黄浦区20**年高三数学文理一模试卷
黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试
数学试卷(文理合卷)
(2015年1月8日)
一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.
1⎫
1.已知全集U=R,集合A ={x ||x |-⎨⎬,则(CU B )
⎩
2⎭
2
.函数f (x ) = .
A =
3
.已知直线l 1:x +y -3=0, l 2:(1x +(1y +1=0,则直线l 1与l 2的夹角的 大小是 .
-130
i|(其4.若三阶行列式2n +1-2-m 中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是-15,则|n +m
4m 12n -1
中i 是虚数单位,m 、n ∈R ) 的值是 .
22
x y 5.已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点与双曲线:-=1的右焦点重合,则抛物线C 的方程72
是 . 6.若函数f (x ) =2x
2
+ax +1-3a
是定义域为R 的偶函数,则函数f (x ) 的单调递减区间是.
7.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的正半轴重合,角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆) 交于第二象限内的点A (x A , ) ,则sin 2α=(用数值表示)
8.已知二项式(1+2x ) (n ≥2, n ∈N ) 的展开式中第3项的系数是A ,数列{a n }(n ∈N ) 是公差为2
n
*
*
4
5
的等差数列,且前n 项和为S n ,则lim
A
= . n →∞S n
3
9.已知某圆锥体的底面半径r =3,沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为2π的扇形,则该圆锥体的表面积是 .
10.若从总体中随机抽取的样本为-1,3, -1,1,1,3,2,2,0,0,则该总体的标准差的点估计值是
【1】
11.已知 m 、n 、α、β∈R, m
“
12.一副扑克牌(有四色,同一色有13张不同牌) 共52张.现随机抽取3张牌,则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 (用数值作答) .
13.已知x ∈R ,定义:A (x ) 表示不小于x
的最小整数.如A =2, A (-0.4) =0, A (-1. 1) =- . (1理科) 若A (2x ⋅A (x )) =5,则正实数x 的取值范围是. (文科) 若A (2x +1) =3,则实数x 的取值范围是 14.(理科) 已知点O 是∆ABC 的重心,内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ,且 2a ⋅OA +b ⋅OB ⋅OC =0, 则角C 的大小是(文科) 已知点P 、Q 是∆ABC 所在平面上的两个定点,且满足PA +PC =0, 2QA +QB +QC =BC , 若|PQ |=λ|BC |, 则正实数λ= .
二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.给定空间中的直线l 及平面α,条件“直线l 与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直的 [答] ( ) . A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .非充分非必要条件
16.已知向量a =(-3,4) ,则下列能使a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R) 成立的一组向量e 1, e 2是 [答] ( ). A .e 1=(0,0),e 2=(-1,2) B .e 1=(-1,3) ,e 2=(2,-6) C .e 1=(-1,2) ,e 2=(3,-1) D .e 1=(-,1) ,e 2=(1,-2)
17.一个算法的程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的值是
[答] ( ) . A .4 B. 5 C. 6 D. 7
1
2
【2】
i (a 、b ∈R |18.已知z =a +b ,z 1, z 2∈C ,定义:D (z ) =||z =||a |+|b ,,是虚数单位i )
D (z 1,z 2) =||z 1-z 2||.给出下列命题:
(1)对任意z ∈C ,都有D (z)>0;
(2)若z 是复数z 的共轭复数,则D (z ) =D (z)恒成立; (3)若D (z1) =D (z2) (z1、z 2∈C) ,则z 1=z 2; (4)(理科)
对任意z 1、z 2、z 3∈C ,结论D (z1,z 3) ≤D (z1,z 2) +D (z2,z 3) 恒成立,则其中真命题是[答]( ) . (文科) 对任意z 1、z 2∈C ,结论D (z1,z 2)=D (z2,z 1) 恒成立,则其中真命题是[答]( ) . A .(1)(2)(3)(4) B .(2)(3)(4) C .(2)(4) D .(2)(3) 三、解答题(本大题满分74分) 本大题共有5题,解答下列各题必须在答题 卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分. 在长方体ABCD -A 中,AB =AA 1=4, BC =3,1B 1C 1D 1
E 、F 分别是所在棱AB 、BC 的中点,点P 是棱A 1B 1上的动
点,联结EF , AC 1.如图所示.
(1)求异面直线EF 、AC 1所成角的大小(用反三角函数值表示) ; (2)(理科) 求以E 、F 、A 、P 为顶点的三棱锥的体积. (文科) 求以E 、B 、F 、P 为顶点的三棱锥的体积.
20.(本题满分
12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.
已知函数f (x ) =x cos x -cos2x , x ∈R .
(1)求函数f (x ) 的单调递增区间;
(2)在∆ABC 中,内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ,若f (A ) =2,C =求∆ABC 的面积S ∆ABC 的值.
21.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
π
4
, c =2,
【3】
已知函数g (x ) =10x -1, x ∈R ,函数y =f (x ) 是函数y =g (x ) 的反函数.
10+1(1)求函数y =f (x ) 的解析式,并写出定义域D ; (2)(理科) 设h (x ) =
x
1
-f (x ) ,若函数y =h (x ) 在区间(0,1)内的图像是不间断的光滑曲线,求证:函数x
2
y =h (x ) 在区间(-1,0) 内必有唯一的零点(假设为t ) ,且-1
(文科) (2) 设函数h (x ) =
1
-f (x ) ,试判断函数y =h (x ) 在区间(-1,0) 上的单调性,并说明你的理由. x
22.(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分7分,第3小题满分7分. 定义:若各项为正实数的数列{a
n }满足a n +1n ∈N *) ,则称数列{a n }为“算术平方根递推数列”. 已知数列{x n }满足x n >0,n ∈N *, 且x 1=9, 点(x n +1, x n ) 在二次函数f (x ) =2x 2+2x 的图像上.
2
(1)试判断数列{2x n +1}(n ∈N ) 是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由; (2)记y n =lg(2x n +1) (n ∈N ) ,求证:数列{y n }是等比数列,并求出通项公式y n ;
*
*
(3)从数列{y n }中依据某种顺序自左至右取出其中的项y n 1, y n 2, y n 3,
,把这些项重新组成一个新数列
{z n }:z 1=y n ,z 2=y n ,z 3=y n ,
1
2
3
.(理科) 若数列{z n }是首项为z 1=(1) m -1、公比为q =1k (m , k ∈N *) 的
22
63
无穷等比数列,且数列{z n }各项的和为16,求正整数k 、m 的值.
11
(文科) 若数列{z n }是首项为z 1=() m -1,公比为q =k (m , k ∈N *) 的无穷等比数列,且数列{z n }各项
22
的和为1,求正整数k 、m 的值.
3
23.(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分. 在平面直角坐标系中,已知动点M (x , y ) ,点A (0,1), B (0,-1), D (1,0), 点N 与点M 关于直线y =x 对称,且AN ⋅BN =1x 2. 直线l 是过点D 的任意一条直线.
2
(1)求动点M 所在曲线C 的轨迹方程;
l 的方程; (3)(理科) 若直线l 与曲线C 交于G 、H 两点,与线段AB 交于点P (点P 不同于点O 、A 、B ) ,直线GB 与
(2)设直线l 与曲线C 交于G 、
H 两点,且|GH |=直线HA 交于点Q ,求证:OP ⋅OQ 是定值.
(文科) 设直线l 与曲线C 交于G 、H 两点,求以|GH |的长为直径且经过坐标原点O 的圆的方程.
【4】
黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试
数学试卷(文理合卷)
参考答案和评分标准(2015年1月8日)
说明:
1.本解答仅列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的评分精神进行评分.
2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 一、填空题
1.(-1, -1]; 8.2;
2
2.(1,+ ) ; 9.36p 3.p ; 10
;
3;
4.2; 11.a
234
; 425
51
;(文)
6.(- ,0]; 13. (理) 1
24
; 14.(理) p ;(文) 1. 2523
二、选择题: 15.B 16.C 17.A 18.C 三、解答题
19.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分. 解(1)联结AC ,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,有AC
又∠CAC 1是直角三角形ACC 1的一个锐角,
∴∠CAC 1就是异面直线AC 1与EF 所成的角. 由AB =AA 1=4, BC =
3,可算得AC =
EF .
=5.
【5】
∴tan ∠CAC 1=
CC 144
=,即异面直线AC 1与EF 所成角的大小为arctan . AC 55
(理) (2) 由题意可知,点P 到底面ABCD 的距离与棱AA 1的长相等.
1
S ∆AEF ⋅AA 1. 31133
∵S ∆AEF =AE ⋅BF =⋅2⋅=,
2222113
∴V P -AEF =S ∆AEF ⋅AA 1=⋅⋅4=2.
332
∴V P -AEF =
(文) (2) 由题意可知,点P 到底面ABCD 的距离与棱AA 1的长相等.
1
S ∆EBF ⋅AA 1. 31133
∵S ∆EBF =EB ⋅BF =⋅2⋅=,
2222113
∴V P -EBF =S ∆EBF ⋅AA 1=⋅⋅4=2.
332
∴V P -EBF =
20.(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分. 解(1)
∵f (x ) =x cos x -cos2x ,x ∈R , ∴f (x ) =2sin(2x - 由2k π-
π
6
) .
π
2
≤2x -
π
6
≤2k π+
π
2
, k ∈Z ,解得k π-
π
6
≤x ≤k π+
π
3
, k ∈Z .
∴函数f (x ) 的单调递增区间是[k π-(2) ∵在∆ABC 中,f (A ) =2, C = ∴2sin(2A -
π
, k π+],k ∈Z .
63
π
π
4
, c =2,
π
6
又0
∴A =
) =2, 解得A =k π+
π
3
, k ∈Z .
π
3
.
依据正弦定理,有
a sin
3
=
c sin
4
, 解得a =.
∴B =π-A -C =
5
π. 12
【6】
∴S ∆ABC =
11. ac sin B =⋅2=
2221.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
解(1)
10x -12g (x ) =x =1-x , x ∈R ,
10+110+1∴g (x ) 1,∴1-
22
>1-=-1. x
10+10+1
∴-1
10x -11+y 1+y x
, x =lg 由y =x ,可解得10=.
10+11-y 1-y 1+x
,D =(-1,1) . 1-x
111+x 11-x
=+lg (理) 证明 (2)由(1)可知,h (x ) =-f (x ) =-lg .
x x 1-x x 1+x
∴f (x ) =l 可求得函数h (x ) 的定义域为D 1=(-1,0) 对任意x ∈D 1,有h (x ) +h (-x ) =
(0,1).
11-x 11+x
+lg ++lg =0, x 1+x -x 1-x
所以,函数y =h (x ) 是奇函数. 当x ∈(0,1)时, 于是,lg
11-x 2
=-1+在(0,1)上单调递减,在(0,1)上单调递减,
x 1+x 1+x
1-x
在(0,1)上单调递减. 1+x
因此,函数y =h (x ) 在(0,1)上单调递减. 依据奇函数的性质,可知,
函数y =h (x ) 在(-1,0) 上单调递减,且在(-1,0) 上的图像也是不间断的光滑曲线.
99100100) =-+lg199>2->0, 1009999
1
所以,函数y =h (x ) 在区间(-1,0) 上有且仅有唯一零点t ,且-1
2
又h (-) =-2+lg 3
(文) (2) 答:函数y =h (x ) 在区间(-1,0) 上单调递减. 理由:由(1)可知,h (x ) =
12
111+x 11-x -f (x ) =-lg =+lg . x x 1-x x 1+x
【7】
可求得函数h (x ) 的定义域为D 1=(-1,0) 对任意x ∈D 1,有h (x ) +h (-x ) =
(0,1).
11-x 11+x +lg ++lg =0, x 1+x -x 1-x
所以,函数y =h (x ) 是奇函数. 当x ∈(0,1)时, 于是,lg
11-x 2
=-1+在(0,1)上单调递减,在(0,1)上单调递减,
x 1+x 1+x
1-x
在(0,1)上单调递减. 1+x
因此,函数y =h (x ) 在(0,1)上单调递减. 依据奇函数的性质,可知, 函数y =h (x ) 在(-1,0) 上单调递减.
22.(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分7分,第3小题满分7分. 解(1)答:数列{2x n +1}是算术平方根递推数列.
理由:点(x n +1, x n ) 在函数f (x ) =2x 2+2x 的图像上,
2
∴x n =2x n +1+2x n +1, 22即2x n +1=4x n +1+4x n +1+1,2x n +1=(2x n +1+1) .
又x n >0, n ∈N *,
∴2x n +1+1=
n ∈N *.
∴数列{2x n +1}是算术平方根递推数列. 证明(2
) ∴y
y n =lg(2x n +1),2x n +1+1=n ∈N *,
n +1=
1
y n . 2
9
又y 1=lg(2x 1+1) =1(x 1=) ,
2
1
∴数列{y n }是首项为y 1=1, 公比q =的等比数列.
2
1n -1*
∴y n =y 1⋅() , n ∈N .
2
11*
(理)(3)由题意可知,无穷等比数列{z n }的首项z 1=m -1, 公比k (k 、m ∈N 且k 、m 为常数) ,
22
【8】
1
m -116∴= . 1
1-k 632
1663
化简,得k +m -1=16.
22
[1**********]3
≤+
222828
∴m -1≤2.
1663
又m -1=0或1时,k +m -1>16,
22
∴ m -1=2, 即m =3. ∴
1663k
=16-, 2=k 24
6解得4, k =. 6
⎧m =3,
∴⎨k =6. ⎩
(文) (3)由题意可知,无穷等比数列{z n }的首项z 1=
12m -1
, 公比
1
(k 、m ∈N *且k 、m 为常数) , k 2
1
m -11∴= . 11-k 32
13
化简,得k +m -1=1.
22
131313
若m -1≥3,则k +m -1≤k +≤+
222828
∴m -1≤2.
13
又m -1=0或1时,k +m -1>1,
22
∴ m -1=2, 即m =3. ∴
13k
=1-, 2=4, 解得k =2. 2k 4
⎧m =3,
∴⎨
⎩k =2.
23.(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分. 解(1) 依据题意,可得点N (y , x ) .
【9】
∴AN =(y , x -1), BN =(y , x +1) .
12
x , 21
∴y 2+x 2-1=x 2.
2
又AN ⋅BN =
x 2
∴所求动点M 的轨迹方程为C :+y 2=1.
2
(2) 若直线l
y
轴,则可求得|GH ,这与已知矛盾,因此满足题意的直线l 不平行于y 轴.
设直线l 的斜率为k ,则l :y =k (x -1) .
⎧x 2
⎪+y 2=1,
由⎨2 得(1+2k 2) x 2-4k 2x +2k 2-2=0.
⎪y =k (x -1). ⎩
⎧4k 2x +x =, ⎪⎪122k 2+1
设点H (x 1, y 1) 、G (x 2, y 2) ,有⎨ 且∆>0恒成立(因点D 在椭圆内部) .
2
⎪x x =2k -212⎪2k 2+1⎩
又|GH |=
=
,
22.
2
x -1) . 2
解得k =±
所以,所求直线l :y =±(理) 证明(3)
直线l 与线段AB 交于点P ,且与点O 、A 、B 不重合,
∴直线l 的斜率k 满足:-1
由(2)可得点P (0,-k ) ,
-2k k 2
, y 1y 2=-2 可算得y 1+y 2=.
2k 2+12k +1
【10】
又直线HA :y -1=y 1-1y +1x , GB :y +1=2x . x 1x 2
⎧⎪y -1=⎪ 设点Q (x Q , y Q ) ,则由⎨⎪y +1=⎪⎩y 1-1x ,y Q -1x 1y 2+1x . x 2得y Q +1=y 1-1x 2⋅(此等式右边为正数). y 2+1x 1
22y Q -12(y 1-1) 2x 21-(y 1+y 2) +y 1y 2>0,且(∴) =⋅=y Q +1y Q +1(y 2+1) 2x 121+y 1+y 2+y 1y 2y Q -1⎛1+k ⎫= ⎪. 1-k ⎝⎭
y Q -11+k 1,解得y Q =-. ∴ =k y Q +11-k
1∴OP ⋅OQ =(0,-k ) ⋅(x Q , -) =1为定值. k
(文) (3) 当直线l y
轴时,|GH |=O 到圆心的距离为1. 即点O 在圆外,不满足题意. ∴满足题意的直线l 的斜率存在,设为k ,则l :y =k (x -1) .
2k ⎧4k 2⎧y +y =-, x +x =, 12122⎪2⎪⎪2k +1⎪2k +1 设点H (x 1, y 1) 、G (x 2, y 2) ,由(2)知,⎨进一步可求得⎨ 22⎪y y =-k ⎪x x =2k -2. . 122122⎪⎪2k +1⎩2k +1⎩ 依据题意,有OG ⊥OH ,
∴x 1x 2+y 1y 2=0,
2k 2-2-k 2
+=0,解得k = 即2k 2+12k 2+
1
∴
所求圆的半径r =1, |GH |==2
圆心为(x 1+x 2y 1+y 24, ) =(, . 2254
52 ∴
所求圆的方程为:(x -) +(y ±
218=. 525
【11】
相关文章
- 20**年届高三数学备课组复习备考计划
- 从20**年各地高考数学难度排行,看20**年高考数学命题预测及备考指导!
- 20**年上海市杨浦区高三一模语文试卷(附答案)
- 上海市杨浦区20**年届高三上学期高中等级考质量调研考试政治试题
- 高中生要做好哪些准备
- 文科生该怎样来学好高二数学
- 最新20**年高考数学文理科历年题型分析与试卷分析
- 建立四人学习小组
- 上海数学高考容易混淆知识点的题目汇总
- 20**年青浦区高三历史一模考试卷
2018届高三数学备课组复习备考计划 高三数学备课组 柳建林 一.目标:以面向高考, 面向学生, 面向新课标为指导, 以课堂教学为主, 课后辅导为辅, 帮助学生夯实基础, 培养能力, 突出数学思想方法, 努力争取在2018年高考中取得满意的 ...
更多提分宝典 即将陆续推出 对很多考生来说,高考数学拿到140分是难以企及的梦.有多难?举个例子:今年广西(全国3卷)的数学平均分--数学(文)46.8分,数学(理)60.2分!难怪每年高考考生考完数学出来,脸色基本都晴转多云. 今年高考结 ...
杨浦区2016学年度第一学期 高三年级模拟质量调研 语文学科试卷 (答案做在答题卡上) (满分150分,时间150分钟) 2016年12月 一. 阅 读(80分) (一)阅读下文,完成1-6题.(17分) ⑴中国社会科学网讯(记者曾江 通讯 ...
杨浦区2016学年度第一学期高中等级考质量调研 高三年级政治学科试卷 2016年 12月 考生注意: 1.试卷满分100分,考试时间60分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求. 3.答题前,务必用黑色钢笔.圆珠笔或签字笔 ...
高中生要做好哪些准备? Part1高中各年级规划 一.高一化学夯实基础 "化学是一门记忆加实验的学科",这也许不太符合一些同学的思维习惯. 特别是我们很多同学在初中化学学得还算可以得情况下,是觉着没有花多少时间去记忆的. ...
文科生该怎样来学好高二数学 高二是文理科的分界点,很多选择了文科的同学会因为数学而头疼,有的甚至放弃了数学,其实,文科生虽然逻辑思维不如理科生,但是掌握好方法学习文科数学还是能够学好的,今天就让丁博士来告诉大家高二分科后文科生如何学好数学? ...
www.xinghuo100.com 全国卷Ⅰ(理科) 高考数学学科分析 (一) (二) 高考数学知识点汇总(略) 高考数学考纲提炼 考点1:集合(集合的交.并.补运算) 考点2:常用逻辑用语(命题的否定.充分必要条件) 考点3:函数(函数 ...
我引导本班学生发挥自主学习与合作学习的作用,首先建立四人学习小组. 课堂上老师引导四人小组讨论问题,把学生按前后座位分成四人小组,并推选数学学得较好的为小组长,课堂上每遇到难理解的问题时,四人小组展开讨论,由组长负责本组同学掌握为止.力求更 ...
上海数学高考易错题目分类汇总 点击教育研究室出品 2016年8月25日 目 录 第一部分第二部分第三部分第四部分第五部分第六部分第七部分第八部分第九部分第十部分 集合 .................................... ...
新 课 程 教 育 在 线 青浦区2009学年度第一学期高三模拟测试 历 考生注意: 史试卷 本试卷分为选择题和非选择题两部分,全卷共页.2010年1月 1.答卷前,考生务必分别在答题卡和答题纸上用钢笔清楚填写姓名和准考证号,并用铅笔 在答 ...