二元一次不等式组与简单的线性规划问题

（五）二元一次不等式组与简单的线性规划问题

一、知识归纳:

1．二元一次不等式表示的平面区域：

二元一次不等式Ax +By +C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域. （虚线表示区域不包括边界直线）.

对于在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x , y ) ，实数Ax +By +C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0，y 0) ，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C >0表示直线哪一侧的平面区域. （特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 2．线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.

满足线性约束条件的解(x , y ) 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解． 3．线性规划问题应用题的求解步骤：

（1）先设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数； （2）作出相应的图象（注意特殊点与边界）

（3）利用图象, 在线性约束条件下找出决策变量, 使线性目标函数达到最大(小) 值；在在求线性目标函数

z =mx +ny 的最大(小) 时, 直线mx +ny =0往右（左）平移则值随之增大(小), 这样就可在可行域中确定最优解．

二、例题分析：

例1．①画出不等式2x +y -6

⎧x -y +5≥0

⎪

范围是________；③画出不等式组⎨x +y ≥0表示的平面区域.

⎪x ≤3⎩

⎧x -4y ≤-3⎪

例2．设x , y 满足约束条件：⎨3x +5y ≤25，分别求下列目标函数的的最大值与最小值：

⎪x ≥1⎩

22

（1）z =6x +10y ；（2）z =2x -y ；（3）z =2x -y （x , y 是整数）；（4）ω=x +y ；（5）ω=

y

． x +1

例3．甲乙两个粮库要向A 、B 两镇运送大米，已知甲库可调出100吨大米，乙库可调出80吨大米，A 镇需70吨大米，B 镇需110吨大米，两库到两镇的路程和运费如下表：

（1）这两个粮库各运往A 、B 两镇多少吨大米？才能使总运费最省？此时总运费是多少？ （2）最不合理的调运方案是什么？它使国家造成的损失是多少？

例4．预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌、椅的总数尽可能的多。但椅子数不能

少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍。问桌子、椅子各买多少才合适？ 四、练习题： （一）选择题：

1．不等式x -2y ≥0表示的平面区域是

A ．

B ．

C ．

D ．

2．满足不等式y 2-x 2≥0的点(x , y ) 的集合（用阴影表示）是

A ．

2

B ．

C ．

D ．

3．若函数y =ax +bx +a 的图象与x 轴有两个交点，则点(a , b ) 在aOb 平面上的区域（不含边界）为

A ．

B ． C ．

D ．

⎧2x -y +1≥0⎪

4．不等式组⎨x -2y -1≤0表示的平面区域是

⎪x +y ≤1⎩

A ．一个正∆及几个内部 B ．一个等腰∆及内部C ．一象限内的一无界区域 D ．不含一象限的一个有界区域

⎧x -y +1≥0⎪

5．如果实数x 、y 满足条件⎨y +1≥0，那么2x -y 的最大值为

⎪x +y +1≤0⎩

A ．2 B ．1 C ．-2 D ．-3

⎧x -2≤0, ⎪

6. 已知点P （x ，y ）在不等式组⎨y -1≤0, 表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是

⎪x +2y -2≥0⎩

A ．[－2，－1] B ．[－2，1]

C ．[－1，2]

D ．[1，2]

22

7．双曲线x -y =4的两条渐近线与直线x =3围成一个三角形区域, 表示该区域的不等式组是

⎧x -y ≥0⎧x -y ≥0⎧x -y ≤0⎧x -y ≤0⎪⎪⎪⎪

A ．⎨x +y ≥0 B ．⎨x +y ≤0 C ．⎨x +y ≤0 D ．⎨x +y ≥0

⎪0≤x ≤3⎪0≤x ≤3⎪0≤x ≤3⎪0≤x ≤3⎩⎩⎩⎩

⎧x +y -2≥0,

⎪

8．在平面直角坐标系中，不等式组⎨x -y +2≥0, 表示的平面区域的面积是

⎪x ≤2⎩

A ．

B ．4 C ．

D ．2

⎧x ≥0⎪y ≥0⎪

9．在约束条件⎨下, 当3≤s ≤5时, 目标函数z =3x +2y 的最大值的变化范围是

⎪x +y ≤s ⎪⎩y +2x ≤4

A. [6, 15] B. [7, 15] C. [6, 8] D. [7, 8]

10. 已知平面区域D 由以A (1, 3)、B (5, 2)、C (3, 1)为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域D 上有无穷多个点(x , y )可使目标函数z =x +my 取得最小值，则m =

A. -2 B. -1 C. 1 D. 4 （二）填空题：

11．点P (a , 4) 到直线x -2y +2=0的距离为25，且P 在3x +y -3>0表示的区域内，则a =_____

⎧x -y +1>0⎪

12．不等式组⎨4x +y -16≤0表示的区域中, 坐标是整数的点共有_________个。

⎪x >0, y ≥0⎩

13．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140

元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 ___ 元.

⎧y ≤x ⎪

14．设变量x 、y 满足约束条件⎨x +y ≥2，则目标函数z =2x +y 的最小值为_______

⎪y ≥3x -6⎩

⎧x +y ≤4⎪

15．已知点P (x , y ) 的坐标满足条件⎨y ≥x , 点O 为坐标原点, 则|PO |的最小值等于___,最大值等于____.

⎪x ≥1⎩

（三）解答题：

16．某厂生产A 与B 两种产品，每公斤的产值分别为600元与400元. 又知每生产1公斤A 产品需要电力2千

瓦、煤4吨；而生产1公斤B 产品需要电力3千瓦、煤2吨. 但该厂的电力供应不得超过100千瓦，煤最多只有120吨. 问如何安排生产计划以取得最大产值?

17．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t 支援物资的任务, 该公司有8辆载重量为6t 的A 型卡

车与4辆载重量为10t 的B 型卡车, 有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次, B 型卡车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A 型车320元, B 型车504元, 请你给该公司调配车辆, 使公司所花的成本最低?

18．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进

取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资30万元组成。已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元。若可作投资用的资金中，金融投资不超过160

万元，

房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？

（五）二元一次不等式组与简单的线性规划问题参考答案

三、例题分析：

例1①解：先画直线2x +y -6=0（画成虚线）. 取原点（0，0），代入2x +y -6, ∵2×0+0-6=-6＜0,

∴原点在2x +y -6＜0表示的平面区域内，不等式2x +y -6＜0表示的区域如图： ②(t>2/3) ③

解：不等式x -y +5≥0表示直线x -y +5=0上及右下方的点的集合，x +y ≥0表示直线x +y =0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x =3上及左方的点的集合. 不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域:

例2．解：（1）先作可行域, 如下图所示中∆ABC 的区域, 且求得A (5, 2) 、B (1, 1) 、C (1, 作出直线l 0:6x +10y =0, 再将直线l 0平移, 当l 0的平行线l 1过点B 时, 可使

22) 5

z =6x +10y 达到最小值；当l 0的平行线l 2过点A 时，可使z =6x +10y 达到

最大值。

故z min =6⨯1+10⨯1=16，z max =6⨯5+10⨯2=50

（2）同上，作出直线l 0:2x -y =0，再将直线l 0平移，当l 0的平行线l 1过点C

时，可使z =2x -y 达到最小值；当l 0的平行线l 2过点A 时，可使z =2x -y 达到最大值。 则z min =-

12

，z max =8 5

（3）同上，作出直线l 0:2x -y =0，再将直线l 0平移，当l 0的平行线l 2过点A 时，可使z =2x -y 达到最大

值，z max =8

当l 0的平行线l 1过点C 时，可使z =2x -y 达到最小值，但由于

2222不是整数，点C (1, ) 55

不是最优解，当l 0过可行域内的点(1, 4) 时，可使z =2x -y 达到最小值，z min =-2

（4）ω表示区域内的点(x , y ) 到原点的距离的平方。则(x , y ) 落在点B (1, 1) 时，ω最小，(x , y ) 落在点A (5, 2)

时，ω最大，故ωmin =2，ωmax =25+4=29

（5）ω表示区域内的点(x , y ) 与点D (-1, 0) 连线的斜率。则(x , y ) 落在点A (5, 2) 时，ω最小，(x , y ) 落在点

C (1,

22111

) 时，ω最大，故ωmin =，ωmax = 535

例3．解：设甲粮库向A 镇运送大米x 吨，向B 镇运送大米y 吨，总运费为z 元，则乙粮库向A 镇运送大米

(700-x ) 吨，向B 镇运送大米(110-y ) 吨，目标函数是

z =12⨯20x +25⨯10y +15⨯12⨯(700-x ) +20⨯8⨯(110-y ) =60x +90y +30200

⎧x +y ≤100⎧x +y ≤100

⎪x +y ≥100⎪(700-x ) +(110-y ) ≤80

⎪⎪

其中线性约束条件是：⎨，即⎨

0≤x ≤700≤x ≤70⎪⎪⎪⎪⎩y ≥0⎩y ≥0

可行域如右图。当x =70, y =30时，总运费最省z max =37100元 当x =0, y =100时，总运费最不合理z min =39200元。

答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨, 向B 镇运送大米30吨, 乙粮库要向A 镇运送大米0吨, 向B 镇运送大米80

吨, 此时总运费最省, 为37100元。最不合理的调动方案是甲粮库要向A 镇运送大米0吨, 向B 镇运送大米100吨, 乙粮库要向A 镇运送大米70吨, 向B 镇运送大米10吨, 此时总运费为39200元, 使国家造成损失2100元。

⎧x ≤y

⎪y ≤1. 5x ⎪

例4．解：设桌子、椅子分别买x , y 张，共买z =x +y 张，依题意，得⎨

50x +20y ≤2000⎪⎪⎩x , y ∈N

可行域如图。

200⎧

x =⎪⎧x =y 200200⎪7

, ) 由⎨，得⎨，即A (

20077⎩50x +20y =2000⎪y =⎪7⎩

⎧x =25

⎧y =1. 5x 75⎪

B (25, ) 由⎨，得⎨，即75

2y =⎩50x +20y =2000⎪2⎩

由z =x +y , 即直线y =-x +z 平移得知, 当直线过点B 时, 即x =25, y =

75

时,z 最大。由于y ∈N ，故y =37 2

答：买25张桌子、37张椅子时是最优选择。 四、练习题：

一、选择题：1．D ．2．B ．3．C ．4．B ． 5． B ． 6. C．7．A ． 8．B ．9．D. 10. C. 二、填空题：

11． a =__ ；12． 10_个；13．500元. 14．3_ 15．

⎧x -y ≥0⎪22

7．双曲线x -y =4的两条渐近线方程为y =±x ，与直线x =3围成一个三角形区域时有⎨x +y ≥0。

⎪0≤x ≤3⎩

⎧x +y =s ⎧x =4-s 9．由⎨交点为A (0, 2), B (4-s , 2s -4), C (0, s ), C '(0, 4) ， ⇒⎨

⎩y +2x =4⎩y =2s -4

（1）当3≤s

（2）当4≤s ≤5时可行域是△OA C '此时，z max =8 故选D.

10．解选C 。由A (1, 3)、B (5, 2)、C (3, 1)的坐标位置知，∆ABC 所在的区域在第一象限，故

x >0, y >0。由z =x +my 得y =-

11z

x +，它表示斜率为-。

m m m

z 11-3最小，此时需-=k AC =，即m =1； m m 3-1z 11-2

（2）若m

m m 3-5

综上可知，m =1。

（1）若m >0，则要使z =x +my 取得最小值，必须使

13．解：设需35千克x 袋，24千克y 袋，则目标函数z =140x +120y 元，约束条件为

⎧35x +24y ≥10671

x =1y ≥，当时，，即y =3，这时z min =140+120⨯3=500 ⎨

24x , y ∈N ⎩

三、解答题：

⎧2x +3y ≤100

⎪

16．解:设生产A 与B 两种产品分别为x 公斤，y 公斤，总产值为Z 元。则⎨4x +2y ≤120

⎪x ≥0, y ≥0⎩

且z =600x +400y

作可行域：

作直线l ：600x +400y =0，即直线l ：3x +2y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点A ，且与原点距离最大，此时z =600x +400y 取最大值. 解方程组

⎧2x +3y =100

, 得A 的坐标为x =20，y =20⎨

2x +y =60⎩

答：生产A 产品20公斤、B 产品20公斤才能才能使产值最大。

17．解：设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，则

⎧x ≤8, y ≤4⎪x +y ≤10⎪有⎨

4x +5y ≥30⎪⎪⎩x , y ∈N +

且z =320x +504y , 由图解法可得最优整点解为（5,2）, 即每天调出A 型车5辆,B 型车2辆时, 公司所花的成本最低。

18．解：设稳健型投资x 份，进取型投资y 份，利润总额为z （×10万元），

则目标函数为z =(x +1. 5y ) （×10万元），

⎧20x +40y ≤160⎧x +2y ≤8

⎪⎪

线性约束条件为：⎨30x +30y ≤180，即⎨x +y ≤6

⎪x ≥0, y ≥0⎪x ≥0, y ≥0⎩⎩

作出可行域（图略），解方程组⎨

⎧x +2y =8

，得交点M (4, 2)

⎩x +y =6

作直线x +1. 5y =0，平移l ，当l 过点M 时，z 取最大值：z max =(4+3) ⨯10万元=70万元。