函数模型及其应用(教案)

增长型函数模型及其应用

复习教学目标：

1、使学生在掌握函数基本知识要点的基础上，学会用函数的观点、思想与方法分析、解决实际问题；

2、使学生学会正确理解题意，能够把实际问题转化为数学问题并灵活运用数学知识加以解决，提高学生数学建模、解模的能力．

复习教学重点：

提高学生应用函数的知识分析、解决问题的能力，采用研究、尝试、训练的方法解决． 复习教学难点：

根据已知条件建立函数关系式，把实际问题抽象、转化为数学问题，即建立数学模型． 复习教学设计：

一、基础梳理

1、几种常见的函数模型

(1) 一次函数模型：f (x )=ax +b (a 、b 为常数，a ≠0)；

(2) 二次函数模型：f (x )=ax 2+bx +c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)；

(3) 指数函数模型：f (x )=b ⋅a x +c (a 、b 、c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)；

(4) 对数函数模型：f (x )=b log a x +c (a 、b 、c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)；

(5) 幂函数模型：f (x )=ax n +b (a 、b 为常数，a ≠0)．

(1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，把握数学本质，选择数学模型；

(2) 建模：由题设中的数量关系，将文字语言转化为数学符号语言，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；

(3) 解模：运用数学知识和方法解决转化得出的数学问题；

(4) 还原：回到题目本身，检验求解结果的实际意义，得出结论．

二、小试身手

1、(巩固对不同函数增长速度的理解) 下列命题不正确的是 ( C )

+∞)是增函数； (A) 函数f (x )=x 2在(0，　

+∞)是增函数； (B) 函数f (x )=2x 在(0，　

+∞)，当x >x 0时，x 2>2x 恒成立； (C) ∃x 0∈(0，　

+∞)，当x >x 0时，2x >x 2恒成立． (D) ∃x 0∈(0，　

2、(指数型函数的应用) 某林场计划第一年造林1万亩，以后每年比前一年多造林20%，则三年后一共造林 ( D )

(A) 1.4万亩； (B) 1.44万亩； (C) 3.6万亩； (D) 3.64万亩．

三、热点考向探究

热点1、一次函数、二次函数模型

例1、有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润分别是P (万元) 和Q (万元) ，

x ，Q =今有3万元资金投入经营甲、5乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？ 它们与投入资金x (万元) 的关系有以下公式：P =

解：设对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资(3-x )万元，总利润为y 万元，根据题意

得：y =x +0≤x ≤3)，

50≤t ≤， 令=

t ，则x -3-t 2，　

131⎛3⎫210∴ y =(

3-t 2)+t =- t -⎪+，t ∈⎡⎣， 555⎝2⎭202

3时，y max =1.05，此时，x =0.75，　3-x =2.25， 2

答：为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，能获得的最大利润是1.05万元．

方法小结：利用一次函数、二次函数的单调性求最值时，要注意实际问题中自变量的取值范围，对于比较复杂的形式可用换元等方法进行化简．

热点二：指数函数与对数函数模型

例2、某工厂一、二、三月份的某产品产量分别为1万件、1. 2万件、1. 3万件，为了估测以当t =后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y (万件) 与月份x 的关系，模拟函数可选用二次函数或y =ab x +c (a 、b 、c 为常数，a ≠0) ，已知四月份的产量为1. 36万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由．

解：若用二次函数模拟，设y =ax 2+bx +c (a ≠0)，根据题意得：

⎧a +b +c =1177⎪⎨4a +2b +c =1.2，解方程组得：a =-，b =，c =， 202010⎪9a +3b +c =1.3⎩

∴ y =-1277x +x +，当x =4时，y =1.3，与四月份实际产量误差0.06万件； 202010

若用y =ab x +c (a 、b 、c 为常数，a ≠0) 模拟，根据题意得：

⎧a ⋅b +c =1417⎪2a ⋅b +c =1.2，解方程组得：， a =-，b =，c =⎨525⎪a ⋅b 3+c =1.3⎩4⎛1⎫7∴ y =-⋅ ⎪+，当x =4时，y =1.35，与四月份实际产量误差0.01万件； 5⎝2⎭5

4⎛1⎫7故：用y =ab x +c (a 、b 、c 为常数) 作为模拟函数较好，y =-⋅ ⎪+． 5⎝2⎭5x x

方法小结：在日常生活中，增长问题常用指数函数模型和幂函数模型进行模拟，有时也可以选用对数函数模型模拟，需和实际情况进行对比，看用哪种模型更为合理．

变式练习：

根据统计数据发现，从2000年开始，某地区的森林面积y (万亩) 与经过的年数x 的关系可用一个对数函数模型y =a lg x +b (a ≠0)进行模拟，已知2002年该地区森林面积为3.6万亩，2005年该地区森林面积为4.4万亩，请据此估计该地区2020年的森林面积．(参考数据：lg 2≈0.30)

⎧a ⋅lg 2+b =3.6解：由题意得：⎨，解方程组得：a =2，b =3， a ⋅lg 5+b =4.4⎩

∴ y =2lg x +3，

当x =20时，y =2lg 20+3=2(1+lg 2)+3≈5.6，

答：估计该地区2020年的森林面积约为5.6万亩．

四、课堂教学小结：

解答应用题的要求：认真审题，合理建模，仔细运算，检查作答．

常见的增长类函数模型：一次、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型． 常用的数学方法：待定系数法．

五、分层练习：

A 级：

1、(人教A 版教材第101页练习改编，检验学生对不同函数增长速度的掌握) 已知f (x )=x 2，g (x )=2x ，h (x )=log 2x ，当x ∈(4，　+∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是 ( C )

(A) f (x )>g (x )>h (x )； (B) g (x )>h (x )>f (x )；

(C) g (x )>f (x )>h (x )； (D) f (x )>h (x )>g (x )．

2、(

( B )

b (A) y =a +bx ； (B) y =a +b x ； (C) y =ax 2+b ； (D) y =a +． x

3、(检验学生对指数函数型模型的掌握) 将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y =ae nt ，假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟后

a 甲桶的水只有，则m = ( D ) 8

(A) 7； (B) 8； (C) 9； (D) 10．

4、(检验学生对数学建模的掌握) 商店经销一种洗衣粉，年销量为6000袋，每袋进价为2. 8元，销售价为3. 4元，全年分若干次进货，每次进货均为x 袋，已知每次进货运输费用为62. 5元，全年保管费为1. 5x 元，要使利润最大，每次进货量应为

B 级：

1、(2011年湖北高考，检验学生对指数型函数增长情况的综合应用) 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克) 与时间t (单位：年) 满足函数关系：M (t )=M 02-t 30，其中M 0为t =0时铯137的含量．已知t =30时，铯137含量的变化率是-10ln 2(太贝克／年) ，则M (60

)= ( D )

(A) 5太贝克； (B) 75ln 2太贝克； (C) 150ln 2太贝克；

(D)150太贝克．

2、(增长型函数模型的综合应用) 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙的抛物线表示：

)

(1) 写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系式P =f (t )；写出图乙表示的种植成本与时间的函数关系式Q =g (t )；(2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

(0≤t ≤200)⎧-t +300，　1(t -150)2+100，　(0≤t ≤300)； 答案：(1)f (t )=⎨，g (t )=()2t -300，　200＜t ≤300200⎩

(2) 第50天上市收益最大．

六、考题赏析

(2011年湖北17题) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况

下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时) 是车流密度x (单位：辆/千米) 的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．

(I) 当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；

(II) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时) f (x )=x ⋅v (x )可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时) ．

解：(I) 由题意：当0≤x ≤20时，v (x )=60；当20≤x ≤200时，设v (x )=ax +b ，

1⎧a =-，⎪⎧200a +b =0，⎪3再由已知得⎨ 　解得⎨20a +b =60，200⎩⎪b =，⎪3⎩

0≤x ≤20，⎧60，　　　 　⎪故函数v (x )的表达式为v (x )=⎨1 20

0≤x

当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x =20时，其最大值为60⨯20=1200；

211⎡x +(200-x )⎤10000 当20

当且仅当x =200-x ，即x =100时，等号成立。

10000300]上取得最大值 所以，当x =100时，f (x )在区间(20，　， 3

10000 综上，当x =100时，f (x )在区间[0，200]上取得最大值≈3333． 3

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．