一元二次方程的教案

22．1 一元二次方程

第一课时

学习内容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．

学习目标

了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；•会应用一元二次方程概念解决一些简单题目．

重难点关键

1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．

2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．

学习过程

一、自学教材

针对目标，自学教材25—26页内容，进一步体验数学建模思想，了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，会将一个一元二次方程化为一般形式，并说明其中各项。能正确处理27页练习题，15分钟后看谁能达到目标，正确解答讲析下列题目。

二、合作交流，解读探究

提倡自主练习，有困难时可以请求他人。

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．

①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5=0 x

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（ ）．

A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6

3.教材27页练习1、2；28页习题1、2.

应用迁移，巩固提高

例．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可． 证明：m2-8m+17=（m-4）2+1

∵（m-4）2≥0

∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0

∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

练习：4.方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

5.当m为何值时,方程(m+1)x

m+1+27mx+5=0是关x于的一元二次方程？

三、总结反思，自查自省

1．一元二次方程的一般形式是__________．

2．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．

3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．

4、将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

22．1 一元二次方程

第二课时

学习内容

1．一元二次方程根的概念；

2．•根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目． 学习目标

了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．

重难点关键

1．重点：判定一个数是否是方程的根；

2．•难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．

学习过程

一、自学教材

针对目标自学教材27页—28页内容，会规范解答28页练习题1、2.

二、合作交流，解读探究

先独立思考，有困难时请求他人帮助，10分钟后检查你是否能正确、规范解答下列题目：

1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0

应用迁移，巩固提高

3、 若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2009(a+b+c)的值

4、关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值

三、总结反思，自查自省

选择题

1．方程x（x-1）=2的两根为（ ）．

A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2

2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）．

A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=11 C．x1=a，x2= D．x1=a2，x2=b2 aa

3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0）

（ ）． A．1 B．-1 C．0 D．2

填空题

1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．

2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．

3．方程（x+1）2

（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________． 综合提高题

1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．

2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．

22.2降次——解一元二次方程（1）

教学内容

本节课主要学习运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．．

教学目标

知识技能

2运用开平方法解形如（m x+ n）=p（p≥0）的方程．

数学思考

22通过根据平方根的意义解形如x=n的方程，知识迁移到解形如（m x+ n）=p（p≥0）

的方程．

解决问题

2 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，

2然后知识迁移到解a（ex+f）+c=0型的一元二次方程．

情感态度

体会由未知向已知转化的思想方法．

重难点、关键

2重点：运用开平方法解形如（m x+ n）=p（p≥0）的方程．

22难点：通过根据平方根的意义解形如x=n的方程，知识迁移到形如（x+m）=n（n≥0）

的方程．

关键：理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 教学准备

教师准备：制作课件，精选习题

学生准备：复习有关知识，预习本节课内容

教学过程

一、 复习引入

【问题】

求出下列各式中x的值，并说说你的理由．

（1）x=9 （2）x=5 （3）x=a（a>0）．

【活动方略】

教师演示课件，给出题目．

学生根据所学知识解答问题．

【设计意图】

2复习平方根的意义，解形如x=n的方程，为继续学习引入作好铺垫．

二、 探索新知

【问题情境】

一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？

【活动方略】

学生活动：学生独立分析题意，发现若设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面2222

积为6x dm，根据一桶油漆可以刷的面积，列出方程．在学生列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解．让学生感受开平方可以解一些简单的一元二次方程．

老师活动：概括可用直接开平方法求解的一元二次方程的结构形式及其操作过程．

【设计意图】

创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容．

【思考】

对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？从中你能得到什么结论？

（1）(2x1)25；

【活动方略】

学生活动：

学生独立分析问题，在必要的时候进行讨论．经过分析发现（1）和问题1中的方程形式类似，可以利用平方根的定义，直接开平方得

到2x1，于是得到 （2）x6x92 222x1151。 ,x222

对于（2），发现方程左边是一个完全平方式，可以化为（1）的形式，然后利用（1）的方法解决．

教师活动：

鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可．

引导学生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程． 即，如果方程能化成xp或(mxn)p(p

0)的形式，那么直接开平方可得22

x

mxn

【设计意图】

主体探究、归纳直接开平方法一般过程．

三、 反馈练习

教材P36 练习．

补充习题：

解下列方程．

1．x-3=0 2．4x-9=0 3. 4x+4x+1=1 4. x-6x+9=0

2222

【活动方略】

学生独立思考、独立解题．

教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

【设计意图】

检查学生对基础知识的掌握情况.

四、 应用拓展

2 例：市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m提高到14.4m，求每年人均住房面

积增长率．

分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10

2 （1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）

解：设每年人均住房面积增长率为x，

2 则：10（1+x）=14.4

2 （1+x）=1.44

直接开平方，得1+x=±1.2

即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．

所以，每年人均住房面积增长率应为20%．

【活动方略】

教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．

学生活动：合作交流，讨论解答。

【设计意图】

使学生应用一元二次方程解有关实际问题，进一步掌握直接开门平方法。

五、 小结作业

1．问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？

由应用直接开平方法解形如x=p（p≥0），那么x=

如（mx+n）=p（p≥0），那么mx+n=

22

2．作业：课本P45 习题22．2 第1、2题

【活动方略】

教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．

学生独立完成作业，教师批改、总结．

【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识。

22.2降次——解一元二次方程（2）

教学内容

本节课主要学习运用配方法，即通过变形运用开平方法降次解方程。

教学目标

知识技能

探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程． 数学思考

在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。 解决问题

渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．

情感态度

继续体会由未知向已知转化的思想方法．

重难点、关键

重点：用配方法解一元二次方程．

2xax形的代数式配成完全平方式. 难点：正确理解把

关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 教学准备

教师准备：制作课件，精选习题

学生准备：复习有关知识，预习本节课内容

教学过程

六、 复习引入

【问题】

（学生活动）请同学们解下列方程

222 （1）3x-1=5 （2）4（x-1）-9=0 （3）4x+16x+16=9

22 老师点评：上面的方程都能化成x=p或（mx+n）=p（p≥0）的形式，那么可得

x=

mx+n=

p≥0）．

22 如：4x+16x+16=（2x+4）

【活动方略】

教师演示课件，给出题目．

学生根据所学知识解答问题．

【设计意图】

2复习直接开门平方法，解形如（mx+n）=p（p≥0）的形式的方程，为继续学习引入作

好铺垫．

七、 探索新知

【问题情境】

2要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm，场地的长和宽分别是多少？

【活动方略】

学生活动：

学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．

考虑设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 cm，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x+6x－16＝0，对于如何解方程x+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3），因此方程x+6x=16可以化为 222222

x2+6x＋9=16＋9，

即（x＋3）＝25，问题解决。

老师活动：

在学生讨论方程x+6x=16的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤．

归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。

【设计意图】

引导学生根据降次的思想，利用配方的方法把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解方程．

【思考】

利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？

2（1）x－8x + 1 = 0；

（2）2x13x；

（3）3x6x40．

【活动方略】

学生活动：

学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．经过分析（1）中经过移项可以化为x8x1，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上4，得222222

到x8x414，得到（x－4）=15； 2222

（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即x233131x，方程两边都加上()2，方程可以化为(x)2； 422416

（3）按照（2）的方式进行处理．

教师活动：

在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是

1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：

2axbxc0； （1）把方程化为一般形式

（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；

（3）方程两边同时除以二次项系数a；

（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．

【设计意图】

主体探究、通过解几个具体的方程，归纳作配方法解题的一般过程．

八、 反馈练习

教材P39 练习第1、2题．

补充习题：

解下列方程．

（1）x+2x-35=0 （2）2x-4x-1=0

【活动方略】

学生独立思考、独立解题．

教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

【设计意图】

检查学生对基础知识的掌握情况.

九、 应用拓展

例：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB面积的一半．

22

_P

_ C_ Q_ B

分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．•根据已知列出等式．

解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

根据题意，得：

2111（8-x）（6-x）=³³8³6 222 整理，得：x-14x+24=0

2 （x-7）=25即x1=12，x2=2

x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．

所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

【活动方略】

教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．

学生活动：合作交流，讨论解答。

【设计意图】

使学生应用一元二次方程解有关实际问题，进一步掌握配方法。

十、 小结作业

1．问题：

本节你遇到了什么问题？在解决问题的过程中你采取了什么方法？

如果一个一元二次方程不能直接开平方解，可把方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，再开平方降次解。这种通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法．

2．作业：课本P45 习题22．2 第3题

【活动方略】

教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．

学生独立完成作业，教师批改、总结．

【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识。

22.2降次——解一元二次方程（3）

教学内容

本节课主要学习用公式法解一元二次方程。

教学目标

知识技能

掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．

数学思考

通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．

解决问题

培养学生准确快速的计算能力．

情感态度

通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想．

重难点、关键

重点：求根公式的推导及 用公式法解一元二次方程．

难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．

关键：掌握一元二次方程的求根公式，•并应用求根公式法解简单的一元二次方程． 教学准备

教师准备：制作课件，精选习题

学生准备：复习有关知识，预习本节课内容

教学过程

十一、 复习引入

【问题】（学生总结，老师点评）

1.用配方法解下列方程

22 （1）6x-7x+1=0 （2）4x-3x=52

2．总结用配方法解一元二次方程的步骤。 （1）移项；

（2）化二次项系数为1；

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

2

（4）原方程变形为（x+m）=n的形式；

（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．

【活动方略】

教师演示课件，给出题目． 学生根据所学知识解答问题．

【设计意图】

复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫．

十二、 探索新知

2

如果这个一元二次方程是一般形式ax+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 【问题】

已知ax+bx+c=0（a≠0）且b-4ac≥0，试推导它的两个根为x1

2

2

bx2

=

2a

分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

2

解：移项，得：ax+bx=-c

bcx=- aab2cb2 2b 配方，得：x+x+（）=-+（）

a2aa2a

二次项系数化为1，得x+

2

b2b24ac

即（x+）= 2

2a4a

∵b-4ac≥0且4a>0

2

2

b24ac

∴≥0

4a2

b 直接开平方，得：x+=

±2ab 即

x=

2a

bb ∴x1

=x2

=

2a2a

【说明】

bb24ac2

这里x （b4ac0）是一元二次方程的求根公式

2a

【活动方略】

鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式．

【设计意图】

创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。 【思考】

利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？ （1）x3x20; （2）x22x2 （3）4x3x20 【活动方略】

在教师的引导下，学生回答，教师板书

引导学生总结步骤：确定a,b,c的值、算出b4ac的值、代入求根公式求解． 在学生归纳的基础上，老师完善以下几点：

（1）一元二次方程axbxc0(a0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的；

（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b4ac0的前提下，

2

2

2

2

2

2

bb24ac2

把a,b,c的值代入x （b4ac0）中，可求得方程的两个根；

2a

bb24ac2

（3）我们把公式x（b4ac0）称为一元二次方程的求根公

2a

式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；

（4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．

【设计意图】

主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式． 十三、 反馈练习

教材P42 练习第1、2题． 补充习题：

用公式法解下列方程．

（1）x-5x-6=0 （2）7x+2x-1=0 （3）3x-5x+2=0 （4）5x+2x-6=0 （5）4x-7x+2=0 （6）2x- 【活动方略】

学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

【设计意图】

检查学生对知识的掌握情况.

十四、 应用拓展

例：某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）x

m22

2

2

2

2

2

2

13x-=0 22

+（m-2）x-1=0提出了下列问题．

（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？

2

分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足:

m211m210m10①或②或③

m20(m1)(m2)0m20

解：（1）存在．根据题意，得：m+1=2

2

m=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0

当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）

2

∴当m=1时，方程为2x-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1

22

b-4ac=（-1）-4³2³（-1）=1+8=9

2

13



4

1

2

1． 2

x1=1，x2=-

因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=- （2）存在．根据题意，得：①m+1=1，m=0，m=0

因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意．

2

②当m+1=0，m不存在．

③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．

当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，

2

2

解得：x=-1

当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-

1 3

1． 3

因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-

【活动方略】

教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。 【设计意图】

使学生应用方程有关的有关舦知识解题，进一步掌握公式法。

十五、 小结作业 1．问题：

本节你遇到了什么问题？在解决问题的过程中你采取了什么方法？ 本节课应掌握：

（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念；

（3）应用公式法解一元二次方程；

2．作业：课本P45 习题22．2 第4、6题 【活动方略】

教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结．

【设计意图】通过归纳总结，培养学生的归纳总结能力。同时通过课外作业，使学生进一步理解知识，内化知识。

22.2降次——解一元二次方程（4）

教学内容

22

本节课主要学习用根的判别式b-4ac来判别ax+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用。 教学目标 知识技能

222

掌握b-4ac>0，ax+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b-4ac=0，222

ax+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b-4ac

从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目。 解决问题

22

用根的判别式b-4ac来判别ax+bx+c=0（a≠0）的根的情况．

情感态度

继续体会由未知向已知转化的思想方法． 重难点、关键

重点：理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况．

22

难点：用根的判别式b-4ac来判别ax+bx+c=0（a≠0）的根的应用.

22

关键：从具体题目来推出一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的b-4ac的情况与根的情况的关系． 教学准备

教师准备：制作课件，精选习题

学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程

十六、 复习引入 【问题】

用公式法解下列方程,并说明根的情况（三位同学到黑板上作） （1）2x-3x=0 （2）3x（3）4x+x+1=0

2

2

2

老师点评：

2

（1）b-4ac=9>0，•有两个不相等的实根；

2

（2）b-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；

2

（3）b-4ac=│-4³4³1│=

教师演示课件，给出题目．

学生独立利用公式法解上述3个方程，然后观察方程的解的情况，观察解题过程，总结一元二次方程根的规律和b4ac的关系

【设计意图】

复习用公式法解一元二次方程，为继续学习根的判别式作好铺垫．

十七、 探索新知 【问题情境】

2

从前面的具体问题，我们已经知道b-4ac>0（

2

2

求根公式：

b-4ac>0

一个具体数，所以一元一次方程的x1

x1

相等的实根．当b-4ac=0时，•

，所以x1=x2=

2

2

b

，即有两2a

个相等的实根；当b-4ac

22

因此，（结论）（1）当b-4ac>0时，一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）•有两个不相等

实数根即x1

x2

（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=

2

2

2

b

． 2a

（3）当b-4ac

【活动方略】 学生活动：

学生通过思考，归纳结论 老师活动：

在学生讨论时，注意引导学生根据平方根的意义，得出结论。 【设计意图】

22

推出一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的b-4ac的情况与根的情况的关系． 【应用】

例：不解方程，判定方程根的情况

22

（1）16x+8x=-3 （2）9x+6x+1=0

22

（3）2x-9x+8=0 （4）x-7x-18=0

分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0•的情况进行分析即可．

2

解：（1）化为16x+8x+3=0

2

这里a=16，b=8，c=3，b-4ac=64-4³16³3=-128

2

b-4ac=36-36=0，

∴方程有两个相等的实数根． （3）a=2，b=-9，c=8

22

b-4ac=（-9）-4³2³8=81-64=17>0 ∴方程有两个不相等的实根． （4）a=1，b=-7，c=-18

22

b-4ac=（-7）-4³1³（-18）=121>0 ∴方程有两个不相等的实根． 【活动方略】 学生活动：

学生首先独立思考，自主探索，然后交流 教师活动：

在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题。 【设计意图】

主体探究、通过解几个具体的问题，进一步体会一元二次方程的根与b4ac的关系． 十八、 反馈练习

不解方程判定下列方程根的情况:

2

3=0 4122

（3）3x+6x-5=0 （4）4x-x+=0

16

12

2

（5）x=0 （6）4x-6x=0

4

（1）x+10x+26=0 （2）x-x-2

2

（7）x（2x-4）=5-8x 【活动方略】

学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

【设计意图】

检查学生对基础知识的掌握情况. 十九、 应用拓展

例1：某养鸡厂的矩形鸡舍长靠墙．现在有材料可以制作竹篱笆13米，若欲围成20平方米的鸡舍，鸡舍的长和宽应是多少？能围成22平方米的鸡舍吗，若可以求出长和宽，若不能说明理由．

【活动方略】 学生活动：

学生在思考的基础上分组讨论，利用一元二次方程的知识解决上述问题。 教师关注：

（1）学生是否能够迅速设出未知数，列出方程； （2）学生是否能够准确判断问题的答案； （3）学生能否选择合理的解决问题的方案．

2

例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．

分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、

22

负或0．因为一元二次方程（a-2）x-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）-4（a-2）（a+1）

2

解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x-2ax+a+1=0没有实数根．

222

∴（-2a）-4（a-2）（a+1）=4a-4a+4a+80即ax>-3 ∴x

3 a

3 a

∴所求不等式的解集为x

【活动方略】

教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。 【设计意图】

应用根的判别式与根的情况解题，深刻体会一元二次方程的根与b4ac的关系．

二十、 小结作业 1．问题：

本节课学到了哪些知识？有什么体会？ 本节课应掌握： 222

b-4ac>0一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b-4ac=0 一

222

元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b-4ac

2．作业：课本P45 习题22．2 第9、11、12题

2

【活动方略】

教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结．

【设计意图】通过归纳总结，培养学生的归纳总结能力，通过课外作业，使学生进一步理解，内化知识。

22.2降次——解一元二次方程（5）

教学内容

本节课主要学习用因式分解法解一元二次方程。 教学目标 知识技能

1．应用分解因式法解一些一元二次方程．

2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法． 数学思考

体会“降次”化归的思想。 解决问题

能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．

情感态度

使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度． 重难点、关键

重点：应用分解因式法解一元二次方程．

难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.

关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便． 教学准备

教师准备：制作课件，精选习题

学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程

二十一、 复习引入 解下列方程．

22

（1）2x+x=0（用配方法） （2）3x+6x=0（用公式法） 老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为因此，应加上（

111

的一半应为，224

1212

），同时减去（）．（2）直接用公式求解． 44

【设计意图】

复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。 二十二、 探索新知 【问题】

仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？ （1）上面两个方程中有没有常数项？

（2）等式左边的各项有没有共同因式？ 【活动方略】

在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。

上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:

222x+x=x（2x+1），3x+6x=3x（x+2） 因此，上面两个方程都可以写成：

（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0

因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-

1． 2

（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．

【设计意图】

引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．

【探究】

通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？ （1）x(x2)x20；

2

（2）5x2x

13x22x； 44

（3）3x(2x1)4x2； （4）(x4)(52x)．

【活动方略】

学生活动：

四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题．

对于方程（1），若把（x－2）看作一个整体，方程可变形为（x－2）（x＋1）＝0；

方程（2）经过整理得到4x10，然后利用平方差公式分解因式；

方程（3）的右边分解因式后变为3x(2x1)2(2x1)，然后整体移项得到

2

22

3x(2x1)2(2x1)0，把（2x－1）看作一个整体提公因式分解即可；

方程（4）把方程右边移到左边(x4)(52x)0，利用平方差公式分解即可． 教师活动：

2

2

在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．

在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳： （1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．

（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次． 【设计意图】

主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性． 【应用】

例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为

10x4.9x2．

你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？ 【活动方略】 学生活动：

学生首先独立思考，自主探索，然后交流 教师活动：

在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性． 【设计意图】 应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识． 二十三、 反馈练习 教材P45 练习第1、2题 补充练习 解下列方程．

1．12（2-x）-9=0 2．x+x（x-5）=0

【活动方略】

学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

【设计意图】

检查学生对基础知识的掌握情况. 二十四、 拓展提高

22

例1：我们知道x-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．

222

（1）x-3x-4=0 （2）x-7x+6=0 （3）x+4x-5=0

22

分析：二次三项式x-（a+b）x+ab的最大特点是x项是由x²x而成，常数项ab是由-a²（-b）而成的，而一次项是由-a²x+（-b²x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．

2

解（1）∵x-3x-4=（x-4）（x+1） ∴（x-4）（x+1）=0

2

2

∴x-4=0或x+1=0

∴x1=4，x2=-1

2 （2）∵x-7x+6=（x-6）（x-1）

∴（x-6）（x-1）=0

∴x-6=0或x-1=0

∴x1=6，x2=1

2 （3）∵x+4x-5=（x+5）（x-1）

∴（x+5）（x-1）=0

∴x+5=0或x-1=0

∴x1=-5，x2=1

上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．

aba2b2

例2．已知9a-4b=0，求代数式的值． baab22

aba2b2

分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出abaab

与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．

a2b2a2b22b 解：原式=aba

∵9a-4b=0 ∴（3a+2b）（3a-2b）=0

3a+2b=0或3a-2b=0， 22

22b或a=b 33

22b 当a=-b时，原式=-=3 23b3

2 当a=b时，原式=-3． 3a=-

例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．

分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、

22负或0．因为一元二次方程（a-2）x-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）-4（a-2）（a+1）

2 解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x-2ax+a+1=0没有实数根．

222 ∴（-2a）-4（a-2）（a+1）=4a-4a+4a+8

a

∵ax+3>0即ax>-3

∴x

3 a ∴所求不等式的解集为x

【活动方略】

教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．

学生活动：合作交流，讨论解答。

【设计意图】

应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力．

二十五、 小结作业

1．问题：本节课学到了哪些知识？有什么体会？

本节课应掌握：

（1）用因式分解法，即用提取公因式法、•十字相乘法等解一元二次方程及其应用．

（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：

联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到．

③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．

区别：①配方法要先配方，再开方求根．

②公式法直接利用公式求根．

③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0。

2.作业：课本P45 习题22．2 第5、8、10题

【活动方略】

教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．

学生独立完成作业，教师批改、总结．

【设计意图】通过归纳总结，培养学生的归纳总结能力，通过课外作业，使学生进一步理解，内化知识。