多元统计实验报告

数学1001 李倩 1010810122

在某年级44名学生的期末成绩中，有的课程采用闭卷，有的课程采用开卷（成绩如下），其中X1,X2,X3,X4,X5分别表示力学（闭），物理（闭），代数（开），分析（开），统计（开）。

(1)试用因子分析分析这组数据。

(2)试对闭卷（X1,X2）和开卷（X3,X4,X5）两组变量进行典型相关分析.

(1)首先我们明确因子分析是一种降维的方法，它将多个变量综合为少数几个因子。首先建立数学模型：

对这道题的具体解法如下：

先将数据写入excel 中保存成文本格式，而后用read.table 读取数据。 > chengji

> fact1

> fact1

Call:

factanal(x = chengji, factors = 2, scores = "Bartlett")

Uniquenesses:

X1 X2 X3 X4 X5

0.521 0.582 0.363 0.482 0.005

Loadings:

Factor1 Factor2

X1 0.691

X2 0.135 0.633

X3 0.476 0.640

X4 0.545 0.470

X5 0.997

Factor1 Factor2

SS loadings 1.537 1.510

Proportion Var 0.307 0.302 方差贡献率

Cumulative Var 0.307 0.609 累积方差贡献率

Test of the hypothesis that 2 factors are sufficient.

The chi square statistic is 0.11 on 1 degree of freedom.

The p-value is 0.739

Test of the hypothesis that 2 factors are sufficient.

由此可知两个主成分是足够的

载荷矩阵是用“Bartlett ”方法得到的，根据结果得到这六门课程与两个潜在因子的关系为：

X1=0.691F2

X2=0.135F1+0.633F2

X3=0.476F1+0.640F2

X4=0.545F1+0.470F2

X5=0.997F1

根据F1和F2的系数知道两个因子与五门课程都有正相关性，第一个因子主要和统计(开) 有很强的正相关，相关系数为0.997；而第二个因子主要与力学（闭）、物理（闭）有很强的正相关性分别为0.691、0.633、同时第一个因子和第二个因子与代数（开）、分析（开）均有差不多的正相关性，因此可以讲第一个因子解释为计算因子而将第二个因子解释为理论因子，这样便很好的解释了结果：统计偏向于计算，而力学和物理偏向于理论，代数和分析则于两个因子均有差不多的关系。 如果用promax 方法进行正交旋转则得到下面的结果：

> chengji

> fact1

> fact1

Call:

factanal(x = chengji, factors = 2, rotation = "promax")

Uniquenesses:

X1 X2 X3 X4 X5

0.521 0.582 0.363 0.482 0.005

Loadings:

Factor1 Factor2

X1 0.775 -0.240

X2 0.694 -0.114

X3 0.649 0.247

X4 0.445 0.390

X5 -0.114 1.048

Factor1 Factor2

SS loadings 1.715 1.381

Proportion Var 0.343 0.276

Cumulative Var 0.343 0.619

Test of the hypothesis that 2 factors are sufficient.

The chi square statistic is 0.11 on 1 degree of freedom.

The p-value is 0.739

这时五门课程与两个潜在因子之间的关系变为：

X1=0.775F1-0.240F2

X2=0.694F1-0.114F2

X3=0.649F1+0.247F2

X4=0.445F1+0.390 F2

X5 =-0.114F1+1.048F2

这样的话第一个因子与力学（闭）、物理（闭）、代数（开）有很强的正相关性，相关系数分别为0.775、0.694、0.649，而第二个因子主要与统计（开）有很强的正相关性，相关系数为1.048，分析（开）与两个因子相关性没有太大的区别，同样的我们称第一个因子为“理论因子”称第二个因子为“计算因子”。

显然第二种方法比较好。

（2）数学模型如下：

> ###读取数据

> chengji ###做典型相关分析

> chengji

> ca

$cor

[1] 0.62991255 0.09592154

$xcoef

[,1] [,2]

X1 0.09553760 0.1391077

X2 0.08479416 -0.1459052

$ycoef

[,1] [,2] [,3]

X3 0.13114462 0.05212337 0.1268583

X4 0.07651773 -0.01824329 -0.1823259

X5 -0.07715853 -0.16244197 0.0667433

$xcenter

X1 X2

1.892426e-16 -5.724587e-17

$ycenter

X3 X4

3.521489e-16 -4.522897e-16 -2.996341e-18

> ###计算因子得分

> U

[,1] [,2]

[1,] 0.386196021 -0.015394649

[2,] 0.305518286 0.079553680

[3,] 0.148356423 0.086739285

[4,] 0.095209644 -0.085053774

[5,] 0.119162028 0.115037164

[6,] 0.079826145 -0.036646512

[7,] -0.037999834 0.122222768

[8,] -0.132055100 -0.132737321

[9,] 0.061730807 -0.181004995

[10,] 0.015146945 0.294015827

[11,] 0.002293616 -0.078731473

[12,] -0.240969662 -0.362129030

X5

[14,] -0.034854628 -0.014810522

[15,] -0.050762328 0.056435622

[16,] -0.034945463 -0.321770676

[17,] -0.277936237 0.315712228

[18,] -0.067809265 -0.133600625

[19,] -0.021043733 0.005298861

[20,] -0.018946929 -0.086056666

[21,] -0.187298682 -0.213174853

[22,] -0.003563430 -0.134463928

[23,] 0.259801156 -0.105023569

[24,] 0.159979680 -0.108755959

[25,] 0.064442647 0.011760750

[26,] 0.172742173 -0.042968813

[27,] 0.222128710 -0.018263736

[28,] 0.122831435 -0.044835008

[29,] 0.162167319 0.106848667

[30,] 0.135069728 0.043791020

[31,] 0.047919911 -0.201114378

[32,] -0.176632993 -0.056032180

[33,] -0.111772122 0.227225788

[34,] -0.022616336 0.073815506

[36,] -0.303552059 -0.122822218

[37,] -0.199446140 0.005159272

[38,] -0.073051275 0.094788192

[39,] -0.228640535 0.033457151

[40,] -0.070863636 0.310392819

[41,] -0.131964265 0.174222832

[42,] -0.010468878 -0.144518620

[43,] -0.066670028 0.127681765

[44,] -0.050762328 0.056435622

> V

[,1] [,2] [,3]

[1,] 0.130913472 -0.2536506284 0.0285497642

[2,] 0.192506357 -0.2221985749 0.1248618323

[3,] 0.216507338 -0.0885843063 -0.1618898620

[4,] 0.136968404 -0.1275490453 -0.0098790666

[5,] -0.032787111 -0.1909871285 -0.0457739647

[6,] 0.093548574 -0.0126687962 -0.1052233512

[7,] 0.033900391 -0.0565815681 0.2124558555

[8,] -0.066160788 -0.1947187236 0.1327777664

[9,] -0.138128648 -0.0265865595 0.0289367388

[10,] 0.090390403 0.1038894251 0.0305958954

[11,] -0.022984475 0.0155263033 -0.2536771482

[12,] 0.047425280 -0.1407515604 -0.0320887077

[13,] -0.149497643 0.0107267558 0.2383330591

[14,] 0.069901863 0.1438398347 -0.2176716859

[15,] 0.135629050 0.2550973189 0.2409047172

[16,] -0.163964957 0.0376559223 -0.0317846562

[17,] -0.071819488 -0.1235470277 -0.1283178526

[18,] -0.252236836 0.0007218597 0.1943009251

[19,] -0.005620400 0.2312569412 0.1138309830

[20,] -0.064981724 0.1992214164 0.0654675543

[21,] 0.015196961 0.1103341582 0.0957315082

[22,] -0.193515263 0.1606093815 0.0603896045

[23,] 0.399618514 -0.1677698773 0.1782755697

[24,] 0.155512242 -0.1550387365 -0.1756027601

[25,] 0.228262932 -0.1265040396 0.1604525053

[26,] 0.217812290 0.0268069723 0.0698266635

[27,] 0.127073588 0.0836092104 -0.1175813176

[28,] 0.113877520 0.0868068294 -0.1394038105

[29,] 0.064554094 0.1681319069 -0.0301254996

[30,] -0.008483456 0.1277199630 -0.0001381297

[31,] 0.068461390 0.1091177204 0.0828481885

[32,] 0.090281028 -0.0815066068 -0.0359222900

[33,] -0.091247972 -0.0729322070 0.3208493060

[34,] -0.082345799 -0.0165092215 -0.3020405768

[35,] -0.154827522 0.0009260784 -0.2891296160

[36,] -0.287100508 -0.3500702518 -0.0084789371

[37,] -0.221204094 -0.1803591057 -0.0987176308

[38,] 0.006750874 0.1242420817 -0.1962363411

[39,] -0.292010082 -0.2213545210 -0.0207816215

[40,] 0.016232945 0.1797554402 -0.0215181924

[41,] -0.004693790 0.1152821912 -0.0699369031

[42,] 0.011247703 0.2621979652 -0.1169177590

[43,] -0.153522570 0.1163173570 -0.0574130905

[44,] -0.205440085 0.1400754530 0.2868623340

> ###找对数

> corcoef.chengji

+ m

+ for (k in m:1){

+ lambda

+ Q[k]

+ }

+ s

+ for (k in 1:m){

+ Q[k]

+ chi

+ if (chi>alpha){

+ i

+ }

+ s

+ }

+ i

+ }

> corcoef.chengji(r=ca$cor,n=44,p=2,q=3)

[1] 1

由结果可知只需选一对典型变量就可以了。

U1=0.09553760 X1*+0.08479416X2*

V1=0.13114462X3*+0.07651773X4 *-0.07715853X5*

U1、V1的相关系数为0.62991255，具有正相关关系，但是相关性不高。U1中都是闭卷，权系数都不大，V1中都是开卷，权系数最大的是代数（开）为0.13114462，其次是分析（开）为0.07651773，学好了分析和代数对力学和物理有促进作用，于是（U1、V1）这对典型变量主要反映了基础课--专业课的关系。体现的是考试方法的特点。

0.62991255为第一对典型变量的相关系数，所以比较分散。

0.09592154为第二对典型变量的相关系数，距1更远，所以点更为分散。