北师大版必修一3.2 指数扩充及其运算性质

[读教材·填要点]

1．分数指数幂 (1)定义：

给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素) ，存在唯一的正实数b ，使得b n

m

＝a ，把b 叫作a 的b ＝a ，它就是分数指数幂．

n

m

(2)几个结论：

①正分数指数幂的根式形式：a a >0)．

m ②负分数指数幂的意义：a －m (a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．

n

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． 2．指数幂的运算性质

若a >0，b >0，对任意实数m ，n ，指数运算有以下性质： (1)a m ·a n ＝a m n ；

＋

m

n

n

(2)(a m ) n ＝a m ·；

(3)(ab ) m ＝a m m ．

[小问题·大思维]

3

1．若b ＝5，则b ＝5，b 叫作5的次幂吗？

2

2

3

32

3

提示：不一定，当b ＞0时，可以；当b ＜0时，b 不叫作5的

22．为什么分数指数幂中规定整数m ，n 互素？

提示：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：a 中，底数a ∈R ，当a ＜0时，a ＜0，而如果把a 写成a ，有两种运算：一是a ＝(a ) 就必须a ≥0；二是a ＝(a ) ，在a ＜0时，a 的结果大于0，与a ＜0相矛盾．所以规定整数m 、n 互素．

m

3．分数指数幂a 可以理解为a 相乘，对吗？

n

m n

26

13

13

13

26

26

162

26

13

26

1

m

m n

提示：分数指数幂a 不可理解为个a 相乘，它是根式的一种新的写法，规定：a n ＝(a ) m

n

m n

m m 111n

＝a (a >0，n 、m ∈N ＋为既约分数) ，a ＝m (a >0，n 、m ∈N ＋，

n n a （a ）m a m

且为既约分数) ．

n

[研一题]

[例1] 用分数指数幂表示下列各式． (1)a a (a ＞0) ； (2)

13

x （x ）2

2

b －－b ＞0) ． 33

a ·a 13x ·x

4

12

；

4

[自主解答] (1)原式＝(2)原式＝

13x ·（x ）

＝

1

2

a ＝(a ) ＝a ；

32312234

2

113913＝x －；

53（x 5）3x 5

x 5

22121

21(－3(－34－34×

(3)原式＝[(b －) ]＝b ＝b 9.

3

[悟一法]

此类问题应熟练应用a ＝a (a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1) ．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再根据性质进行化简．

[通一类]

1．用分数指数幂表示下列各式． (1)82；(2)a a ；(3)

2

m n

a

12

a a (a ＞0) ；

12

(4)

a 2a a (a ＞0) ．

12

1

72

解：(1)82＝2·2＝2(2)原式＝a ·a ＝a (3)原式＝

a 2

a

1

2

33＋2

＝2；

2

23

2＋3

2

＝a ；

12

83

a ·a ＝

223

12

12

a

12

a ＝ a a ＝ a ＝a ；

112212

(4)原式＝12a

a 2a 3

＝a .

56

[研一题]

[例2] 计算或化简． (1)a 3b 2(2ab 1) 3；

－

41

70－0.753－3

(2)(0.064)－(－) ＋[(－2) ]＋16＋|－0.01|2；

8

－3

1

2

70.510－337－2

＋0.1＋(2－3π0＋

92748

3(4) (5)4

a

2

a ÷

3

2

－3

3

a a (a ＞0) ；

＋1

·2

3－2 ·8.

－

－

[自主解答] (1)原式＝a 3b 223a 3b 3＝8a 6b 1； (2)原式＝[(0.4)]

3 －3

1

11143－

－1＋(－2) ＋2＋[(0.1)]＝(0.4)1－1＋＋0.1＝

16880

－4

－3

22

1

25164－23722

(3)原式＝() ＋10＋() 3－3＋927485937

＝＋100＋－3＋31648＝100； (4)原式＝[a ·a

19

32

12

(－3) 3]÷[a

17

(－32)·a

113

23

]

93713＝－－ 6666＝a 0＝1； (5)原式＝(22) ＝22＝22

＋2

＋1

·23

－22

·(23) －

3

·23

－·22

－

＋2＋3－2－2

＝23＝8.

[悟一法]

进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用．一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．

[通一类]

2．计算或化简下列各式．

1－271

(1)0.027－(－) ＋(2) －(2－1) 0；

79

－1

3

1－124ab ）) 1； 4－2－

0.1（a 3b 3）2

(3)

a －8a b

23

413

4b ＋2ab ＋a 3

33

(1－2 . 2a

27－11－2251解：(1)原式＝) －() ＋() －1＝

1 00079105

－49＋－1＝－45； 33

4·a ·b 12·234－2

(2)原式＝(2) －＝

21－23310252（·a ·b －102a －2b 1

(3)原式＝2×a 3 1121

4b 3＋2a 3b 3＋a 3a 3

a （a －8b ）

＝

a （a －2b ）（a ＋2a b ＋4b ）

4b ＋2a b ＋a

＝a ·a ·a ＝a .

[研一题]

[例3] 已知a ＋a ＝3，求下列各式的值： (1)a ＋a 1； (2)a 2＋a 2； (3)

－

－

3

3－3

131313

[1**********]33

23

333

a

33a －2b

a

13

1131313

12

1

－2

a -a a -a

12

32

-

3212

-

.

[自主解答] (1)将a ＋a ＝3两边平方，得a ＋a 1＋2＝9，即a ＋a 1＝7；

－－

－

11

(2)将a ＋a 1＝7两边平方，有a 2＋a 2＋2＝49.

－

－

∴a 2＋a 2＝47；

－

(3)由于a －a ＝(a ) －(a ) 3，

－2

－2

32

3

123

1

所以有

a -a a -a

12

32

-

3212

111-⎫⎛-⎫⎛1-12222

a -a ⎪a +a +a . a ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝

-

a -a

12

-

12

＝a ＋a 1＋1＝8.

－

[悟一法]

对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形及平方、平方差等公式的应用，含开方运算时还要注意其符号问题．

[通一类]

3．(1)若10＝25，10＝5，则10y x ＝________．

－

2x

y 2

a 2＋1

(2)若a －a ＝m ，则＝________．

a

12

1

－2

解析：(1)由102x ＝25，得10x ＝5， ∴10＝(10) ＝5，而10＝(10) ＝5， ∴10y ＝52，则10y x ＝10y ·10x ＝52·51＝5.

－

－

－

－x

x －1－1

y

2

y 2

1

(2)由a －a ＝m ，两边平方得：a ＋a 1－2＝m 2；

－－

11

a 2＋1－

∴a ＋a ＝m ＋2，而a ＋a 1＝m 2＋2

a

－1

2

答案：(1)5 (2)m 2＋

2

a 3n ＋a 3n

设a ＝3，a ＞0－

a ＋a

－

2n

[解] 法一：由a 2n ＝3，a ＞0得 a n ＝3，a n ＝

－

11－

a 3n ＝3) 3＝33，a 3n ＝333

∴

a ＋a

a ＋a 3n －3n

1

3＋

33

＝13＋

3

（3）2＋1＝3×33＋3287＝＝123

a 3n ＋a 3n （a n ＋a n ）（a 2n －a n a n ＋a 法二：－－

a ＋a a ＋a －

－

－

－2n

）

＝a 2n －1＋a

－2n

17

＝3－1＋＝.

33a ＋a 法三：－

a ＋a 3n

－3n

1a 3n ＋a

1n

a ＋a

a 6n ＋133＋1＝a （a ＋1）3（3＋1）7＝.

3

1．计算243等于( ) A ．9 C ．±3

5

1

5

B ．3 D ．－3

15

解析：由3＝243，得243＝3. 答案：B

2．下列各式运算错误的是( ) A ．(－a 2b ) 2·(－ab 2) 3＝－a 7b 8 B ．(－a 2b 3) 3÷(－ab 2) 3＝a 3b 3 C ．(－a 3) 2·(－b 2) 3＝a 6b 6 D ．[(a 3) 2·(－b 2) 3]3＝－a 18b 18

解析：对C ，(－a 3) 2·(－b 2) 3＝a 6·(－b 6) ＝－a 6b 6≠a 6b 6. 答案：C 3.

a 3a a a ＞0) 的值是( )

A ．1 B ．a C ．a D ．a

117

解析：14＝14＝13＝a

a 2·a 5a 25a 10答案：D 4．若b

－3m

a 3a 3a 3

3－10

13

＝a .

17

10

＝π2n (b ＞0，m ，n ∈N ＋) ，则b ＝________．

－3m

解析：由b

1π

＝π2n ，得b ＝π－

2n 12n . 3m π答案：

3m

－

－6

5．已知x 3＋1＝a ，则a 2－2ax 3＋x

－

的值为________．

解析：∵x 3＋1＝a ，∴a －x 3＝1，

－

－

∴a 2－2ax 3＋x 6＝(a －x 3) 2＝1.

－

－

－

答案：1 6．求值：

41612(2×3) 6＋(2) －4() －－2×80.25＋(－2 013)0.

[1**********]3

解：原式＝2(2×36＋(2×24×－2＋1

32243444＝2×22×33＋2－7－2＋

1＝210.

一、选择题

1．下列根式与分数指数幂互化中正确的是( ) A ．－x ＝(－x ) (x ≠0) B ．x ＝－x (x ≠0)

－3

12

1

4x －3y 4

C ．() ＝ （3(xy >0)

y x D. y ＝y (y ＜0)

解析：A 中－x ＝－x ≠(－x ) (x ≠0)，故A 不正确；

1

1

11B 中x ＝

1－x (x ≠0)，B 不正确；

x

4x －311C 中) ＝＝ （3(xy >0)，C 正确； ＝y x x

3（44

y （）

y

D 中y ＝(－y ) ＝(－y ) ＝－y ≠y (y ＜0) ，D 不正确． 答案：C 2．将

12

21113

－2化为分数指数幂的形式为( )

B ．－2

112

A ．2 1

C ．2－

2

3

D ．－2

3311－2

解析：原式＝

答案：B

－2＝(－2) ＝－2.

3．计算[(2) ]的结果是( ) 2 2

2

1

1

－2

－2－2

1

B 2 D 2 2

111

11－1－2－1 －22

解析：原式＝[＝22＝2. 2]＝[2]＝2＝(2) （－）2）

答案：A

1

1

4．若x ＞0，则(2x ＋3)·(2x －3) －4x －x －x 2) 等于( )

2

14

32

14

32

A ．－23

12

142

B ．23

1

C ．－23x D ．－23x

322

1

－2

2

1

－2

解析：原式＝(2x ) －(3) －4x ·x ＋4x ·x ＝4x －27－4x ＋4＝－23. 答案：A 二、填空题

1－41－105．0.25×(－) －4÷2－() 2＝________．

2161

解析：16－4－4＝－4.

4答案：－4

6．若x ＜0，则|x |x ＋________．

|x |

121212

|x |

解析：原式＝|x |－|x |＋＝1.

|x |答案：1

x ＋y x －y

7．若xy ＝8，且x ＞0，y ＞0，则1122＝________.

x 3＋y 3x 3－y 3

解析：原式＝(x －x y ＋y ) －(x ＋y ) ＝－x y ＝－(xy ) ＝－8＝－2. 答案：－2

8．已知10＝2，100＝3，则1 000

β

2β

α

β

2α－1

23

1133

23

23

23

1133

13

13

44＝________．

1解析：∵100＝3，即10＝3，∴10＝3. ∴1 000

2α－31

β

＝10

6α－β

（10α）62664＝＝1＝103

32

64答案：3三、解答题

1⎛1－27； 9．(1)计算：⎛＋⎝4⎝62⎭

－2

1－4⎫÷(2)化简：⎛ b a (a >0，b >0)． 23⎝a b ⎭

－3

1

解：(1)原式＝42＋1－3＝14；

2

－3

(2)原式＝a (b ) ÷(b a ) ＝a

－3＋2－2－(－2)

2

3－3

－2－2

1

21

b

1－

＝a 1b 0＝.

a

－

－

10．已知f (x ) ＝a x －a x ，g (x ) ＝a x ＋a x (a ＞1) ． (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；

g （x ＋y ）

(2)设f (x )·f (y ) ＝4，g (x )·g (y ) ＝8，求

g （x －y ）解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2 ＝(a x －a x ) 2－(a x ＋a x ) 2

－

－

＝2a x ·(－2a x )

－

＝－4.

(2)∵f (x )·f (y ) ＝4， ∴(a x －a x )(a y －a y ) ＝4.

－

－

∴a x y ＋a

＋

－(x ＋y )

－a x y －a y x ＝4，

－

－

即g (x ＋y ) －g (x －y ) ＝4. ① ∵g (x )·g (y ) ＝8， ∴(a x ＋a x )·(a y ＋a y ) ＝8.

－

－

∴a x y ＋a

＋

－(x ＋y )

＋a x y ＋a y x ＝8，

－

－

即g (x ＋y ) ＋g (x －y ) ＝8. ② 由①②得g (x ＋y ) ＝6，g (x －y ) ＝2. ∴

g （x ＋y ）

3.

g （x －y ）