黄浦区20**年高三数学文理一模试卷

黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试

数学试卷(文理合卷)

(2015年1月8日)

一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.

1⎫

1.已知全集U=R,集合A ={x ||x |-⎨⎬,则(CU B )

2⎭

2

.函数f (x ) = .

A =

3

.已知直线l 1:x +y -3=0, l 2:(1x +(1y +1=0,则直线l 1与l 2的夹角的 大小是 .

-130

i|(其4.若三阶行列式2n +1-2-m 中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是-15,则|n +m

4m 12n -1

中i 是虚数单位,m 、n ∈R ) 的值是 .

22

x y 5.已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点与双曲线:-=1的右焦点重合,则抛物线C 的方程72

是 . 6.若函数f (x ) =2x

2

+ax +1-3a

是定义域为R 的偶函数,则函数f (x ) 的单调递减区间是.

7.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的正半轴重合,角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆) 交于第二象限内的点A (x A , ) ,则sin 2α=(用数值表示)

8.已知二项式(1+2x ) (n ≥2, n ∈N ) 的展开式中第3项的系数是A ,数列{a n }(n ∈N ) 是公差为2

n

*

*

4

5

的等差数列,且前n 项和为S n ,则lim

A

= . n →∞S n

3

9.已知某圆锥体的底面半径r =3,沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为2π的扇形,则该圆锥体的表面积是 .

10.若从总体中随机抽取的样本为-1,3, -1,1,1,3,2,2,0,0,则该总体的标准差的点估计值是

【1】

11.已知 m 、n 、α、β∈R, m

12.一副扑克牌(有四色,同一色有13张不同牌) 共52张.现随机抽取3张牌,则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 (用数值作答) .

13.已知x ∈R ,定义:A (x ) 表示不小于x

的最小整数.如A =2, A (-0.4) =0, A (-1. 1) =- . (1理科) 若A (2x ⋅A (x )) =5,则正实数x 的取值范围是. (文科) 若A (2x +1) =3,则实数x 的取值范围是 14.(理科) 已知点O 是∆ABC 的重心,内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ,且 2a ⋅OA +b ⋅OB ⋅OC =0, 则角C 的大小是(文科) 已知点P 、Q 是∆ABC 所在平面上的两个定点,且满足PA +PC =0, 2QA +QB +QC =BC , 若|PQ |=λ|BC |, 则正实数λ= .

二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.

15.给定空间中的直线l 及平面α,条件“直线l 与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直的 [答] ( ) . A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .非充分非必要条件

16.已知向量a =(-3,4) ,则下列能使a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R) 成立的一组向量e 1, e 2是 [答] ( ). A .e 1=(0,0),e 2=(-1,2) B .e 1=(-1,3) ,e 2=(2,-6) C .e 1=(-1,2) ,e 2=(3,-1) D .e 1=(-,1) ,e 2=(1,-2)

17.一个算法的程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的值是

[答] ( ) . A .4 B. 5 C. 6 D. 7

1

2

【2】

i (a 、b ∈R |18.已知z =a +b ,z 1, z 2∈C ,定义:D (z ) =||z =||a |+|b ,,是虚数单位i )

D (z 1,z 2) =||z 1-z 2||.给出下列命题:

(1)对任意z ∈C ,都有D (z)>0;

(2)若z 是复数z 的共轭复数,则D (z ) =D (z)恒成立; (3)若D (z1) =D (z2) (z1、z 2∈C) ,则z 1=z 2; (4)(理科)

对任意z 1、z 2、z 3∈C ,结论D (z1,z 3) ≤D (z1,z 2) +D (z2,z 3) 恒成立,则其中真命题是[答]( ) . (文科) 对任意z 1、z 2∈C ,结论D (z1,z 2)=D (z2,z 1) 恒成立,则其中真命题是[答]( ) . A .(1)(2)(3)(4) B .(2)(3)(4) C .(2)(4) D .(2)(3) 三、解答题(本大题满分74分) 本大题共有5题,解答下列各题必须在答题 卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分. 在长方体ABCD -A 中,AB =AA 1=4, BC =3,1B 1C 1D 1

E 、F 分别是所在棱AB 、BC 的中点,点P 是棱A 1B 1上的动

点,联结EF , AC 1.如图所示.

(1)求异面直线EF 、AC 1所成角的大小(用反三角函数值表示) ; (2)(理科) 求以E 、F 、A 、P 为顶点的三棱锥的体积. (文科) 求以E 、B 、F 、P 为顶点的三棱锥的体积.

20.(本题满分

12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.

已知函数f (x ) =x cos x -cos2x , x ∈R .

(1)求函数f (x ) 的单调递增区间;

(2)在∆ABC 中,内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ,若f (A ) =2,C =求∆ABC 的面积S ∆ABC 的值.

21.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.

π

4

, c =2,

【3】

已知函数g (x ) =10x -1, x ∈R ,函数y =f (x ) 是函数y =g (x ) 的反函数.

10+1(1)求函数y =f (x ) 的解析式,并写出定义域D ; (2)(理科) 设h (x ) =

x

1

-f (x ) ,若函数y =h (x ) 在区间(0,1)内的图像是不间断的光滑曲线,求证:函数x

2

y =h (x ) 在区间(-1,0) 内必有唯一的零点(假设为t ) ,且-1

(文科) (2) 设函数h (x ) =

1

-f (x ) ,试判断函数y =h (x ) 在区间(-1,0) 上的单调性,并说明你的理由. x

22.(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分7分,第3小题满分7分. 定义:若各项为正实数的数列{a

n }满足a n +1n ∈N *) ,则称数列{a n }为“算术平方根递推数列”. 已知数列{x n }满足x n >0,n ∈N *, 且x 1=9, 点(x n +1, x n ) 在二次函数f (x ) =2x 2+2x 的图像上.

2

(1)试判断数列{2x n +1}(n ∈N ) 是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由; (2)记y n =lg(2x n +1) (n ∈N ) ,求证:数列{y n }是等比数列,并求出通项公式y n ;

*

*

(3)从数列{y n }中依据某种顺序自左至右取出其中的项y n 1, y n 2, y n 3,

,把这些项重新组成一个新数列

{z n }:z 1=y n ,z 2=y n ,z 3=y n ,

1

2

3

.(理科) 若数列{z n }是首项为z 1=(1) m -1、公比为q =1k (m , k ∈N *) 的

22

63

无穷等比数列,且数列{z n }各项的和为16,求正整数k 、m 的值.

11

(文科) 若数列{z n }是首项为z 1=() m -1,公比为q =k (m , k ∈N *) 的无穷等比数列,且数列{z n }各项

22

的和为1,求正整数k 、m 的值.

3

23.(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分. 在平面直角坐标系中,已知动点M (x , y ) ,点A (0,1), B (0,-1), D (1,0), 点N 与点M 关于直线y =x 对称,且AN ⋅BN =1x 2. 直线l 是过点D 的任意一条直线.

2

(1)求动点M 所在曲线C 的轨迹方程;

l 的方程; (3)(理科) 若直线l 与曲线C 交于G 、H 两点,与线段AB 交于点P (点P 不同于点O 、A 、B ) ,直线GB 与

(2)设直线l 与曲线C 交于G 、

H 两点,且|GH |=直线HA 交于点Q ,求证:OP ⋅OQ 是定值.

(文科) 设直线l 与曲线C 交于G 、H 两点,求以|GH |的长为直径且经过坐标原点O 的圆的方程.

【4】

黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试

数学试卷(文理合卷)

参考答案和评分标准(2015年1月8日)

说明:

1.本解答仅列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的评分精神进行评分.

2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 一、填空题

1.(-1, -1]; 8.2;

2

2.(1,+ ) ; 9.36p 3.p ; 10

3;

4.2; 11.a

234

; 425

51

;(文)

6.(- ,0]; 13. (理) 1

24

; 14.(理) p ;(文) 1. 2523

二、选择题: 15.B 16.C 17.A 18.C 三、解答题

19.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分. 解(1)联结AC ,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,有AC

又∠CAC 1是直角三角形ACC 1的一个锐角,

∴∠CAC 1就是异面直线AC 1与EF 所成的角. 由AB =AA 1=4, BC =

3,可算得AC =

EF .

=5.

【5】

∴tan ∠CAC 1=

CC 144

=,即异面直线AC 1与EF 所成角的大小为arctan . AC 55

(理) (2) 由题意可知,点P 到底面ABCD 的距离与棱AA 1的长相等.

1

S ∆AEF ⋅AA 1. 31133

∵S ∆AEF =AE ⋅BF =⋅2⋅=,

2222113

∴V P -AEF =S ∆AEF ⋅AA 1=⋅⋅4=2.

332

∴V P -AEF =

(文) (2) 由题意可知,点P 到底面ABCD 的距离与棱AA 1的长相等.

1

S ∆EBF ⋅AA 1. 31133

∵S ∆EBF =EB ⋅BF =⋅2⋅=,

2222113

∴V P -EBF =S ∆EBF ⋅AA 1=⋅⋅4=2.

332

∴V P -EBF =

20.(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分. 解(1)

∵f (x ) =x cos x -cos2x ,x ∈R , ∴f (x ) =2sin(2x - 由2k π-

π

6

) .

π

2

≤2x -

π

6

≤2k π+

π

2

, k ∈Z ,解得k π-

π

6

≤x ≤k π+

π

3

, k ∈Z .

∴函数f (x ) 的单调递增区间是[k π-(2) ∵在∆ABC 中,f (A ) =2, C = ∴2sin(2A -

π

, k π+],k ∈Z .

63

π

π

4

, c =2,

π

6

又0

∴A =

) =2, 解得A =k π+

π

3

, k ∈Z .

π

3

.

依据正弦定理,有

a sin

3

=

c sin

4

, 解得a =.

∴B =π-A -C =

5

π. 12

【6】

∴S ∆ABC =

11. ac sin B =⋅2=

2221.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.

解(1)

10x -12g (x ) =x =1-x , x ∈R ,

10+110+1∴g (x ) 1,∴1-

22

>1-=-1. x

10+10+1

∴-1

10x -11+y 1+y x

, x =lg 由y =x ,可解得10=.

10+11-y 1-y 1+x

,D =(-1,1) . 1-x

111+x 11-x

=+lg (理) 证明 (2)由(1)可知,h (x ) =-f (x ) =-lg .

x x 1-x x 1+x

∴f (x ) =l 可求得函数h (x ) 的定义域为D 1=(-1,0) 对任意x ∈D 1,有h (x ) +h (-x ) =

(0,1).

11-x 11+x

+lg ++lg =0, x 1+x -x 1-x

所以,函数y =h (x ) 是奇函数. 当x ∈(0,1)时, 于是,lg

11-x 2

=-1+在(0,1)上单调递减,在(0,1)上单调递减,

x 1+x 1+x

1-x

在(0,1)上单调递减. 1+x

因此,函数y =h (x ) 在(0,1)上单调递减. 依据奇函数的性质,可知,

函数y =h (x ) 在(-1,0) 上单调递减,且在(-1,0) 上的图像也是不间断的光滑曲线.

99100100) =-+lg199>2->0, 1009999

1

所以,函数y =h (x ) 在区间(-1,0) 上有且仅有唯一零点t ,且-1

2

又h (-) =-2+lg 3

(文) (2) 答:函数y =h (x ) 在区间(-1,0) 上单调递减. 理由:由(1)可知,h (x ) =

12

111+x 11-x -f (x ) =-lg =+lg . x x 1-x x 1+x

【7】

可求得函数h (x ) 的定义域为D 1=(-1,0) 对任意x ∈D 1,有h (x ) +h (-x ) =

(0,1).

11-x 11+x +lg ++lg =0, x 1+x -x 1-x

所以,函数y =h (x ) 是奇函数. 当x ∈(0,1)时, 于是,lg

11-x 2

=-1+在(0,1)上单调递减,在(0,1)上单调递减,

x 1+x 1+x

1-x

在(0,1)上单调递减. 1+x

因此,函数y =h (x ) 在(0,1)上单调递减. 依据奇函数的性质,可知, 函数y =h (x ) 在(-1,0) 上单调递减.

22.(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分7分,第3小题满分7分. 解(1)答:数列{2x n +1}是算术平方根递推数列.

理由:点(x n +1, x n ) 在函数f (x ) =2x 2+2x 的图像上,

2

∴x n =2x n +1+2x n +1, 22即2x n +1=4x n +1+4x n +1+1,2x n +1=(2x n +1+1) .

又x n >0, n ∈N *,

∴2x n +1+1=

n ∈N *.

∴数列{2x n +1}是算术平方根递推数列. 证明(2

) ∴y

y n =lg(2x n +1),2x n +1+1=n ∈N *,

n +1=

1

y n . 2

9

又y 1=lg(2x 1+1) =1(x 1=) ,

2

1

∴数列{y n }是首项为y 1=1, 公比q =的等比数列.

2

1n -1*

∴y n =y 1⋅() , n ∈N .

2

11*

(理)(3)由题意可知,无穷等比数列{z n }的首项z 1=m -1, 公比k (k 、m ∈N 且k 、m 为常数) ,

22

【8】

1

m -116∴= . 1

1-k 632

1663

化简,得k +m -1=16.

22

[1**********]3

≤+

222828

∴m -1≤2.

1663

又m -1=0或1时,k +m -1>16,

22

∴ m -1=2, 即m =3. ∴

1663k

=16-, 2=k 24

6解得4, k =. 6

⎧m =3,

∴⎨k =6. ⎩

(文) (3)由题意可知,无穷等比数列{z n }的首项z 1=

12m -1

, 公比

1

(k 、m ∈N *且k 、m 为常数) , k 2

1

m -11∴= . 11-k 32

13

化简,得k +m -1=1.

22

131313

若m -1≥3,则k +m -1≤k +≤+

222828

∴m -1≤2.

13

又m -1=0或1时,k +m -1>1,

22

∴ m -1=2, 即m =3. ∴

13k

=1-, 2=4, 解得k =2. 2k 4

⎧m =3,

∴⎨

⎩k =2.

23.(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分. 解(1) 依据题意,可得点N (y , x ) .

【9】

∴AN =(y , x -1), BN =(y , x +1) .

12

x , 21

∴y 2+x 2-1=x 2.

2

又AN ⋅BN =

x 2

∴所求动点M 的轨迹方程为C :+y 2=1.

2

(2) 若直线l

y

轴,则可求得|GH ,这与已知矛盾,因此满足题意的直线l 不平行于y 轴.

设直线l 的斜率为k ,则l :y =k (x -1) .

⎧x 2

⎪+y 2=1,

由⎨2 得(1+2k 2) x 2-4k 2x +2k 2-2=0.

⎪y =k (x -1). ⎩

⎧4k 2x +x =, ⎪⎪122k 2+1

设点H (x 1, y 1) 、G (x 2, y 2) ,有⎨ 且∆>0恒成立(因点D 在椭圆内部) .

2

⎪x x =2k -212⎪2k 2+1⎩

又|GH |=

=

22.

2

x -1) . 2

解得k =±

所以,所求直线l :y =±(理) 证明(3)

直线l 与线段AB 交于点P ,且与点O 、A 、B 不重合,

∴直线l 的斜率k 满足:-1

由(2)可得点P (0,-k ) ,

-2k k 2

, y 1y 2=-2 可算得y 1+y 2=.

2k 2+12k +1

【10】

又直线HA :y -1=y 1-1y +1x , GB :y +1=2x . x 1x 2

⎧⎪y -1=⎪ 设点Q (x Q , y Q ) ,则由⎨⎪y +1=⎪⎩y 1-1x ,y Q -1x 1y 2+1x . x 2得y Q +1=y 1-1x 2⋅(此等式右边为正数). y 2+1x 1

22y Q -12(y 1-1) 2x 21-(y 1+y 2) +y 1y 2>0,且(∴) =⋅=y Q +1y Q +1(y 2+1) 2x 121+y 1+y 2+y 1y 2y Q -1⎛1+k ⎫= ⎪. 1-k ⎝⎭

y Q -11+k 1,解得y Q =-. ∴ =k y Q +11-k

1∴OP ⋅OQ =(0,-k ) ⋅(x Q , -) =1为定值. k

(文) (3) 当直线l y

轴时,|GH |=O 到圆心的距离为1. 即点O 在圆外,不满足题意. ∴满足题意的直线l 的斜率存在,设为k ,则l :y =k (x -1) .

2k ⎧4k 2⎧y +y =-, x +x =, 12122⎪2⎪⎪2k +1⎪2k +1 设点H (x 1, y 1) 、G (x 2, y 2) ,由(2)知,⎨进一步可求得⎨ 22⎪y y =-k ⎪x x =2k -2. . 122122⎪⎪2k +1⎩2k +1⎩ 依据题意,有OG ⊥OH ,

∴x 1x 2+y 1y 2=0,

2k 2-2-k 2

+=0,解得k = 即2k 2+12k 2+

1

所求圆的半径r =1, |GH |==2

圆心为(x 1+x 2y 1+y 24, ) =(, . 2254

52 ∴

所求圆的方程为:(x -) +(y ±

218=. 525

【11】


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