行波法和达朗贝尔公式

行波法与达朗贝尔公式

我们已经熟悉常微分方程的常规解法：先不考虑任何附加条件，从方程本身求出通解，通解中含有任意常数（积分常数），然后利用附加条件确定这些常数。偏微分方程能否仿照这种办法求解呢？ （一）达朗贝尔公式

试研究均匀弦的横振动方程（7-1-6）、均匀杆的纵振动方程（7-1-9）、理想传输线方程（7-1-14），它们具有同一形式

∂⎫⎛∂2

-a ⎪ u =0, 22

∂ x ⎭⎝∂ t

2

2

即

∂⎫⎛∂∂⎫⎛∂

+a -a ⎪ ⎪ u =0.

∂ x ⎭⎝∂ t ∂ x ⎭⎝∂ t

（7-4-1）

（1）通解

方程（7-4-1）的形式提示我们作代换

x =a (ξ+η), t =ξ-η,

（7-4-2）

因为在这个代换下，

∂∂ ξ∂

=

∂ t ∂∂ ξ∂ t

+

∂ x ∂∂ ξ∂ x

=

∂∂ t

+a

∂∂ x

,

∂⎫⎛∂

= + =- -a ⎪, ∂ η∂ η∂ t ∂ η∂ x ∂ x ⎭ ⎝∂ t

∂ t ∂∂ x ∂

方程（7-4-1）就成为 修改为

(∂/∂ξ ∂η) u =0

2

。但为了以后的书写便利，把代换（7-4-2）

1⎧

x =(ξ+η), ⎪⎪2⎨

⎪t =1(ξ-η), ⎪2a ⎩

即

⎧ξ=x +at ,

⎨

⎩η=x -at .

在此代换下，方程（7-4-1）化为

∂u ∂ξ ∂η

2

=0,

（7-4-3）

就很容易求解了。 先对

η

积分，得

∂ u ∂ξ

=f (ξ)

（7-4-4）

其中

f

是任意函数。再对

u =

ξ

积分，就得到通解

⎰

f (ξ) d ξ+f 2(η) =f 1(ξ) +f 2(η)

=f 1(x +at ) +f 2(x -at ),

（7-4-5）

其中

f 1

和

f 2

都是任意函数。

式（7-4-5）就是偏微分方程（7-4-1）的通解。不同于常微分方程的情况，式中出现任意函数而不是任意常数。 通解（7-4-5）具有鲜明物理意义。以

f 2(x -at )

而论，改用以速度 a 沿

x 正方向移动的坐标轴 X ，则新旧坐标和时间之间的关系为

⎧X =x -at , ⎨

⎩T =t ,

而

f 2(x -at ) =f 2(X ),

与时间 T 无关。这就是说，函数的图象在动坐标系中保持不变，亦即是随着动

f (x +at )

坐标系以速度 a 沿 x 正方向移动的行波。同理，1是以速度 a 沿

x 负方向移动的行波。

这样，偏微分方程（7-4-1）描写以速度 a 向两方向传播的行波。

（2）函数

f 1

与

f 2

的确定

f 1

通解（7-4-5）中的函数 与

f 2

可用定解条件确定。

我们假定所研究的弦、杆、传输线是“无限长的” （此词的真正含义见§7.2（二）末），这就不存在边界条件，设初始条件是

u

t =0

=ϕ(x ), u t

t =0

=ψ(x ). (-∞

（7-4-6）

以一般解（7-4-5）代入初始条件，得

⎧f 1(x ) +f 2(x ) =ϕ(x ),

⎨' ' af (x ) -af (x ) =ψ(x ); ⎩12

⎧f 1(x ) +f 2(x ) =ϕ(x ), ⎪⎨1 x

⎪f 1(x ) -f 2(x ) =⎰ x ψ(ξ) d ξ+f 1(x 0) -f 2(x 0) .

a ⎩

即

由此解得

⎧

f 1(x ) =⎪⎪⎨

⎪f (x ) =2⎪⎩

1212

ϕ(x ) +ϕ(x ) -

ψ(ξ) d ξ⎰2a

x 0

1

x

+-

1212

[f [f

1

(x 0) -f 2(x 0) ], (x 0) -f 2(x 0) ].

ψ(ξ) d ξ⎰2a

x 0

1

x

1

x +at

以此代回（7-4-5）即得满足初始条件（7-4-6）的特解

u (x , t ) =

12

[ϕ(x +at ) +ϕ(x -at ) ]+

12a

⎰

x -at

ψ(ξ) d ξ.

（7-4-7）

这叫作达朗贝尔公式

作为第一个例子，设初速为零即

(x 1, x 2)

ψ(x ) =0

，而初始位移

u 0

ϕ(x )

只在区间

上不为零，于

x =(x 1+x 2) /2

处达到最大值 ，如图7-14a 所示。

x -x 1⎧

2u ⎪0x -x , x 1

21

⎪

x 2-x x 1⎪2u , ϕ(x ) =⎨0

x 2-x 1

⎪⎪⎪

⎩0. x

≤x ≤+x 22

x 1+x 2

2

≤x ≤x 2

x 1 或 x >x 2

达朗贝尔公式（7-4-7）给

u (x , t ) =12

12

出

ϕ(x +at ) +

ϕ(x -at )

，即初始位移

（图7-14b 最下一图的粗线所描画）分为两半（该图细

线），分别向左右两方以速

度 a 移动（图7-14b 由下而上各图的细线所描画），这两个行波的和（图7-14b 由下而上的粗线所描画）给出各个时刻的波形。 作为第二个例子，设初始位移为零即 区间

(x 1, x 2)

ϕ(x ) =0

，而且初速

ψ(x )

也只在

上不为零，

ψ(x ) =⎨

⎧ 常数 ψ0 ( x 在 (x 1, x 2) 上), ⎩ 0 ( x 不在 (x 1, x 2) 上).

达朗贝尔公式（7-4-7）给出

u (x , t ) =

⎰2a

1

x +at

-∞

ψ(ξ) d ξ-

⎰2a

1

x -at

-∞

ψ(ξ) d ξ

=ψ(x +at ) -ψ(x -at ),

这里 ψ 指的是（图7-15）

ψ(x ) =

⎰2a

1

x +at

x -at

ψ(ξ) d ξ

⎧

⎪0 (x ≤x 1), ⎪⎪1

=⎨(x -x 1) ψ0 (x 1≤x ≤x 2),

⎪2a ⎪1

(x 2-x 1) ψ0 (x 2≤x ). ⎪⎩2a

于是，作出

+ψ(x )

和

-

ψ(x )

两个图形，

让它们以速度 a 分别向左右两方移动（图

7-16由下而上各图的细线所描画），两者的和（图7-16由下而上各图的粗线）就描画出各个时刻的波形。

在图7-14b 中，波已“通过”的地区，振动消失而弦静止在原平衡位置；在图7-16中，波已“通过”的地区，虽然振动已消失，但偏离了原平衡位置。 （二）端点的反射

研究半无限长弦的自由振动。半无限长的弦具有一个端点。 先考察端点固定的情况，即定解问题。

u tt -a u xx =0, (0

2

（7-4-8）

⎧⎪u t =0=ϕ(x ),

⎨⎪⎩u t t =0=ψ(x ),

u

x =0

(0≤x

（7-4-9）

=0.

（7-4-10）

注意初始条件（7-4-9）里的

ϕ(x )

和

ψ(x )

必须宗量 x ≥0 才有意义，这是

因为在 x

(t >x /a )

，达朗贝尔公式里的

ϕ(x -at )

和

⎰

x -at

ϕ(ξ) d ξ

失去意义，

公式也就不能应用。

参照§5.2习题4，不妨把这根半无限长弦当作某根无限长弦的 x ≥0 的部分。按照（7-4-10），这无限长弦的振动过程中，点 x =0 必须保持不动。这是说，无限长弦的位移 和初始速度

ψ(x )

u (x , t )

应当是奇函数，因而无限长弦的初始位移

Φ(x )

都应当是奇函数，即

⎧ϕ(x ) (x ≥0), ⎧ψ(x ) (x ≥0),

Φ(x ) =⎨ψ(x ) =⎨

⎩-ϕ(-x ) (x

通常采用“延拓”一词把（7-4-11）说成“把 奇延拓到整个无界区间，分别成为

ϕ(x ) 和

和

ψ(x )

从半无界区间 x ≥0

Φ(x ) ψ(x )

”。现在完全可以应用达郎

贝尔公式（7-4-7）求解无限长弦的自由振动，它的 x ≥0 的部分正是我们所考

察的半无限长弦。根据（7-4-7），

u (x , t ) =

12

[Φ(x +at ) +Φ(x -at ) ]+

⎰2a

1

x +at

x -at

ψ(ξ) d ξ.

把（7-4-11）代入上式，

⎧1

[ϕ(x +at ) +ϕ(x -at ) ]+⎪⎪2

u (x , t ) =⎨

⎪1[ϕ(x +at ) -ϕ(at -x ) ]+⎪⎩2

⎰2a ⎰2a

1

1

x +at

x -at

ψ(ξ) d ξ, (t ≤ ψ(ξ) d ξ. (t ≥

x a x a

) )

x +at

x -at

（7-4-12）

为了阐明（7-4-12）的物理意义，图7-17描画了只有初始位移而没有初始速度的情况。最下一图右半边用实线描画出分别向左右两方移动的波，左半边用细线描画出其奇延拓，奇延拓的波也分别向左右两方移动。在这图中，端点还没有引起什么影响。由下而上各图按着时间顺序描画了波的传播情况，粗线为合成的波形，端点 x =0 确实保持不动。由图可见，端点的影响表现为反射波。这反射波的相位跟入射波相反，这就是所谓半波损失。

再考察半无限长杆的自由振动，杆的端点自由，这个定解问题是

u tt -a u xx =0, (0

2

（7-4-13）

⎧⎪u t =0=ϕ(x ),

⎨⎪⎩u t t =0=ψ(x ), (0≤

x

u x

x =0

=0.

（7-4-15）

同样，不妨把这根半无限长杆当作某根无限长杆的 x ≥0 的部分。按照

u

（7-4-15），这无限长杆的振动过程中，在点 x =0 的相对伸长 x 必须保持为

零。这是说，无限长杆的位移 移

Φ (x )

u (x , t )

应当是偶函数，因而无限长杆的初始位

和初始速度

ψ (x )

都应当是偶函数，即

⎧ψ(x ) (x ≥0),

ψ(x ) =⎨

⎩ψ(-x ) (x

⎧ϕ(x ) (x ≥0),

Φ(x ) =⎨

⎩ϕ(-x ) (x

（7-4-16）

这就是“把 成为

Φ (x )

ϕ (x ) 和

和

ψ (x )

从半无界区间 x ≥0 偶延拓到整个无界区间分别

ψ (x )

”。现在，应用达朗贝尔公式（7-4-7）求解无限长杆的自

由振动，

u (x , t ) =

12

[Φ(x +at ) +Φ(x -at ) ]+

12a

⎰

x +at

x -at

Ψ(ξ) d ξ.

把（7-4-16）代入上式，

1 x +at x ⎧1

[ϕ(x +at ) +ϕ(x -at ) ]+ ψ(ξ) d ξ, (t ≤) ⎰ x -at ⎪22a a ⎪⎪1

u (x , t ) =⎨[ϕ(x +at ) +ϕ(at -x ) ]

⎪2

1 x +at 1 x -at x ⎪

⎪ +2a ⎰ 0 ψ(ξ) d ξ+2a ⎰ 0 ψ(ξ) d ξ. (t >a ) ⎩

（7-4-17）

自由端点的影响可以仿照图7-17加以阐明，这也是一种反射波。不同的是反射波的相位跟入射波相同，没有半波损失。 （三）定解问题是一个整体

从偏微分方程（7-4-1）解出达朗贝尔公式（7-4-7）的过程，与读者所熟悉的常微分方程的求解过程是完全类似的。

但是，很可惜，绝大多数偏微分方程很难求出通解；即使已求得通解，用定

解条件确定其中待定函数往往更加困难。

在本章的开头已指出，从物理的角度来说，问题的完整提法是在给定的定解条件下求解数学物理方程。现在我们要指出，除了达朗贝尔公式一类极少的例外，从数学的角度来说，不可能先求偏微分方程的通解然后再考虑定解条件，必须同时考虑偏微分方程和定解条件以进行求解。

这样，不管从物理上说还是从数学上说，定解问题是一个整体。 （四）定解问题的适定性

定解问题来自实际，它的解答也应回到实际中去。为此，应当要求定解问题（1）有解，（2）其解是唯一的，（3）解是稳定的，解的存在性和唯一性这两个要求明白易懂。至于第三个要求即稳定性说的是：如果定解条件的数值有细微的改变，解的数值也只作细微的改变。

为什么要求稳定呢？由于测量不可能绝对精密，来自实际的定解条件不免带有细微的误差，如果解不是稳定的，那么它就很可能与实际情况相去甚远，没有价值。

定解问题如果满足以上三个条件，就称为适定的。非适定的定解问题应当修改其提法，使其成为适定的。 以达朗贝尔解（7-4-7）为例。如果 属于具有二阶连续导数的函数类），

ϕ (x ) ∈C

1

2

（这些记号的意思是

ϕ (x )

ψ (x ) ∈C

，不难直接验证它确实满足方程

（7-4-1）和条件（7-4-6）。这是说，解是存在的。

在推得达朗贝尔公式（7-4-7）的过程中，没有对所求解的 u 作过任何假定和限制，凡满足方程（7-4-1）和条件（7-4-6）的解必可表为（7-4-7）。这是说，解是唯一的。

最后，证明达朗贝尔解（7-4-7）的稳定性。设有相差很细微的两组初始条件

⎧⎪u t =0=ϕ 1(x ),

⎨⎪⎩u t t =0=ψ1(x );

⎧⎪u t =0=ϕ 2(x ),

⎨⎪⎩u t t =0=ψ2(x );

（7-4-18） （7-4-19）

ϕ 1-ϕ 2

u 2

则相应的两解 和 相差

u 1-u 2 ≤

12

ϕ 1(x +at ) -ϕ 2(x +at ) +

12

ϕ 1(x -at ) -ϕ 2(x -at )

+

12

⎰2a

δ+

1

x +at

x -at

ψ1(ξ) -ψ2(ξ) d ξ

12a

2at δ=(1+t ) δ.

12

δ+

两解的差确是细微的。