高等数学公式大全(精华版)

高等数学公式

导数公式：

2

(tgx ) '=sec x (ctgx ) '=-csc x (secx ) '=sec x ⋅tgx (cscx ) '=-csc x ⋅ctgx (a ) '=a ln a (log

a x

x

2

(arcsinx ) '=(arccosx ) '=-(arctgx ) '=

11+x

1-x

1-x

2

22

x ) '=

1x ln a

(arcctgx ) '=-

11+x

2

基本积分表：

⎰tgxdx ⎰ctgxdx ⎰sec ⎰a ⎰x ⎰a ⎰

=-ln cos x +C =ln sin x +C

⎰cos ⎰sin

dx

2

x x

==

⎰sec ⎰csc

2

xdx =tgx +C xdx =-ctgx +C

dx

2

2

xdx =ln sec x +tgx +C

⎰csc xdx =ln csc x -ctgx +C

dx

2

⎰sec x ⋅tgx dx ⎰csc x ⋅ctgxdx ⎰a

x

=sec x +C =-csc x +C +C

+x dx -a dx -x dx

2

2

===

1a 1

arctg ln ln

x a

+C +C +C

x -a x +a a +x a -x x a

dx =

a

x

ln a

22

2a 12a

⎰shxdx ⎰chxdx ⎰

π

2

=chx +C =shx +C

=ln(x +

x ±a ) +C

2

2

22

a -x

2

=arcsin +C

dx x ±a

2

2

π

2

I n =

⎰sin

02

n

xdx =⎰cos xdx =

n

n -1n a a a

2

I n -2

x +a ) +C x -a x a +C

2

2

2

2

⎰⎰⎰

2u 1+u

x +a dx =x -a dx =a -x dx =

2

2

2

2

2

x 2x 2x 2

x +a +x -a -a -x +

2

2

2

2

22

2

2

ln(x +ln x +arcsin

2

2

+C

2

三角函数的有理式积分： sin x =

，　cos x =2

1-u 1+u

2

，　u =tg 2

x 2

，　dx =

2du 1+u

2

一些初等函数： 两个重要极限：

e -e

2e +e

2shx chx

2x

-x

x

-x

双曲正弦:shx =双曲余弦:chx =双曲正切:thx =arshx =ln(x +archx =±ln(x +arthx =

12ln 1+x 1-x

lim

sin x x 1x

x →0

=1

) =e =2. 7182818284

x

59045...

lim (1+

x →∞

=

e -e e +e

x

x -x -x

x +1）x -1)

2

三角函数公式： ·诱导公式：

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin βcos(α±β) =cos αcos β sin αsin βtg (α±β) =

tg α±tg β1 tg α⋅tg βctg α⋅ctg β 1ctg β±ctg α

sin α+sin β=2sin sin α-sin β=2cos

α+β2

cos sin

α-β2

α+β2

α-β2

cos α+cos β=2cos cos α-cos β=2sin

α+β2

cos sin

α-β2

ctg (α±β) =

α+β2

α-β2

·倍角公式： sin 2α=2sin αcos α

cos 2α=2cos α-1=1-2sin α=cos α-sin αctg 2α=tg 2α=

ctg α-12ctg α2tg α1-tg α

22

2

2

2

2

sin 3α=3sin α-4sin αcos 3α=4cos α-3cos αtg 3α=

3tg α-tg α1-3tg α

233

3

·半角公式：

sin tg

α

2

=±=±

-cos α

21-cos α1+cos α

a sin A

　　　　　　　　　　1-cos αsin αb sin B

=

　　cos 　　ctg

α

2

=±

+cos α

21+cos α1-cos α

2

2

=

1+cos αsin α

2

α

2

==c

sin α1+cos α

α

2

=±=

sin α1-cos α

·正弦定理：

=

sin C

=2R ·余弦定理：c =a +b -2ab cos C

·反三角函数性质：arcsin x =

π

2

-arccos x 　　　arctgx =

π

2

-arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：

n

(uv ) =u

(n )

=

∑C

k =0

k n

u

(n -k )

v

(k )

(n )

v +nu

(n -1)

v '+

n (n -1) 2!

u

(n -2)

v ''+ +

n (n -1) (n -k +1)

k !

u

(n -k )

v

(k )

+ +uv

(n )

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：柯西中值定理：

f (b ) -f (a ) =f '(ξ)(b -a )

=f '(ξ) F '(ξ)

拉格朗日中值定理。

f (b ) -f (a ) F (b ) -F (a )

当F (x ) =x 时，柯西中值定理就是

曲率：

弧微分公式：平均曲率：K =

ds =∆α∆s

2

+y 'dx , 其中y '=tg α

∆α:从M 点到M '点，切线斜率的倾角变

∆α∆s

d αds

y ''(1+y ')

2

3

化量；∆s ：M M '弧长。

M 点的曲率：直线：K =0;

K =lim

∆s →0

==.

半径为a 的圆：K =

1a

.

定积分的近似计算：

b

矩形法：⎰f (x ) ≈

a b

b -a n

(y 0+y 1+ +y n -1)

梯形法：⎰f (x ) ≈

a

b

b -a 1

[(y 0+y n ) +y 1+ +y n -1]n 2b -a 3n

[(y 0+y n ) +2(y 2+y 4+ +y n -2) +4(y 1+y 3+ +y n -1)]

抛物线法：⎰f (x ) ≈

a

定积分应用相关公式：

功：W =F ⋅s 水压力：F =p ⋅A 引力：F =k

m 1m 2r

2

, k 为引力系数1b -a

b

函数的平均值：y =

1b -a

b

⎰

a

f (x ) dx

均方根：

⎰

a

f (t ) dt

2

空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：向量在轴上的投影：

d =M 1M

2

=

(x 2-x 1) +(y 2-y 1) +(z 2-z 1)

222

Pr j u AB =cos ϕ, ϕ是AB 与u 轴的夹角。

Pr j u (a 1+a 2) =Pr j a 1+Pr j a 2

a ⋅b =a ⋅b cos θ=a x b x +a y b y +a z b z , 是一个数量两向量之间的夹角：

cos θ=k

,

a x b x +a y b y +a z b z

a x +a y +a z ⋅b x +b y +b z

2

2

2

2

2

2

i

c =a ⨯b =a x

b x

j a y b y

a z , c =a ⋅b sin θ. 例：线速度：b z

a y b y c y

a z b z c z

v =w ⨯r .

a x

向量的混合积：[a b c ]=(a ⨯b ) ⋅c =b x

c x

代表平行六面体的体积

。

=a ⨯b ⋅c cos α, α为锐角时，

平面的方程：1、点法式：

A (x -x 0) +B (y -y 0) +C (z -z 0) =0，其中n ={A , B , C },M 0(x 0, y 0, z 0) Ax +By +Cz +D =0x a +y b +z c =1

d =

Ax 0+By 0+Cz 0+D

A +B +C

空间直线的方程：

2

2

2

2、一般方程：3、截距世方程：

平面外任意一点到该平面的距离：

⎧x =x 0+mt

x -x 0y -y 0z -z 0 ⎪

===t , 其中s ={m , n , p };参数方程：⎨y =y 0+nt m n p ⎪z =z +pt

0⎩

22

22

二次曲面：1、椭球面：2、抛物面：3、双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面：

x a x a

2222

x a

222

++

y b

+

2

z c

=1

x y

2p 2q

=z （, p , q 同号）

+-

y b y b

2222

-+

z c z c

2222

=1

=（马鞍面）1

多元函数微分法及应用

全微分：dz =

∂z ∂x dx +

∂z ∂y

dy 　　　du =

∂u ∂x dx +

∂u ∂y dy +

∂u ∂z dz

全微分的近似计算：多元复合函数的求导法

∆z ≈dz =f x (x , y ) ∆x +f y (x , y ) ∆y ：

dz ∂z ∂u ∂z ∂v

z =f [u (t ), v (t )]=⋅+⋅　

dt ∂u ∂t ∂v ∂t ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v

z =f [u (x , y ), v (x , y )]=⋅+⋅

∂x ∂u ∂x ∂v ∂x 当u =u (x , y ) ，v =v (x , y ) 时，du =

∂u ∂x dx +

∂u ∂y

dy 　　　dv =

∂v ∂x dx +

∂v ∂y dy 　

隐函数的求导公式：

F F F dy d y ∂∂dy

隐函数F (x , y ) =0=-x 2=(-x ) ＋(-x ) ⋅

dx F y ∂x F y ∂y F y dx dx F y F x ∂z ∂z

隐函数F (x , y , z ) =0=-=-

∂x F z ∂y F z

∂F

⎧F (x , y , u , v ) =0∂(F , G )

隐函数方程组：⎨　　　J ==∂u

∂G ∂(u , v ) ⎩G (x , y , u , v ) =0

∂u ∂u ∂x ∂u ∂y

=-=-

1∂(F , G ) ∂v 1∂(F , G ) ⋅=-⋅J ∂(x , v ) ∂x J ∂(u , x ) 1∂(F , G ) ∂v 1∂(F , G ) ⋅=-⋅J ∂(y , v ) ∂y J ∂(u , y )

∂F ∂v =F u

∂G G u ∂v

F v G v

2

微分法在几何上的应用：

⎧x =ϕ(t )

x -x 0y -y 0z -z 0⎪

空间曲线⎨y =ψ(t ) 在点M (x 0, y 0, z 0) 处的切线方程：==

ϕ'(t 0) ψ'(t 0) ω'(t 0) ⎪z =ω(t )

⎩在点M 处的法平面方程：若空间曲线方程为：

ϕ'(t 0)(x -x 0) +ψ'(t 0)(y -y 0) +ω'(t 0)(z -z 0) =0

F z G z G z

, F z

F x G x

, F x G x

F y G

y

⎧ F y ⎪F (x , y , z ) =0

, 则切向量T ={⎨

G y ⎪⎩G (x , y , z ) =0

曲面F (x , y , z ) =0上一点M (x 0, y 0, z 0) ，则：

1、过此点的法向量：n ={F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)}2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：

：F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0) +F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0) +F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0) =0x -x 0

F x (x 0, y 0, z 0)

=

y -y 0

F y (x 0, y 0, z 0)

=

z -z 0

F z (x 0, y 0, z 0)

方向导数与梯度：

函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 沿任一方向其中ϕ为x 轴到方向l 的转角。

∂f ∂f

函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 的梯度：grad f (x , y ) =i +j

∂x ∂y 它与方向导数的关系是单位向量。

∂l

多元函数的极值及其求法： ∴∂f

是grad f (x , y ) 在l 上的投影。

∂f

=grad f (x , y ) ⋅e ，其中e =cos ϕ⋅i +sin ϕ⋅j ，为l 方向上的∂l

l 的方向导数为：

∂f ∂l =∂f ∂x cos ϕ+

∂f ∂y sin ϕ

设f x (x 0, y 0) =f y (x 0, y 0) =0，令：f xx (x 0, y 0) =A , 　f xy (x 0, y 0) =B , 　f yy (x 0, y 0) =C ⎧⎧A 0时，⎨⎪

⎩A >0, (x 0, y 0) 为极小值⎪

⎪2则：值⎨AC -B

⎪AC -B 2=0时, 　　　　　　　不确定⎪⎪⎩

重积分及其应用：

⎰⎰

D

f (x , y ) dxdy =

⎰⎰

D '

f (r cos θ, r sin θ) rdrd θ

⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫

⎪1+ ⎪+ ⎪dxdy

⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭

2

2

曲面z =f (x , y ) 的面积A =

⎰⎰

D x

平面薄片的重心：=

M M

⎰⎰x ρ(x , y ) d σ

=

D

⎰⎰ρ(x , y ) d σ

D

, 　　=

M M

y

⎰⎰

=

D D

y ρ(x , y ) d σ

⎰⎰ρ(x , y ) d σ

⎰⎰

D

x ρ(x , y ) d σ

2

平面薄片的转动惯量：平面薄片（位于F x =f

对于x 轴I x =

⎰⎰

D

y ρ(x , y ) d σ, 　　对于y 轴I y =

2

xoy 平面）对z 轴上质点M (0, 0, a ), (a >0) 的引力：F ={F x , F y , F z }，其中：

F y =f 3

⎰⎰

D

ρ(x , y ) xd σ

2

2

2

⎰⎰

D

ρ(x , y ) yd σ

2

2

2

F z =-fa ⎰⎰3

D

ρ(x , y ) xd σ

3

(x +y +a ) 2(x +y +a ) 2(x +y +a ) 2

222

柱面坐标和球面坐标：

⎧x =r cos θ⎪

柱面坐标：⎨y =r sin θ, 　　　⎰⎰⎰f (x , y , z ) dxdydz =

Ω⎪z =z

⎩其中：F (r , θ, z ) =f (r cos θ, r sin θ, z )

⎧x =r sin ϕcos θ⎪2

球面坐标：⎨y =r sin ϕsin θ，　　dv =rd ϕ⋅r sin ϕ⋅d θ⋅dr =r sin ϕdrd ϕd θ

⎪z =r cos ϕ⎩

2π

⎰⎰⎰

Ω

F (r , θ, z ) rdrd θdz ,

sin ϕdr M ==

2

2

πr (ϕ, θ)

2

⎰⎰⎰

Ω

f (x , y , z ) dxdydz =

1M

⎰⎰⎰

Ω

F (r , ϕ, θ) r sin ϕdrd ϕd θ=

1M

2

⎰d θ⎰d ϕ⎰F (r , ϕ, θ) r

重心：=转动惯量：

⎰⎰⎰

Ω

x ρdv , 　　=

⎰⎰⎰

Ω

y ρdv , 　　=

1M

2

⎰⎰⎰

Ω

z ρdv ，　　其中

⎰⎰⎰

Ω

ρdv

I x =

⎰⎰⎰(y

Ω

2

+z ) ρdv ，　　I y =

2

⎰⎰⎰(x

Ω

2

+z ) ρdv ，　　I z =

⎰⎰⎰(x

Ω

+y ) ρdv

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧

长的曲线积分）：

⎧x =ϕ(t )

设f (x , y ) 在L 上连续，L 的参数方程为：⎨, 　　(α≤t ≤β), 则：

y =ψ(t ) ⎩

β

⎰

L

f (x , y ) ds =

⎰

α

⎧x =t 22

f [ϕ(t ), ψ(t )]'(t ) +ψ'(t ) dt 　　(α

⎩y =ϕ(t )

第二类曲线积分（对坐设L 的参数方程为

标的曲线积分）：

⎧x =ϕ(t )

，则：⎨

y =ψ(t ) ⎩

β

⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =⎰{P [ϕ(t ), ψ(t )]ϕ'(t ) +Q [ϕ(t ), ψ(t )]ψ'(t )}dt

L

α

两类曲线积分之间的关L 上积分起止点处切向量格林公式：⎰⎰(

D

系：⎰Pdx +Qdy =

L

⎰(P cos α

L

+Q cos β) ds ，其中α和β分别为

的方向角。) dxdy =

∂Q ∂x

-

∂P ∂y

Pdx +Qdy 格林公式：⎰⎰(

L

D

∂Q ∂x

-

∂P ∂y

) dxdy =

1

Pdx

L

+Qdy

∂Q ∂P

当P =-y , Q =x -=2时，得到D 的面积：A =

∂x ∂y ·平面上曲线积分与路径1、G 是一个单连通区域；

2、P (x , y ) ，Q (x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积在∂Q ∂x ＝∂P ∂y

注意方向相反！：

，且

∂Q ∂x

无关的条件：

⎰⎰

D

dxdy =

xdy 2

L

-ydx

＝

∂P ∂y

(0, 0) ，应

时，Pdx +Qdy 才是二元函数

u (x , y ) 的全微分，其中：

(x , y )

u (x , y ) =

⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ，通常设

(x 0, y 0)

x 0=y 0=0。

曲面积分： 对面积的曲面积分：对坐标的曲面积分：

⎰⎰

∑∑

f (x , y , z ) ds =

⎰⎰

D xy

f [x , y , z (x , y )]+z x (x , y ) +z y (x , y ) dxdy

22

⎰⎰P (x , y , z ) dydz

D xy

+Q (x , y , z ) dzdx +R (x , y , z ) dxdy ，其中：

号；

⎰⎰R (x , y , z ) dxdy

∑

=±⎰⎰R [x , y , z (x , y )]dxdy ，取曲面的上侧时取正=±⎰⎰P [x (y , z ), y , z ]dydz ，取曲面的前侧时取正

D yz

号；号。

+Q cos β+R cos γ) ds

⎰⎰P (x , y , z ) dydz

∑

⎰⎰Q (x , y , z ) dzdx

∑

=±⎰⎰Q [x , y (z , x ), z ]dzdx ，取曲面的右侧时取正

D zx

两类曲面积分之间的关

系：⎰⎰Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =

∑

⎰⎰(P cos α

∑

高斯公式：

⎰⎰⎰

Ω

(

∂P ∂x

+

∂Q ∂y

+

∂R ∂z

) dv =

Pdydz

∑

+Qdzdx +Rdxdy =

(P cos α

∑

+Q cos β+R cos γ) ds

高斯公式的物理意义——通量与散度：

div ν

∂P ∂Q ∂R

散度：div ν=++, 即：单位体积内所产生的流体质量，若

∂x ∂y ∂z

通量：⎰⎰A ⋅n ds =⎰⎰A n ds =⎰⎰(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds ，

∑

∑

∑

因此，高斯公式又可写

成：⎰⎰⎰

Ω

div A dv =

A

∑

n

ds

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

⎰⎰

∑

(

∂R ∂y

-

∂Q ∂z

) dydz +(

∂P ∂z

-

∂R ∂x

) dzdx +(dzdx ∂∂y Q

∂Q ∂x

-

∂P ∂y

) dxdy =cos α∂∂x P

Pdx

Γ

+Qdy +Rdz cos γ∂∂z R

上式左端又可写成：

⎰⎰

∑

dydz ∂∂x P

dxdy ∂∂z R ∂R ∂y

=

=

⎰⎰

∑

cos β∂∂y Q

空间曲线积分与路径无

i ∂∂x P

j ∂∂y Q

关的条件：k ∂∂z R

∂Q

∂P ∂R ∂Q ∂P ==∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

旋度：rot A =

向量场A 沿有向闭曲线

Γ的环流量：Pdx +Qdy +Rdz =

Γ

Γ

A ⋅t ds

常数项级数：

等比数列：1+q +q + +q 等差数列：1+2+3+ +n =调和级数：1+

12+13+ +

1n

2

n -1

=

1-q

n

1-q

(n +1) n 2

是发散的

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法

——根植审敛法（柯西判

别法）：

⎧ρ

u n ，则⎨ρ>1时，级数发散

⎪ρ=1时，不确定⎩

设：ρ=lim

n →∞

2、比值审敛法：

⎧ρ

U n +1⎪

设：ρ=lim ，则⎨ρ>1时，级数发散

n →∞U

n ⎪ρ=1时，不确定

⎩3、定义法：

s n =u 1+u 2+ +u n ; lim s n 存在，则收敛；否则发

n →∞

散。

交错级数u 1-u 2+u 3-u 4+ (或-u 1+u 2-u 3+ , u n >0) 的审敛法⎧⎪u n ≥u n +1

如果交错级数满足⎨lim u =0，那么级数收敛且其和

⎪⎩n →∞n

绝对收敛与条件收敛：

(1) u 1+u 2+ +u n + ，其中u n 为任意实数；(2) u 1+u 2+u 3+ +u n +

如果(2) 收敛，则(1) 肯定收敛，且称为绝对如果(2) 发散，而(1) 收敛，则称调和级数：∑　　级数：∑

1n n

发散，而收敛；

≤１时发散p >1时收敛

收敛级数；

——莱布尼兹定理：

s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值r n ≤u n +1。

(1) 为条件收敛级数。

n

∑

(-1) n

1

2

　　p 级数：∑

1n

p

幂级数：

1+x +x +x + +x + 2

3

n

x

11-x

对于级数(3) a 0+a 1x 　+a 2x + +a n x + ，如果它不是仅在原点

x

数轴上都收敛，则必存

在R ，使

2n

收敛，也不是在全

x >R 时发散，其中R 称为收敛半径。x =R 时不定

1

ρ≠0时，R =

求收敛半径的方法：设

lim

a n +1a n

=ρ，其中a n ，a n +1是(3) 的系数，则

ρ

n →∞

ρ=0时，R =+∞ρ=+∞时，R =0

函数展开成幂级数：

函数展开成泰勒级数：余项：R n =

f

(n +1)

f (x ) =f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0)

n +1

f ''(x 0) 2!

(x -x 0) + +

2

f

(n )

(x 0)

n !

(x -x 0) +

n

(ξ)

(n +1)!

, f (x ) 可以展开成泰勒级数的

f ''(0) 2!

2

充要条件是：lim R n =0

n →∞

x 0=0时即为麦克劳林公式：

f (x ) =f (0) +f '(0) x +x + +

f

(n )

(0)

n !

x +

n

一些函数展开成幂级数： (1+x )

m

=1+mx +x

3

m (m -1)

2!

x + +

n -1

2

m (m -1) (m -n +1)

n !

x + 　　　(-1

n

sin x =x -

3!

+

x

5

5!

- +(-1)

x

2n -1

(2n -1)!

+ 　　　(-∞

欧拉公式：

ix -ix

⎧e +e ⎪cos x =⎪2

=cos x +i sin x 　　　或⎨ ix -ix

⎪sin x =e -e ⎪2⎩

e

ix

三角级数：

∞

f (t ) =A 0+

∑A

n =1

n

sin(n ωt +ϕn ) =

a 02

∞

+

∑(a

n =1

n

cos nx +b n sin nx )

其中，a 0=aA 0，a n =A n sin ϕn ，b n =A n cos ϕn ，ωt =x 。

正交性：1, sin x , cos x , sin 2x , cos 2x sin nx , cos nx 任意两个不同项的乘积上的积分＝0。

在[-π, π]

傅立叶级数：

f (x ) =

a 02

∞

+

∑(a

n =1

n

cos nx +b n sin nx ) ，周期=2π

⎧1a =⎪n

π⎪

其中⎨

1⎪b n =⎪π⎩1+　12

2

π

⎰

-π

f (x ) cos nxdx 　　　(n =0, 1, 2 )

π

⎰

-π

f (x ) sin nxdx 　　　(n =1, 2, 3 )

13+

2

+14

2

15

2

+ =16

2

π

2

8

1+

122

2

++

133

2

+-

144

2

+ =+ =

ππ

2

6

++ =

π

2

24

1-2

π

1

2

1

2

1

2

2

12

正弦级数：

a n =0，b n =

π2

⎰

f (x ) sin n xdx 　　n =1, 2, 3 　f (x ) =

∑b

a 02

n

sin nx 是奇函数

π

余弦级数：

b n =0，a n =

π

⎰

f (x ) cos nxdx 　　n =0, 1, 2 　f (x ) =+

∑a

n

cos nx 是偶函数

周期为2l 的周期函数的傅立叶级数：

f (x ) =

a 02

∞

+

∑(a

n =1

n

cos

n πx l

+b n sin

n πx l

) ，周期=2l

l

⎧1n πx

dx 　　　(n =0, 1, 2 ) ⎪a n =⎰f (x ) cos

l l ⎪-l

其中⎨

l 1n πx ⎪

b n =⎰f (x ) sin dx 　　　(n =1, 2, 3 ) ⎪l l -l ⎩

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：

y '=f (x , y ) 　或　P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0

：一阶微分方程可以化

为g (y ) dy =f (x ) dx 的形式，解法：

可分离变量的微分方程

⎰g (y ) dy =⎰

y x

f (x ) dx 　　得：G (y ) =F (x ) +C 称为隐式通解。

程可以写成du dx ，u +

du dx

dy dx

=f (x , y ) =ϕ(x , y ) ，即写成

dx x =

du

y x

的函数，解法：

y x

齐次方程：一阶微分方设u =

，则

dy dx

=u +x

=ϕ(u ) ，∴

ϕ(u ) -u

分离变量，积分后将代替u ，

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程： 1、一阶线性微分方程：

dy dx

+P (x ) y =Q (x )

-P (x ) dx

y =Ce ⎰

当Q (x ) =0时, 为齐次方程，

当Q (x ) ≠0时，为非齐次方程，2、贝努力方程：

dy dx

y =(⎰Q (x ) e ⎰

n

P (x ) dx

dx +C ) e ⎰

-P (x ) dx

+P (x ) y =Q (x ) y ，(n ≠0, 1)

全微分方程：

如果P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0中左端是某函数的全微du (x , y ) =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0，其中：∴u (x , y ) =C 应该是该全微分方程的

通解。

∂u

分方程，即：

∂u

=P (x , y ) =Q (x , y ) ∂x ∂y

二阶微分方程： d y dx

22

+P (x )

dy dx

+Q (x ) y =f (x ) f (x ) ≡0时为齐次f (x ) ≠0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： (*)y ''+p y '+qy =0，其中p , q 为常数；求解步骤：

1、写出特征方程：(∆) r +pr +q =0，其中r ，r 的系数及常数项恰好是2、求出(∆) 式的两个根

r 1, r 2

2

2

(*)式中y '', y ', y 的系数；

3、根据r 1, r 2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

y ''+p y '+qy =f (x ) ，p , q 为常数f (x ) =e P m (x ) 型，λ为常数；

f (x ) =e [P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]型

λx λx