二次函数的应用含答案

二次函数的应用

1．（2016春•茅箭区月考）某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x ≤90）天的售价与销量的相

y 元． （1）求出y 与x 的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

2

解：（1）当1≤x ＜50时，y=（200﹣2x ）（x+40﹣30）=﹣2x +180x+2000， 当50≤x ≤90时， y=（200﹣2x ）（90﹣30）=﹣120x+12000， 综上所述：y=

；

（2）当1≤x ＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45， 当x=45时，y 最大=﹣2×45+180×45+2000=6050， 当50≤x ≤90时，y 随x 的增大而减小，

当x=50时，y 最大=6000，

综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；

A 、B 两种新产品，信息部通过市场调研得到两条信息：

信息一：如果投资A 种产品，所获利润y A （万元）与投资金额x （万元）之间满足正比例函数关系：y=kx；

2

信息二：如果投资B 种产品，所获利润y B （万元）与投资金额x （万元）之间满足二次函数关系：y B =ax+bx． 根据公司信息部报告，y A 、y B （万元）与投资金额x （万元）的部分对应值如上表所示：

2

（1）填空：y A =； y B =

（2）如果公司准备投资15万元同时开发A 、B 两种新产品，设公司所获得的总利润为W （万元），B 种产品的投资金额为x （万元），试求出W 与x 之间的函数关系式； （3）请你设计一个在（2）中公司能获得最大总利润的投资方案． 解：（1）由题意，得 k=0.6，解得：k=0.6，

2

2

， ，

∴y A =0.6x，y B =﹣0.2x +2.6x；

2

故答案为：0.6x ，﹣0.2x +2.6x

（2）∵设公司所获得的总利润为W （万元），B 种产品的投资金额为x （万元），则A 种产品投资（15﹣x ）万元，由题意，得

2

W=yA+yB=0.6（15﹣x ）﹣0.2x +2.6x；

2

W=﹣0.2x +2x+9；

2

（3）∵W=﹣0.2x +2x+9；

2

∴W=﹣0.2（x ﹣5）+14， ∴a=﹣0.2＜0，

∴当x=5时，W 最大=14．

∴最大利润的投资方案是：B 种产品的投资金额为5万元，A 种产品投资10万元 3．（2016•包头一模）利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：

信息1：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元．商品的进货单价之和是5元； 信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元． 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件 请根据以上信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？

（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元．在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？ 解：（1）设甲商品的进货单价是x 元，乙商品的进货单价是y 元． 由题意得

解得

答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．

（2）由题意知甲种商品每件获取的利润为1元，乙种商品每件获取的 利润为2元，设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s 元， 则s=（1﹣m ）（500+100×

2

）+（2﹣m ）（300+100×

2

）

即 s=﹣2000m +2200m+1100=﹣2000（m ﹣0.55）+1705． ∵﹣2000＜0

∴当m=0.55时，s 有最大值，最大值为1705．

答：当m 定为0.55元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元． 4．（2016•河北模拟）某公司对工作五年及以上的员工施行新的绩效考核制度，现拟定工作业绩W=P+1200，其中P 的大小与工作数量x （单位）和工作年限n 有关（不考虑其他因素）．已知P 由部分的大小与工作数

2

量x （单位）和工作年限n 有关（不考虑其他因素）．已知P 由两部分的和组成，一部分与x 成正比，另一部分与nx 成正比，在试行过程中得到了如下两组数据：①工作12年的员工，若其工作数量为50单位，则其工作业绩为3700元；②工作16年的员工，若其工作数量为80单位，则其工作业绩为6320元． （1）试用含x 和n 的式子表示W ；

（2）若某员工的工作业绩为4080元，工作数量为40单位，求该员工的工作年限；

（3）若员工的工作年限为10年，若要使其工作业绩最高，其工作数量应为多少单位？此时他的工作业绩为多少元？

解：（1）∵P 由两部分的和成，一部分与x 成正比，另一部分与nx 成比， ∴设w=k1x +k2•nx+1200，

∵工作12年的员工，若其工作数量为50单位，则其工作业绩为3700元；工作16年的员工，若其工作数量为80单位，则其工作业绩为6320元，

2

2

∴，

解得：，

∴w=﹣x +5nx+1200；

（2）由题意得：4080=﹣×40+5n×40+1200， 解得：n=16，

∴该员工的工作年限为16年；

（3）当n=10时，w=﹣x +5×10x+1200=﹣（x ﹣125）+4325，

所以若员工的工作年限为10年，若要使其工作业绩最高，其工作数量应为125单位，此时他的工作业绩为4325元． 5．（2016•平遥县模拟）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x ≤90）天的售价

（1）求出y 与x 的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．

2

解：（1）当1≤x ＜50时，y=（200﹣2x ）（x+40﹣30）=﹣2x +180x+2000， 当50≤x ≤90时， y=（200﹣2x ）（90﹣30）=﹣120x+12000， 综上所述：y=

；

2

2

2

2

（2）当1≤x ＜50时，

y=﹣2x +180x+2000，

2

y=﹣2（x ﹣45）+6050． ∴a=﹣2＜0，

∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45， 当x=45时，y 最大=6050，

当50≤x ≤90时，y 随x 的增大而减小，

当x=50时，y 最大=6000，

综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；

2

（3）当1≤x ＜50时，y=﹣2x +180x+2000≥4800， 解得：20≤x ＜70，

因此利润不低于4800元的天数是20≤x ＜50，共30天； 当50≤x ≤90时，y=﹣120x+12000≥4800， 解得：x ≤60，

因此利润不低于4800元的天数是50≤x ≤60，共11天，

所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元 6．（2016•东西湖区校级模拟）我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过

y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）

（3）市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价在什么范围时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润不低于5000元？

2

解：（1）描点，如图．设y 与x 的函数关系式为y=kx+b，由题意，得

，

解得：．

故y 与x 的函数关系式为y=﹣10x+700；

（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为W 元，由题意，得 W=（﹣10x+700）（x ﹣10），

2

W=﹣10（x ﹣40）+9000， ∵a=﹣10＜0，

∴x=40时，W 最大=9000元．

答：销售单价定为40时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元； （3）由题意，得

2

﹣10（x ﹣40）+9000≥5000， （x ﹣20）（x ﹣60）≤0， 则

或

，

解得：①无解； ②20≤x ≤60． ∵x ≤35， ∴20≤x ≤35．

答：销售单价20≤x ≤35时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润不低于5000元．

7．（2016•黄岛区校级模拟）某低碳节能产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y （万元）与年产量x （万件）之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z （元/件）与年销售量x （万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡．

（1）求y 与x 以及z 与x 之间的函数关系式；

（2）设年产量为x 万件时，所获毛利润为w 万元，求w 与x 之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（毛利润=销售额﹣生产费用）． 解：图①可得函数经过点（100，1000），

2

设抛物线的解析式为y=ax（a ≠0），

将点（100，1000）代入得：1000=10000a， 解得：a=

，

x ．

2

故y 与x 之间的关系式为y=

图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20）， 设z=kx+b，则

，

解得：，

故z 与x 之间的关系式为z=﹣x+30；

x ，销售额为：zx=（﹣

22

（2）年产量为x 万件时，生产费用为则w=﹣

x +30x﹣

2

2

2

x+30）x=﹣

2

x +30x，

2

x =﹣x +30x=﹣（x ﹣150x ）=﹣（x ﹣75）+1125，

当x=75时，获得毛利润最大，最大毛利润为1125万元．

答：当年产量为75万件时，获得毛利润最大，最大毛利润为1125万元 8．（2016•黄冈模拟）某公司生产的某种时令商品每件成本为20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来

未来40天内，前20天每天的价格y 1（元/件）与时间t （天）的函数关系式为：y 1=t+25（1≤t ≤20且t 为整数）；后20天每天的价格y 2（元/件）与时间t （天）的函数关系式为：y 2=﹣t+40（21≤t ≤40且t 为整数）． （1）求Q （件）与时间t （天）的函数关系式；

（2）请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a ＜4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围． 解：（1）设一次函数为y=kt+b，

将（36，24）和（10，76）代入一次函数y=kt+b中， 有解得：

， ．

故所求函数解析式为y=﹣2t+96；

（2）设销售利润为W ，

则

配方得

当1≤t ≤20，t=14时W 最大=578，

当21≤t ≤40时，W 随x 增大而减小，故当t=21时，W 最大=513， 综上知，当t=14时，利润最大，最大利润是578元．

（3）由题意得：配方得：

要使日销售利润随时间t 增大而增大，则要求对称轴x=2（a+7）≥20解得x ≥3； 又题目要求a ＜4， 故3≤a ＜4． 9．（2016•东营模拟）根据市场调查，某种新产品投放市场30天内，每件产品的销售价格 P （元）与时间t （天）的关系如图所示，日销售量Q （件）与时间

t

（天）的函数关系式； （2）根据表求出日销售量Q （件）与时间t （天）之间的函数关系式；（函数关系只限于一次函数、二次函数、反比例函数）

（3）在这30天内，哪一天的日销售金额最大？最大是多少元？（日销售金额=每件产品销售价格×日销售量）

解：（1）根据图示，前20天该产品每件销售价格P （元）与时间t （天）的函数是一次函数，且过点（0，30），（20，50），

所以可设为y=ax+b，把（0，30），（20，50），

代入得解得

．

，

故所求函数关系为P=t+30（0＜t ＜20）；

（2）由表1设日销售量Q （件）与时间t （天）之间的函数关系式为y=mt+n， 把（20，20），（30，10）代入得解得

，

，

所求的解析式为Q=﹣t+40（0＜t ≤30）；

（3）前20天，日销售金额=PQ=（t+30）（﹣t+40）=﹣t +10t+1200=﹣（t ﹣5）+1225； 后10天，每件产品的销售价格50元，日销售金额=PQ=50（﹣t+40）=﹣50t+2000，（20≤t ≤30）， 所以当t=20时，日销售金额取得最大值，最大值等于1000元，

综上，当t=5时，即第5天时，日销售金额取得最大值，最大值等于1225元． 10．（2016•铜陵县模拟）铜陵学院毕业生小张响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店，该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件．销售结束后，得知日销售量P （件）与销售时间x （天）之间有如下关系：P=﹣2x+80（1≤x ≤30，且x 为整数）；又知前20天的销售价格Q 1（元/件）与销售时间x （天）之间有如下关系：Q 1=x+30（1≤x ≤20，且x 为整数），后10天的销售价格Q 2（元/件）与销售时间x （天）之间有如下关系：Q 2=45（21≤x ≤30，且x 为整数）． （1）第25天该商店的日销售利润为多少元？

（2）试写出该商店日销售利润y （元）关于销售时间x （天）之间的函数关系式； （2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润． 解：（1）（45﹣20）×（﹣2×25+80）=750元；

（2）根据题意，得

y=P（Q1﹣20）（﹣2x+80）=﹣x +20x+800（1≤x ≤20，且x 为整数）， y=P（Q 2﹣20）=（﹣2x+80）（45﹣20）=﹣50x+2000（21≤x ≤30，且x 为整数），

（3）在1≤x ≤20，且x 为整数时，

2

∵R 1=﹣（x ﹣10）+900，

当x=10时，R 1的最大值为900， 在21≤x ≤30，且x 为整数时，

∵在R 2=﹣50x+2000中，R 2的值随x 值的增大而减小， ∴当x=21时，R 2的最大值是950， ∵950＞900，

∴当x=21即在第21天时，日销售利润最大，最大利润为950元．

2

2

2

11．（2016•郑州模拟）某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．旅馆装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前日租金的总收入增加多少元？ 解：设每间客房的日租金提高10x 元，则每天客房出租数会减少6x 间．设装修后客房日租金总收入为y ， 则y=（160+10x）（120﹣6x ），

2

即y=﹣60（x ﹣2）+19440． ∵x ≥0，且120﹣6x ＞0， ∴0≤x ＜20．

当x=2时，y max =19 440．

这时每间客房的日租金为160+10×2=180（元）．

装修后比装修前日租金总收入增加19 440﹣120×160=240（元）．

答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高；装修后比装修前日租金总收入增加240元． 12．（2016•黄陂区校级模拟）进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元 （x 为正整数），每星期的利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；

（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由． （3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？

解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x）=﹣100x +500x+5000， ∵∴3≤x ≤8；

（2）y=﹣100x +500x+5000=﹣100（x ﹣）+5625， ∵5600＜5625，

∴5600不是最大利润．

（3）当y=5000时，y=﹣100x +500x+5000=5000， 解得x 1=0，x 2=5，

故当0≤x ≤5时，y ≥5000，

即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元． 13．（2016•黄岛区校级模拟）某贸易公司购进“长青”胶州大白菜，进价为每棵20元，物价部门规定其销售单价每棵不得超过80元，也不得低于30元．经调查发现：日均销售量y （棵）与销售单价x （元/棵）满足一次函数关系，并且每棵售价60元时，日均销售90棵；每棵售价30元时，日均销售120棵． （1）求日均销售量y 与销售单价x 的函数关系式； （2）在销售过程中，每天还要支出其他费用200元，求销售利润w （元）与销售单价x 之间的函数关系式；并求当销售单价为何值时，可获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？ 解：（1）设一次函数解析式为设一次函数解析式为y=kx+b， 把（60，90），（30，120）分别代入上式得，

，

2

2

2

，

解得．

故y=﹣x+150，（30≤x ≤80）． （2）根据题意得W=（x ﹣20）（﹣x+150）﹣200

2

=﹣x +170x﹣3200

222

=﹣（x ﹣170x+85﹣85）﹣3200

22

=﹣（x ﹣85）+85﹣3200

22

=﹣（x ﹣85）+85﹣3200

2

=﹣（x ﹣85）+4025．

2

当x=80时取得最大值，为W 最大值=﹣（80﹣85）+4025=4000元． 14．（2016•嘉兴模拟）某公司新开发一种电子产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y=

x+150，成本为20

元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润=销售额﹣成本﹣广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳

x 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润=销售额﹣成本﹣附

2

加费）．

（1）若在国内销售，当月销售量为1000件时，该产品的销售价格和月利润分别是多少元？当月销售量为多少件时，在国内销售的月利润最大？最大利润是多少？

（2）若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值；

（3）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？

解：（1）∵销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y=﹣

x+150，

∴当x=1000时，y=﹣10+150=140，w 内=x（y ﹣20）﹣62500=1000×120﹣62500=57500， ∴当销量为1000件时，销售价格为140元，月利润为57500元； w 内=x（y ﹣20）﹣62500=x（﹣即w 内=﹣

x +130x﹣62500=﹣

2

x+150﹣20）﹣62500=﹣（x ﹣6500）+360000，

2

x +130x﹣62500，

2

∴当销量为6500件时有最大利润360000元；

（2）w 外=x（150﹣a ）﹣即w 外=﹣

2

x =﹣

2

x +（150﹣a ）x ，

2

x +（150﹣a ）x ；

∵在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，

=360000

解得a 1=30，a 2=270（不合题意，舍去）． 所以 a=30；

（3）当x=5000时，w 内=﹣

2×5000+130×5000﹣62500=337500， 2w 外=﹣×5000+（150﹣a ）×5000=﹣5000a+500000．

若w 内＜w 外，即当a ＜32.5时，在国外销售才能使所获月利润较大；

若w 内=w外，即当a=32.5时，在国内、外销售所获月利润一样大；

w 内＞w 外，即当a ＞32.5时，在国内销售才能使所获月利润较大

15．（2016•杭州模拟）如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ．有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径CD 为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．

（1）如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；

（2）如果竖直摆放7个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？

（3）当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？

解：（1）M （0，5），B （2，0），C （1，0），D （，0），

设抛物线的解析式为y=ax+k，

∵抛物线过点M 和点B ，

则k=5，．

； 2即抛物线解析式为

（2）当x=1时，y=

即P （1，；当x=时，y=） ． ），Q （，

当竖直摆放7个圆柱形桶时，桶高=

∵2.1＜且2.1＜， ×7=2.1．

∴网球不能落入桶内；

（3）设竖直摆放圆柱形桶m 个时网球可以落入桶内，

由题意，得，

解得：≤m ≤≤0.3m ≤； ，

∵m 为整数，

∴m 的值为8，9，10，11，12．

∴当竖直摆放圆柱形桶至多12个时，网球可以落入桶内．

16．（2016•杭州模拟）阅读材料：若a ，b 都是非负实数，则a+b≥2．当且仅当a=b时，“=”成立．

2证明∵（﹣）≥0，∴a ﹣2+b≥0．∴a+b≥2．当且仅当a=b时，“=”成立．

（1）已知x ＞0，求函数y=2x+的最小值．

（2）问题解决：

汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x 公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y 升． ①求y 关于x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）；

②求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．

解：（1）y=2x+≥2=4．当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立．

当x=1时，函数取得最小值，y 最小=4；

（2）①∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（

∴y=x×（+）=

=+（70≤x ≤110）； 时有最小值， +）升， ②根据材料得：当

解得：x=90，

经检验x=90是原方程的解，

∴该汽车的经济时速为90千米/时；

当x=90时百公里耗油量为100×（+）≈11.1（升）．

17．（2016•武汉模拟）如图，小区中央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰好在水面的中心，OA=1.25米．由柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在离OA 距离为1米处达到距水面的最大高度

2.25米．

（1）建立适当的平面直角坐标系，使A 点的坐标为（0，1.25），水流的最高点的坐标为（1，2.25），求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式（不要求写取值范围）；

（2）若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？

（3）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流距水面的最大高度就达到多少米？

解：（1）以柱子OA 所在的直线为y 轴，垂直于OA 的直线为x 建立平面直角坐标系，

因为顶点为（1，2.25），

设解析式为y=a（x ﹣1）+2.25过点（0，1.25），

解得a=﹣1，

2所以解析式为：y=﹣（x ﹣1）+2.25；

（2）由（1）可知：y=﹣（x ﹣1）+2.25，

令y=0，

2则﹣（x ﹣1）+2.25=0，

解得x=2.5 或x=﹣0.5（舍去），

所以花坛半径至少为2.5m ；

（3）（2）根据题意得出：

2设y=﹣x +bx+c，

把点（0，1.25）（3.5，0），

， 22

解得：，

则y=﹣x +2x+=﹣（x ﹣）+2，

． 故水池的半径为3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达

18．（2016•吴兴区一模）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系．

（1）求抛物线的表达式；

（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？

解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），

2设抛物线的方程为y=a（x ﹣4）+6，

又因为点A （0，2）在抛物线上，

所以有2=a（0﹣4）+6．

所以a=﹣．

因此有：y=﹣（x ﹣4）+6．

（2）令y=4，则有4=﹣（x ﹣4）+6，

解得x 1=4+2，x 2=4﹣2，

|x1﹣x 2|=4＞2，

∴货车可以通过．

19．（2016•东西湖区校级模拟）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米．

（1）求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；

（2）当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？

（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积． 222

解：（1）∵AB=x，

∴BC=24﹣4x ，

∴S=AB•BC=x（24﹣4x ）=﹣4x +24x（0＜x ＜6）；

（2）S=﹣4x +24x=﹣4（x ﹣3）+36，

∵0＜x ＜6，

∴当x=3时，S 有最大值为36；

（3）∵，

222

∴4≤x ＜6，

∴当x=4时，花圃的最大面积为32．

20．（2016•安庆一模）“宿松家乐福超市”以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y （件）与售价x （元/件）之间的函数关系如图（20≤x ≤60）：

（1）求每天销售量y （件）与售价x （元/件）之间的函数表达式；

（2）若该商品每天的利润为w （元），试确定w （元）与售价x （元/件）的函数表达式，并求售价x 为多少时，每天的利润w 最大？最大利润是多少？

解：（1）分两种情况：当20≤x ≤40时，设y=ax+b，

根据题意，得

解得， ，

故y=x+20；

当40＜x ≤60时，设y=mx+n，

根据题意，得

解得，故 ，

y=﹣2x+140；

故每天销售量y （件）与售价x （元/件）之间的函数表达式是：

y=

（2）w=

当20≤x ≤40时，w=x﹣400，

由于1＞0抛物线开口向上，且x ＞0时w 随x 的增大而增大，又20≤x ≤40，

因此当x=40时，w 最大值=40﹣400=1200；

22当40＜x ≤60时，w=﹣2x +180x﹣2800=﹣2（x ﹣45）+1250，

由于﹣2＜0，抛物线开口向下，又40＜x ≤60，

所以当x=45时，w 最大值=1250．

综上所述，当当x=45时，w 最大值=1250．

22． ，

21．（2016•武汉模拟）2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a 元（a 为常数，且40＜a ＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成

2本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x 万件乙产品时需上交0.5x

万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：

（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y 1（万元）、y 2（万元）与相应生产件数x （万件）（x 为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；

（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；

（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？

解：（1）由题意得：

y 1=（120﹣a ）x （1≤x ≤125，x 为正整数），

2y 2=100x﹣0.5x （1≤x ≤120，x 为正整数）；

（2）①∵40＜a ＜100，∴120﹣a ＞0，

即y 1随x 的增大而增大，

∴当x=125时，y 1最大值=（120﹣a ）×125=15000﹣125a （万元）

2②y 2=﹣0.5（x ﹣100）+5000，

∵a=﹣0.5＜0，

∴x=100时，y 2最大值=5000（万元）；

（3）∵由15000﹣125a ＞5000，

∴a ＜80，

∴当40＜a ＜80时，选择方案一；

由15000﹣125a=5000，得a=80，

∴当a=80时，选择方案一或方案二均可；

由15000﹣125a ＜5000，得a ＞80，

∴当80＜a ＜100时，选择方案二．

22．（2016•常州模拟）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具．

（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该

x 应定为多少元？

（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于400件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？

解：（1）由题意可得：y=600﹣

2×20=1000﹣10x ，

（2）根据题意得出：﹣10x +1300x﹣30000=10000，

解得：x 1=50，x 2=80，

答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．

（3）根据题意得：

解得：44≤x ≤60，

w=﹣10x +1300x﹣30000=﹣10（x ﹣65）+12250，

∵a=﹣10＜0，对称轴是直线x=65，

∴当44≤x ≤60时，w 随x 增大而增大．

∴当x=60时，w 最大值=12000（元）．

答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为12000元

23．（2016•黄陂区校级模拟）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y （个）与销售单价x （元/个）之间的对应关系如图所示：

（1）试判断y 与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；

（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w （元）与销售单价x （元/个）之间的函数关系式；

（3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．

222

解：（1）y 是x 的一次函数，设y=kx+b图象过点（10，300），（12，240），

，

解得．

故y 与x 之间的函数关系为：y=﹣30x+600，

当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，

即点（14，180），（16，120）均在函数y=﹣30x+600的图象上．

∴y 与x 之间的函数关系式为y=﹣30x+600；

（2）w=（x ﹣6）（﹣30x+600）=﹣30x +780x﹣3600

2即w 与x 之间的函数关系式为w=﹣30x +780x﹣3600；

（3）由题意得6（﹣30x+600）≤900，解得x ≥15．

2

w=﹣30x +780x﹣3600图象对称轴为x=﹣

∵a=﹣30＜0，

∴抛物线开口向下，当x ≥15时，w 随x 增大而减小， 2=13，

∴当x=15时，w 最大=1350．

即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．

29．（2014•锦州）在机器调试过程中，生产甲、乙两种产品的效率分别为y 1、y 2（单位：件/时），y 1、y 2与工作时间x （小时）之间大致满足如图所示的函数关系，y 1的图象为折线OABC ，y 2的图象是过O 、B 、C 三点的抛物线一部分．

（1）根据图象回答：•调试过程中，生产乙的效率高于甲的效率的时间x （小时）的取值范围是 2＜x ＜8且x ≠6 ； 说明线段AB 的实际意义是 从第一小时到第六小时甲的工作效率是3件 ．

（2）求出调试过程中，当6≤x ≤8（3）时，生产甲种产品的效率y 1（件/时）与工作时间x （小时）之间的函数关系式．

（3）调试结束后，一台机器先以图中甲的最大效率生产甲产品m 小时，再以图中乙的最大效率生产乙产品，两种产品共生产6小时，求甲、乙两种产品的生产总量Z （件）与生产甲所用时间m （小时）之间的函数关系式．

解：（1）y 2图象在y 1上方的部分，生产乙的效率高于甲的效率的时间x （小时）的取值范围是2＜x ＜8且x ≠6； ‚线段AB 的实际意义是 从第一小时到第六小时甲的工作效率是3件；

（2）设函数解析式是y 1=kx+b，

图象过点B （6，3）、C （8，0）

，

解得，

故函数解析式为y 1=﹣+12；

（3）Z=3m+4（6﹣m ），

即Z=﹣m+24．

24．（2016•石河子校级模拟）已知：如图，斜坡PQ 的坡度i=1：，在坡面上点O 处有一根1m 高且垂直于水平面的水管OA ，顶端A 处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流

最高点M 比点A 高出1m ，且在点A 测得点M 的仰角为30°，以O 点为原点，OA 所在直线为y 轴，过O 点垂直于OA 的直线为x 轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B ，最高点为C ．

（1）写出A 点的坐标及直线PQ 的解析式；

（2）求此抛物线AMC 的解析式；

（3）求|xC ﹣x B |；

（4）求B 点与C 点间的距离．

解：（1）过点C 作CD ⊥x 轴一点D ，

∵在坡面上点O 处有一根1m 高且垂直于水平面的水管OA ，

∴A 点的坐标为：A （0，1），

∵斜坡PQ 的坡度i=1：，

∴设C 点横坐标为x ，则纵坐标为：

∴直线PQ 的解析式为：； x ，

（2）过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，作AF ⊥MN 于点F ，连接AM ，

∵水流最高点M 比点A 高出1m ，且在点A 测得点M 的仰角为30°，

∴MF=1，MN=2，AM=2，则AF=，

2∴M 点坐标为：（，2），代入y=a（x ﹣） +2，

再将（0，1）代入上式得：

21=a（0﹣） +2，

解得：a=﹣，

此抛物线AMC 的解析式为：y=﹣（x ﹣

（3）将直线PQ 的解析式：

联立：

x=﹣x +

整理得出：x ﹣

解得：x 1= 2 2） +2=﹣x +2 2x+1； ，以及抛物线AMC 的解析式：y=﹣（x ﹣） +2=﹣x +2 2x+1x+1， x ﹣3=0， ，x 2=，

故C 点横坐标为：

∴|xC ﹣x B |=﹣，B 点横坐标为：=（m ）； ，

（4）过点B 作BH ⊥CD 于点H ，

∵斜坡PQ 的坡度i=1：，

∴tan ∠CBH=

∴∠CBH=30°，

∵|xC ﹣x B |=BH=

∴BC===， ， =2（m ）．

25．（2016•邵阳县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x +x+2与x 轴相交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点M ，对称轴MN 与x 轴相交于点N ，连接AC ．

（1）求A 、B 两点的坐标；

（2）求∠CAO 的大小；

（3）抛物线的对称轴MN 上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2

解：（1）令y=﹣x +x+2=0，

解得：x=﹣2或x=4，

故A 点的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（4，0）；

2

（2）∵令x=0，则y=2，

∴点C 的坐标为（0，2），

∴AO=CO=2，

∴∠CAO=45°；

（3）∵抛物线y=﹣x +x+2=﹣（x ﹣1）+，

∴对称轴为x=1，

∵A （﹣2，0），C （0，2），

∴直线AC 的解析式为y=x+2，

当直角△ACP 的直角边PC 经过点C 时，

设直线PC 的解析式为y=﹣x+b，

∵经过点C （0，2），

∴直线PC 的解析式为y=﹣x+2，

∴当x=1时，y=﹣1+2=1，

∴点P 的坐标为（1，1）；

当直角△ACP 的直角边PA 经过点A 时，

设直线PA 的解析式为y=﹣x+b，

∵经过点A （﹣2，0），

∴直线AP 的解析式为y=﹣x ﹣2，

∴当x=1时，y=﹣1﹣2=﹣3，

∴点P 的坐标为（1，﹣3）；

综上所述：点P 的坐标为（1，1）和（1，﹣3）． 22

26．（2016•平昌县一模）如图，抛物线y=ax+bx+4与x 轴的两个交点分别为A （﹣4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；

（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长及H 点的坐标；

（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．

2

解：（1）由题意，得

解得，b=﹣1，

，顶点D 的坐标为（﹣1，）； ， 所以抛物线的解析式为

（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．

∵EF 垂直平分BC ，

∴C 关于直线EG 的对称点为B ，连结BD 交于EF 于一点，

∴这一点为所求点H ，使DH+CH最小，即最小为DH+CH=DH+HB=BD=． 而 ．

∴△CDH 的周长最小值为CD+DR+CH=，

设直线BD 的解析式为y=k1x+b，则 ，

解得 ，b 1=3．

x+3，

，Rt △CEG ∽△COB ， 所以直线BD 的解析式为y=由于BC=2，CE=BC=

得 CE ：CO=CG：CB ，所以 CG=2.5，GO=1.5．G （0，1.5）．

同理可求得直线EF 的解析式为y=x+，

联立直线BD 与EF 的方程，解得使△CDH 的周长最小的点H （，

（3）设K （t ，），x F ＜t ＜x E ． ）；

过K 作x 轴的垂线交EF 于N ．

则KN=yK ﹣y N =﹣（t+）=．

22所以 S △EFK =S△KFN +S△KNE =KN （t+3）+KN （1﹣t ）=2KN=﹣t ﹣3t+5=﹣（t+）+

即当t=﹣时，△EFK 的面积最大，最大面积为，此时K （﹣，）． ．

27．（2016•宝坻区一模）如图，经过点A （0，﹣6）的抛物线y=x +bx+c与x 轴相交于B （﹣2，0），C 两点

（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D 的坐标；

（2）将（1）中求得的拍无线向左平移1个单位长度，再向上平移m （m ＞0）个单位长度得到新抛物线y 1，若新抛物线y 1的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围；

（3）在（2）的结论下，当线段AB 的垂直平分线的解析式为y=x ﹣时，新抛物线y 1上是否存在点Q ，使得△QAB 是以AB 为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m 的取值范围． 2

解：（1）将A （0，﹣6），B （﹣2，0）代入y=+bx+c，

得：，

解得：，

∴y=﹣2x ﹣6，

∴顶点D 坐标为（2，﹣8）；

（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m （m ＞0）个单位长度得到新抛物线=1

+m，

∴P （1，﹣8+m），

在抛物线y=﹣2x ﹣6中易得C （6，0），

∴直线AC 为y 2=x﹣6，

当x=1时，y2=﹣5，

∴﹣5＜﹣8+m＜0，

解得：3＜m ＜8；

（3））∵A （0，﹣6），B （﹣2，0），

∴线段AB 的中点坐标为（﹣1，﹣3），直线AB 的解析式为y=﹣3x ﹣6，

∵线段AB 的垂直平分线的解析式为：y=

∴直线y=与y=， ﹣8+m有交点，

联立方程，求的判别式为：

△=64﹣12（6m ﹣29）≥0

解得：m ≤，

时，存在两个Q 点，可作出两个等腰三角形； ∴①当3＜m ＜

②当m=

③当时，存在一个点Q ，可作出一个等腰三角形； ＜m ＜8时，Q 点不存在，不能作出等腰三角形．

28．（2054•连云港）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上设定一个以大本营O 为圆心，半径为4km 的圆形考察区域，线段P 1P 2是冰川的部分边界线（不考虑其它边界），当冰川融化时，边界线沿着与其垂直的方向朝考察区域平行移动，若经过n 年，冰川的边界线P 1P 2移动的距离为s （km ），并且s 与n （n 为正整数）的关系是s=n ﹣2n+．以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，其中P 1、P 2的坐标分别为（﹣4，9）、（﹣13、﹣3）．

（1）求线段P 1P 2所在直线对应的函数关系式；

（2）求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．

解：（1）设P 1P 2所在直线对应的函数关系式是y=kx+b，根据题意，得

，

解得：，

∴直线P 1P 2的解析式是：y=x+

（2）在y=x+

当x=0，则y=

当y=0，则x=﹣中， ， ， ；

∴与x 、y 轴的交点坐标是（0，

由勾股定理，得）、（﹣=，0）． ，

当P 1P 2与⊙O 相切时，此时冰川移动的距离最短，

设移动的最短距离是s ，O 点到直线P 1P 2的距离为x ，

则根据面积相等列出等式，×

解得：x=

即s=

∵s=

∴2×=×x ， ， n+n+=， ， ﹣4=n ﹣n ﹣2

解得：n 1=6，n 2=﹣4.8（舍去）

答：冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为6年．

30．（2014•潍坊）如图，抛物线y=ax+bx+c（a ≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）平行于DE 的一条动直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标． 2

解：（1）∵抛物线y=ax+bx+c（a ≠0）过点C （0，4），

∴c=4 ①． 2

∵对称轴x=﹣=1，

∴b=﹣2a ②．

∵抛物线过点A （﹣2，0），

∴0=4a﹣2b+c ③，

由①②③解得，a=﹣，b=1，c=4，

∴抛物线的解析式为y=﹣x +x+4；

（2）假设存在满足条件的点F ，如图所示，连结BF 、CF 、OF ，过点F 作FH ⊥x 轴于点H ，FG ⊥y 轴于点G ．

设点F 的坐标为（t ，﹣t +t+4），其中0＜t ＜4，

则FH=﹣t +t+4，FG=t，

∴S △OBF =OB •FH=×4×（﹣t +t+4）=﹣t +2t+8，

S △OFC =OC •FG=×4×t=2t，

∴S 四边形ABFC =S△AOC +S△OBF +S△OFC =4﹣t +2t+8+2t=﹣t +4t+12．

2令﹣t +4t+12=17，

2即t ﹣4t+5=0，

2则△=（﹣4）﹣4×5=﹣4＜0，

2∴方程t ﹣4t+5=0无解，

故不存在满足条件的点F ；

（3）设直线BC 的解析式为y=kx+n（k ≠0），

∵B （4，0），C （0，4），

∴

解得， ， 2222222

∴直线BC 的解析式为y=﹣x+4．

由y=﹣x +x+4=﹣（x ﹣1）+，

∴顶点D （1，），

又点E 在直线BC 上，则点E （1，3），

于是DE=﹣3=．

若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，因为DE ∥PQ ，只须DE=PQ， 设点P 的坐标是（m ，﹣m+4），则点Q 的坐标是（m ，﹣m +m+4）． ①当0＜m ＜4时，PQ=（﹣m +m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m +2m，

由﹣m +2m=，

解得：m=1或3．

当m=1时，线段PQ 与DE 重合，m=1舍去，

∴m=3，P 1（3，1）．

②当m ＜0或m ＞4时，PQ=（﹣m+4）﹣（﹣m +m+4）=m ﹣2m ， 由m ﹣2m=，

解得m=2±，经检验适合题意，

此时P 2（2+，2﹣），P 3（2﹣，2+）．

综上所述，满足题意的点P 有三个，分别是P 1（3，1），P 2（2+222222222，2﹣），P 3（2﹣，2+）．