第3课时 平方根

1．了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；(重点)

2．了解开平方与平方是互逆运算，会用开平方运算求非负数的平方根．(难点)

一、情境导入

填空：(1)3的平方等于9，那么9的算术平方根就是________；

(2)的平方等于，那么的算术平方根就是________；

(3)展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长为________米．

还有平方等于9，，49的其他数吗？

二、合作探究

探究点一：平方根的概念及性质

【类型一】 求一个数的平方根

求下列各数的平方根：

(1)1；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5).

解析：把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．

解：(1)∵1＝，(±)2＝，∴1的平方根为±，即±＝±；

(2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±＝±0.01；

(3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±＝±4；

(4)∵(±10－3)2＝10－6，∴10－6的平方根是±10－3，即±＝±10－3；

(5)∵(±3)2＝9＝，∴的平方根是±3.

方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(5)中是求9的平方根．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

【类型二】 利用平方根的性质求值

一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．

解析：因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a＋1和a－4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解．

解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.

方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第11题

探究点二：开平方及相关运算

求下列各式中x的值：

(1)x2＝361;  (2)81x2－49＝0；

(3)49(x2＋1)＝50;  (4)(3x－1)2＝(－5)2.

解析：若x2＝a(a≥0)，则x＝±，先把各题化为x2＝a的形式，再求x.其中(4)中可将(3x－1)看作一个整体，先通过开平方求出这个整体的值，然后解方程求出x.

解：(1)∵x2＝361，∴开平方得x＝±＝±19；

(2)整理81x2－49＝0，得x2＝，∴开平方得x＝±＝±；

(3)整理49(x2＋1)＝50，得x2＝，∴开平方得x＝±＝±；

(4)∵(3x－1)2＝(－5)2，∴开平方得3x－1＝±5.当3x－1＝5时，x＝2；当3x－1＝－5时，x＝－.综上所述，x＝2或－.

方法总结：利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；开平方时，不要漏掉负平方根．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1．平方根的概念：若x2＝a，则x叫a的平方根，x＝±.

2．平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

3．开平方及相关运算：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数．开平方与平方互为逆运算．

为学生提供有趣且富有数学含义的问题，让学生进行充分的探索和交流．如把正方形的面积不断地扩大为原来的2倍、3倍、n倍，引导学生进行交流、讨论与探索，从中感受学习平方根的必要性