专题:二次函数与几何图形

专题：二次函数与几何图形 一、二次函数与平行四边形

1．已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 过点A （-3，0），B （1,0），C （0,3）三点 (1)求抛物线的解析式；

(2) 若抛物线的顶点为P ，求∠PAC 正切值；

(3)若以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形， 求点M 的坐标.

2．已知一次函数y =x +1的图像和二次函数y =x 2+bx +c 的图像

都经过A 、B 两点，且点A 在y 轴上，B 点的纵坐标为5. （1）求这个二次函数的解析式；

（2）将此二次函数图像的顶点记作点P ，求△ABP 的面积； （3）已知点C 、D 在射线AB 上，且D 点的横坐标比C 点 的横坐标大2，点E 、F 在这个二次函数图像上，且CE 、 DF 与y 轴平行，当CF ∥ED 时，求C 点坐标.

二、二次函数与相似三角形

图8

3. 如图，直线y ＝x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，经过A 、C 两点的抛物线y ＝ax ＋bx ＋c 与x 轴的负半轴上另一交点为B ，且tan ∠CBO=3．

（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标； （2）若点P 是射线BD 上一点，且以点P 、A 、B 为顶点的

三角形与△ABC 相似，求P 点坐标．【2014

徐汇区】

2

4. 已知：在直角坐标系中，直线y=x+1与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，抛物线

y =

1

(x -m ) 2+n 的顶点D 在直线AB 上，与y 轴的交点为C 。 2

y

（1）若点C （非顶点）与点B 重合，求抛物线的表达式；（2015杨浦区） （2）若抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且CD ⊥AB ，求∠CAD 的正切值； （3）在第（2）的条件下，在∠ACD 的内部作射线CP 交抛物线的对称

轴于点P ，使得∠DCP=∠CAD ，求点P 的坐标。

O

三、二次函数与特殊三角形（Rt △ 等腰△ 等腰Rt △）

2

5．如图，已知二次函数y=-x+bx+c（c>0）的图像与x 轴交于A 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，且OB=OC=3，顶点为M （1）求二次函数的解析式。

（2）线段BM 上是否存在点N ，使得△NMC 为等腰三角形？

若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说理。

2

6. 已知二次函数y=ax+bx+c (a≠0) 的图像经过点 (1)求此函数的解析式和对称轴.

(2)试探索该抛物线在x 轴下方的对称轴上存在几个点P,

使△PAB 是直角三角形, 并求出这些点的坐标.

x

7. 在平面直角坐标系中, 现将一块等腰直角三角板ABC 2

且点A(0,2),点C(-1,0),如图, 抛物线y=ax+ax-2经过点B. (1)求点B 的坐标. (2)求抛物线的解析式. (3)在抛物线上是否存在点P(点B 除外), 使△ACP 仍然是

以AC 为直角边的等腰直角三角形? 若存在, 求所有点P

的坐标, 若不存在, 请说理.

四、二次函数与面积

8．如图，在直角坐标平面内，直线y=-x+5与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，二次函数

y =x 2+bx +c 的图象经过点A 、B ，且顶点为C ．

（1）求这个二次函数的解析式； （2）求sin ∠OCA 的值； （3）若P 是这个二次函数图象上位于x 轴下方的一点，

且∆ABP 的面积为10，求点P 的坐标．

五、二次函数与梯形

9. 一次函数y=x+3的图像分别交x 轴.y 轴于A.B 两点, 某二次函数的图像也经过A.B 两点, 且二次项系数为1.

(1) 求此二次函数的解析式.

(2) 如果该二次函数图像与x 轴另一个交点记作C, 点D 在二次函数上, 如果以A.B.C.D

四点作为顶点的四边形恰好为梯形, 求满足条件的D 点坐标.

六、二次函数与特殊平行四边形（菱形等）

2

10. 如图：在平面直角坐标系中，二次函数y=x+bx+c的图像与x 原点的左侧，B 点坐标是（3,0），与y 轴交于点C （0，-3），点上一动点。

(1)求二次函数的解析式；

（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，求

出此时的P 点坐标，若不存在，请说明理由。

（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 面积最大？并求

此时P 点坐标及四边形ABPC 的最大面积。

七、二次函数与圆 11． 在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1,0），点C 的坐标为（0,4），直线CM//x 轴(如图所示) ．点B 与点A 关于原点对称，直线y=x+b (b 为常数) 经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ． (1) 求b 的值和点D 的坐标；

(2) 设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三 角形，求点P 的坐标； (3) 在(2)的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆 O 外切，求圆O 的半径．

八、二次函数与运动

2

12. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x+2x+3与x 轴交于点A 、B （点A 在B 左侧） ，

与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E 。

（1）将抛物线向下平移，若平移后， 在四边形ABEC 中满足S ▲BCE =S▲ABC ，求此时直线BC 的

解析式。

（2）将抛物线作适当的平移，若平移后， 在四边形ABEC 中满足S ▲BCE =2S▲AOC ，且顶点E 恰

好落在直线y=-4x+3上，求此时抛物线的解析式。