所需的增益值則為20 dB。等到Rn-Cn 電路迫使迴路增益 (Aolβ) 等於1 (0 dB) 的時候，就沒有多餘的迴路增益可用來補償誤差電壓；而VOUT/VIN在頻率高於fcl 時就會開始跟著Aol 曲線改變。

圖1.23：VOUT/VIN與1/β的比較