傅里叶变换和拉普拉斯变换的应用

傅里叶变换和拉普拉斯变换的应用

积分变换的理论和方法是简化问题的一种重要而有效的数学方法，它不仅应用于许多数学分支，而且在物理与工程技术上都有广泛应用，特别是在自动控制和电信技术上，积分变换是分析问题的重要而有效的手段。本文将就积分变换中最常用的傅里叶变换和拉普拉斯变换在实际中的应用进行简略的阐述。

傅里叶变换的应用

傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用。傅里叶变换分为离散变换和连续变换，由于实际生活中所获取的信号一般都是离散的，所以离散型的傅里叶变换更为我们所接受，连续傅里叶变换通常只做实验研究。下面只就傅里叶变换的几个重要应用作简要分析。

在图像处理中的应用

（1）图像增强与图像去噪

绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘；

（2）图像分割之边缘检测

提取图像高频分量。

（3）图像特征提取：

形状特征：傅里叶描述子

纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征

其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性

（4）图像压缩

可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换。 在数字信号领域的应用

离散傅里叶变换在数字信号领域的作用已经不言而喻。它就是让更多没有规律的信号变得更加容易识别，更加容易变成人们熟知的某种信号。在我们现代的通讯中，人们的声音信号就是离散的，它可以转换成为离散的数字信号，然后通过信号传输达到交流效果，这就是离散时间信号的傅里叶变换。

在交通方面，离散傅里叶变换也起着非常重要的作用。具体来说，我们要采集到每个路口每分钟的车流量，这不可能让人站在路口守着一辆一辆数，这需要数字传感器。但是传感器传来的数据是分散的，这时候，技术人员可以通过运用傅里叶变换来处理这些数据，从而得知车流量，我们的交通部门就可以针对不同的路口设置交通灯的时间，确保路况在最佳情况下运行。

拉普拉斯变换的应用

在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。

在电工学中经常需要解决线性电路过渡过程的分析计算,拉普拉斯变换就是运用数学理论解决工程计算)过渡过程计算的杰出例子。以下是一个例子。

如图所示,试求过渡过程中,电感支路电流iL.已知电路参数:r =1008,r1=1108,C =0.1PF,L =0.1H,电源E为恒定电压220 V,各起始条件均为0.

从此题中可以看出

(1)实际计算时,由于代入了具体数值,拉普拉斯变换减少

了复杂的数据运算,使答案简单明了。

(2)由于具体数据的代入,物理概念的变化已无法也无必

要分析了,重要的是得到了一个正确的计算答案。

工程实践中,计算的答案非常重要,而过程并不重要。

总结

傅立叶变换在数字信号处理中有着极其重要的作用。傅立叶变换的类型包括傅立叶级数、傅立叶变换、序列的傅立叶变换、离散傅立叶变换( 及离散傅立叶变换的快速算法- 快速傅立叶变换 FFT)。在实际生产生活中，傅里叶变换发挥了很大作用，为计算、统计、测量等提供了强有力的工具。

应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。