华东理工大学概率论答案-9,10

华东理工大学

概率论与数理统计

作业簿(第四册)

学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________

第九次作业

一. 填空题

1. 设X 服从泊松分布,若EX 2=6,则P (X >1) -2

222

解 X 故 ~P () , 6=E X =+D X (E X ) =+

P (1X >) =1-P (1X ≤) =1-P (0X =) -P (1X =)

-2-2-2

. =1-e -2e =1-3e

2. 设随机变量ξ~B (n , p ) ,已知E ξ=2.4, D ξ=1.44,则参数n=,

λλλ

p

⎧E ξ=n p =2. 4, ⎧n =6,

解 ⎨ ⇒⎨

=1. 44, ⎩=p 0. 4. ⎩D ξ=n p q

3. 某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保,每个人在一年内死亡的概率

为0.005,且每个人在一年内是否死亡是相互独立的,欲求在未来一年内这1000个投保人死亡人数不超过10人的概率。用Excel 的BINOMDIST 函数计算。BINOMDIST (10 , 1000, 0.005, TRUE)= 0.986531_。

4. 运载火箭运行中进入其仪器仓的粒子数服从参数为4的泊松分布,用Excel 的POISSON 函数求进入仪器舱的粒子数大于10的概率。 POISSON (所求概率p 。

5. ξ~P (4),由切比雪夫不等式有P (|ξ-4|

二. 选择题

2

,则至3

少击中一次的概率为 ( D )

4121926A. B. C. D.

27272727

三.计算题

1. 在相同条件下独立的进行3次射击,每次射击击中目标的概率为

1. 设随机变量ξ的密度函数是

x ⎧1cos , 0≤x ≤π⎪

p (x ) =⎨2 2

⎪其它⎩0,

对ξ独立的随机观察4次,η表示观察值大于(1)η的概率分布(分布律), (2)E η和D η。 解 η~B (4, p )。 (1)设A=“观察值大于

π

的次数,求 3

π1πx 1π

”,则 p =P (A ) =P (ξ≥) =πcos dx =, 332232

⎛4⎫1k 1

(1-) 4-k , (k =0,1,2,3,4) 。 所以η的概率分布为:P (η=k ) = ⎪

2⎝k ⎭2或

(2) E η=4⨯

111=2, D η=4⨯⨯=1 222

2. 随机变量ξ服从参数为p 的几何分布,即

P (ξ=k ) =p (1-p ) k -1, k =1,2,

(1) 求 P (ξ>s ) ,其中s 是一个非负整数;

(2) 试证P (ξ>s +t |ξ>s ) =P (ξ>t ) ,其中s ,t 是非负整数。(几何分布具有无记忆性)。

解 (1)P (ξ>s ) =

k =s +1∞

∑P (ξ=k ) =∑p (1-p )

k =s +1

∞∞

k -1

=p (1-p )

s

∑(1-p ) k =p (1-p ) s

k =0

1

=(1-p ) s p

或者:P (ξ>s ) =1-P (ξ≤s ) =1-∑p (1-p )

k =1

s

k -1

1-(1-p ) s

=1-p ⋅=(1-p ) s

1-(1-p )

(2) P (ξ>s +t |ξ>s ) =

P ({ξ>s +t } {ξ>s })P (ξ>s +t )

=

P (ξ>s ) P (ξ>s )

(1-p ) s +t

==(1-p ) t =P (ξ>t ) 。 s

(1-p )

3. 设随机变量X 服从泊松分布,且P ,求P (X =3) 。 (X ≤1) =4P (X =2)

λ-λ-λ解:P (X ≤1) =P (X =0) +P (X =1) =e +e , P (X e

-

λ

λ

2

2

-λ-λ2-

+λe =2λe λ 由 P 知 e (X ≤1) =4P (X =2)

2

即 2 解得 λ=1,故 λ-λ-1=0

1

P (X =3) =e -1.

6

4. 设在时间t (单位:min) 内,通过某路口的汽车服从参数与t 成正比的泊松

分布。已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2,求在2分钟内至少有2

辆车通过的概率。(提示:设ξt =“t 时间内汽车数”, 则ξt ~P (λt ) ) 解: 设ξt =“t 时间内汽车数”, 则ξt ~P (λt ) ,

(λt ) k e -λt

(k =0,1, 2, ) , 那么P (ξt =k ) =

k ! (λ) 0e -λ

=0.2⇒λ=ln 5, 由已知, 得P (ξ1=0) =

0! =-1P ξ(所以 P (ξ2≥2) 2=

-0P ) ξ2=(

λ1-λ2

(2λ0) e -2(λ2e ) =1--

0! 1!

=1-e -2λ-(2λ) e -2λ=

24-2ln 5. 25

5. 在一次试验中事件A 发生的概率为p ,把这个试验独立重复做两次。在下

列两种情况下分别求p 的值:

(1) 已知事件A 至多发生一次的概率与事件A 至少发生一次的概率相等;

1

(2)已知事件A 至多发生一次的条件下事件A 至少发生一次的概率为。

2解 设ξ为两次试验中事件A 发生的次数,则ξ~B (2,p ) 。

(1)由题意知,P (ξ≥1) =P (ξ≤1) ,即

P (ξ=1) +P (ξ=2) =P (ξ=0) +P (ξ=1)

=P ξ(=得 P (ξ=2)

220

0) ,亦即 C 2p =C 2(1-p ) 2,解得 p =

1

。 2

(2)由条件概率公式 P (ξ≥1ξ|≤1=)

P ({ξ≥1} ξ{≤

P (ξ≤1)

1}P ) ξ=(21p ) (1-p ) p 2

, ===2

P ξ(≤1) 1-p 1+p

根据题意,

12p 1

=,解出,p =。

31+p 2

第十次作业

一. 填空题:

1.若ξ在[0,5]上服从均匀分布,则方程x 2+ξx +ξ2-3ξ=0有实根的概率

2.设随机变量X 在区间[2,6]上服从均匀分布,现对X 进行了3次独立试验,则正好有2次观测值大于4的概率为

3

。 8

3.设每人每次打电话的时间(单位:min )服从E (1),则在808人次的电话中有3次或以上超过6分钟的概率为二. 选择题:

1.设X 服从正态分布N (μ, σ2) ,则随着σ的增大,概率P {|X -μ|

2.若灯管的寿命ξ~e (λ) ,则该灯管已使用了a (a >0) 小时, 能再使用b 小时的概率( A )。

A. 与a 无关 B. 与a 有关 C. 无法确定 D. 以上答案都不对

3.随机变量 X 的概率密度函数为p (x ) ,且p (x ) =p (-x ) ,F (x ) 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有( B )。 A. F (-a ) =1-⎰

a 0

a 1

-⎰p (x ) dx 20

1

2

p (x ) dx B. F (-a ) =

C. F (-a ) =F (a ) D. F (-a ) =2F (a ) -1

三. 计算题:

1.某地区18岁的女青年的血压服从N (110,121)。在该地区任选一18岁的女青年,测量她的血压,

(1) 求P (X ≤100), P (105.5≤X ≤121) (2) 确定最小的x ,使P (X >x ) ≤0.05 解:设女青年的血压为ξ,则ξ~N (110,121),

P (X

ξ-110

11

~N (0,1)

(1)

X -110105.5-110

1111

=1-Φ(0.5)=1-0.6915=0.3085

P (99≤X ≤12=1Φ)

121-110-99110

-Φ) =Φ) -Φ(-1) (1)

1111

=2Φ(1-) =1⨯20. 8-4=1310. 6826

(3) 要使P (X >x ) ≤0.05,只须P (X ≤x ) >0.95

x -110∴>1.65⇒x >128.15 0.

11

1

2.修理某机器所需时间(单位:小时)服从参数为的指数分布。试问:

2

(1) 修理时间超过2小时的概率是多少?

(2) 若已持续修理了9小时,总共需要至少10小时才能修好的条件概

率是多少?

x -⎧12⎪x >0 。 解:设ξ是修理时间,ξ~E () ,ξ的分布函数为F (x ) =⎨1-e

2⎪x ≤0⎩0

=) Φ(1. 65

(1)P {ξ>2}=1-P {ξ≤2}=1-F (2) =1-(1-e

-10

2

-

22

) =e -1 ≈ 0. 367879 ;

-102

1

-P {ξ>10}1-(1-e ) e 2

(2)P {ξ>10>9}= ≈ 0. 606531 。 ===e 99

--P {ξ>9}

1-(1-e 2) e 2

2

ξ~N (0, 10) ,试求在100次独立重复测量中,至少有3.假设测量的随机误差

二次测量误差的绝对值大于19.6的概率α。

解:P (|ξ|>19.6) =P (ξ>19.6) +P (ξ

19.6

)]=0.05 10

令η为100次独立重复测量中,误差的绝对值大于19.6的次数,

则η~b (100,0.05)

100199

P (η≥2) =1-P (η=0) -P (η=1) =1-(0.95)-C (0.05)(0.95)=0.9629 100

4. 若ξ~N (μ, σ2) 且P (ξ

0. 90=P (ξ

89-μ

σ

94-μ

) ,

σ

利用随机变量分布函数的单调性,有 89-μ

=1. 2816, σ和 94-μ

=1. 6449, σ

解得μ=71. 3617,σ=13. 7627,即σ2=189. 4128

0. 95=P (ξ


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