动态系统建模理论与应用习题

《动态系统建模理论与应用》课程习题

一、 选择题：答案唯一，在（ ）内填入正确答案的编号。

1. 对于批量最小二乘格式Y L =ΦL θ+E L ，其最小二乘无偏估计的必要条件是（ ）。

-1T

A. 输入序列{u k }为“持续激励”信号 B. E L 与(ΦT L ΦL ) ΦL 正交

C. E L 为非白噪声向量 D. E {E L }=0

T 2. 对象模型为y k =ϕk θ+e k 时，采用递推最小二乘估计后的残差序列的计算式为

（ ）。

T ˆT ˆA. εk =y k -ϕk B. θε=y -ϕ-1k k k k θk -1 T ˆT ˆC. εk =y k -ϕk θk D. εk =y k -ϕk -1θk -1

3. 在上题的条件下，递推最小二乘算法中的增益矩阵K k 可以写成（ ）。

A. P k -1ϕk -1 B. P k ϕk -1 C. P k -1ϕk D. P k ϕk 4. 可以同时得到对象参数和干扰噪声模型参数的估计算法是（ ）。

A. 辅助变量法 B. 广义最小二乘法 C. 最小二乘限定记忆法 D. 相关最小二乘两步法 5. 增广最小二乘估计的关键是（ ）。

A. 将控制项增广进ϕk 中，并用残差项取代进行估计 B. 将输出项增广进ϕk 中，并用残差项取代进行估计 C. 将噪声项增广进ϕk 中，并用残差项取代进行估计 D. 将噪声项增广进ϕk 中，并用输出项取代进行估计

答案：1. B 2. C 3. D 4. B 5. C ■ 二、 判断题：以○表示正确或×表示错误。

1．估计残差平方和最小是确定辨识过程对象结构的唯一标准。（ ） 2．最小二乘估计的批量算法和递推算法在数学上是等价的。（ ） 3．广义最小二乘法就是辅助变量法和增广最小二乘法交替试用。（ ）

4．在递推最小二乘算法中，若置P k =P =P T >0，则该算法也能克服“数据饱和”现象，进而可适用于时变系统。（ ）

5．用神经网络对SISO 非线性系统辨识，采用的是输入层和输出层均为一个神经元的三层前馈神经元网络结构。（ ）

答案：1. × 2. ○ 3. × 4. ○ 5. × ■ 三、 设y 和x 1, x 2, x n 之间满足关系y =exp (a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n ) ，试图利用y 和

x 1, x 2, x n 的观测值来估计参数a 1, a 2, a n ，请将该模型化成最小二乘格式。

答案：z =ln(y)=a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n =ϕT θ

其中，θT =[a 1, a 2, , a n ]

ϕT =[x 1, x 2, , x n ] ■

四、 对于多输入单输出（MISO ）系统可由下面的模型描述

A (z -1) y k =B (z -1) u k -1+e k

其中，u k 为系统的m ×1维输入向量；y k 为系统的标量输出；e k 为标量i.i.d 随机噪声；z 为延迟算子，即z -1y k =y k -1；A (z -1) 为标量参数多项式，B (z -1) 为1×m 的参数多项式向量：

-1

A (z -1) =1+a 1z -1+. +a n a z -n a

B (z -1) =B 0+B 1z -1+. +B n b z -n b

请写出：最小二乘递推算法公式和计算步骤或流程。 答案：

根据题意，可写出最小二乘格式为：

T

y k =ϕk θ+e k

其中，

T T T T ϕk =[-y k -1, -y k -2, -y k -n ; u k -1, u k -2, u k -n -1]

a

b

θT =⎡⎣a 1, a 2, , a n ; B 0, B 1, , B n ⎤⎦

a

b

因此，采用批量最小二乘法估计时，设采集数据时刻为k=1,2,…,L ，则有批量最小二乘格式为：

Y L =ΦL θ+E L

其中，

⎡ϕ1T ⎤⎡y 1⎤⎡e 1⎤⎢T ⎥⎢y ⎥⎢e ⎥ϕ22

Y L =⎢⎥，ΦL =⎢⎥，E L =⎢2⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢T ⎥⎢⎥⎢⎥

y ϕ⎢⎥⎣L ⎦⎣e L ⎦⎣L ⎦

从而，批量最小二乘估计公式为：

ˆ=(ΦT Φ) -1ΦT Y θL L L L

递推最小二乘估计公式为：

ˆ=θˆ+K (y -ϕT θˆθk k -1k k k k -1)

T

P k -1ϕk P k -1ϕk ϕk P k -1

K k =， P =P -k k -1T T

1+ϕk P k -1ϕk 1+ϕk P k -1ϕk

ˆ=0，P =γ2I ，γ2是一个充分大的正数。 初始估计：θ00

计算流程为：

ˆ, P , k =0； （0） 给定θ00

T

（1） 量测y k +1，组成ϕk +1；

（2） 计算K k +1；

ˆ； （3） 计算θk +1

（4） 输出估计结果，并由误差限或数据长度L 来确定是否停止估计。若条件满足，

则停止估计；否则，继续进行。

（5） 计算P k +1；

（6） k ⇐k +1，返回到（1）。 ■

五、 对于SISO 系统的数学模型

A (z -1) y k =B (z -1) u k -1+v k

其中，u k 和y k 分别为系统的输入输出量，v k 为干扰噪声，A (z ) 和B (z ) 为参数多项式：

-1

-1

A (z -1) =1+a 1z -1+ +a n a z -n a B (z -1) =b 0+b 1z -1+ +b n b z -n b

且n a >n b ，z 为延迟算子，即z -1y k =y k -1。

1． 对于量测u k 、y k ，k =1, 2, N ，写出估计系统参数的最小二乘批量算法详细公式。

-1

2． 给出最小二乘法无偏估计的条件并加以证明。 3． 简述辨识动态系统数学模型的一般步骤。 答案：

1．由题意可知，采用L 次测量的批量最小二乘格式可写为：

Y N =ΦN θ+V N

其中，

T ϕk =⎡⎣-y k -1, -y k -2, -y k -n ; u k -1, u k -2, u k -n -1⎤⎦

a

b

θT =⎡⎣a 1, a 2, , a n ; b 0, b 1, , b n ⎤⎦

a

b

⎡ϕ1T ⎤⎡y 1⎤⎡v 1⎤

⎢T ⎥⎢y ⎥⎢v ⎥ϕ22

Y N =⎢⎥，ΦN =⎢⎥，V N =⎢2⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢T ⎥⎢⎥⎢⎥

y ϕ⎢⎥⎣N ⎦⎣v N ⎦⎣k ⎦

因此，最小二乘批量算法公式为：

ˆ=(ΦT Φ) -1ΦT Y ■ θN N N N

2．证明：

-1T T -1T

E (θˆ) =E (ΦT N ΦN ) ΦN Y N =E (ΦN ΦN ) ΦN (ΦN θ+V N )

-1T

=E (θ) +E (ΦT Φ) ΦN N N V N )

[

[

][

]

]

-1T

当(ΦT N ΦN ) 和ΦN V N 不相关时，上式第二项为零，最小二乘估计为无偏估计，{v k }

ˆ) =E (θ) 。 ■ 为零均值独立随机序列时，此条件自然满足。此时，E (θ

3．辨识动态系统数学模型的一般步骤为：

Step1: 确定建模目的，并由工艺和物理/化学过程初步确定模型形式和结构； Step2: 试验设计：包括试验信号设计、采样周期选择、实验数据长度选定、试验方式（离线/在线）等；

Step3: 实际系统试验，采集输入输出数据，并进行数据的预处理； Step4: 模型结构假设，选定阶次范围；

Step5: 选供适用算法进行参数估计，得到一组数学模型； Step6: 模型结构的确定，得到一个数学模型；

Step7: 模型检验；根据检验结果，可能要从Step2到Step6中的任何一步重新做起。 Step8: 若模型检验合格，则得到最终模型。 ■

六、 某系统的动态模型为y k =ay k -1+bu k -1+e k ，假设：系统是稳定的，且{e k }和{u k }都

为零均值广义平稳随机序列。采用辅助变量法进行参数估计，进行L 次量测，且L 充

分大, 试证明：

⎡u 0⎢ ⎢Z L =⎢u k -1

⎢⎢ ⎢⎣u L -1

是一个合适的辅助变量矩阵。

答案：

证明：辅助变量法的计算公式为

u 1⎤

⎥⎥u k ⎥ ⎥ ⎥u L ⎥⎦

ˆ=(Z T Φ) -1Z T Y =(Z T Φ) -1θIV L L L L L L

根据题义有

1L 1T

Z L Y L L

⎡u u k -1T

Z L ΦL =⎢0

⎣u 1 u k

u 0⎤⎡y 0

⎡L ⎢ ⎥ ⎥⎢∑y i -1u i -1

⎢ u L -1⎤

⎢y k -1u k -1⎥=⎢i =1⎥ u L ⎦⎢⎥⎢L

⎥⎢∑y i -1u i

⎢

⎣i =1

⎢⎥y u ⎣L -1L -1⎦

⎤

u u ∑i -1i -1⎥i =1

⎥

L

⎥u u ∑i i -1⎥i =1⎦

L

⎛⎡y 1⎤⎫L

⎢ ⎥⎪⎡y u ⎤

∑ ⎡u u u L -1⎤⎢⎥⎪⎢i =1i i -1⎥0k -1T ⎥ ⎢y k ⎥⎪=⎢L Z L Y L = ⎢⎥

⎣u 1 u k u L ⎦⎢⎥⎪⎢⎥

y u ⎢⎥⎪⎢∑i i ⎥

⎦ ⎪⎣i =1⎢⎥y ⎣L ⎦⎭⎝

当对象的输入输出序列都是具有遍历性的平稳随机序列时，则输入信号的自相

关函数和输入输出的互相关函数为

1L

R uu (l )=lim ∑u k-l u k

L →∞L k =1

L

1

R uy (l )=lim ∑u k-l y k

L →∞L k =1

因{v k }、{u k }和{y k }均为是零均值广义平稳随机序列，所以，

⎡R yu (0)R uu (0)⎤1T

lim Z L ΦL =⎢⎥ L →∞L R (1)R (-1) uu ⎣yu ⎦

⎡R yu (-1) ⎤1T

lim Z L Y L =⎢⎥L →∞L ⎣R yu (0)⎦

ˆ⎤⎡R yu (0)R uu (0)⎤⎡R yu (-1) ⎤1⎡R uu (-1) -R uu (0)⎤⎡R yu (-1) ⎤⎡a ˆ⎤lim p ⎢⎥=⎢lim p ⎡=⎢⎥⎢⎥⎥⎢R (0)⎥⎣θIV ⎦=L L →∞→∞ˆR (1)R (-1) R (0)-R (1)R (0)∆b uu yu ⎦⎣yu ⎦⎣yu ⎦⎣yu ⎦⎣⎦⎣yu

-1

1⎡R uu (-1) R yu (-1) -R uu (0)R yu (0)⎤

=⎢⎥ 2

∆⎣-R yu (1)R yu (-1) +R yu (0)⎦

式中，∆=R yu (0)R uu (-1) -R yu (1)R uu (0)

又相关函数

R yu (-1) =E [y k u k-1]=aR yu (0)+bR uu (0)

R yu (0)=E [y k u k ]=aR yu (-1) +bR uu (-1)

可得

⎤⎡a aR yu (0)+bR uu (0)⎤-R uu (0)⎡aR yu (-1) +bR uu (-1) ⎤ˆ⎤1⎡R uu (-1) ⎡ˆ⎤⎡a ⎣⎦⎣⎦⎢⎥lim p ⎢⎥==⎢⎥

N →∞ˆˆ∆⎢-R yu (1)⎡aR yu (0)+bR uu (0)⎤+R yu (0)⎡aR yu (-1) +bR uu (-1) ⎤⎥⎣b ⎣b ⎦⎦⎣⎦⎣⎦⎦⎣

由此可知，Z N 矩阵是一个合适的辅助变量矩阵。 ■

T ˆ七、 在递推最小二乘估计中，新息的表达式为~y k , k -1=y k -ϕk θk -1。

1. 请写出残差的表达式~y k , k

T

2. 证明：~y k , k =~y k , k -1/(1+ϕk P k -1ϕk )

答案：

T ˆ1. ~y k , k =y k -ϕk θk

2. 证明：

T ˆT ˆT ˆ~y k , k =y k -ϕk θk =y k -ϕk (θk -1+K k (y k -ϕk θk -1))

T T

=~y k , k -1-ϕk K k ~y k , k -1=~y k , k -1(1-ϕk K k )

■

T T ~=y (1-ϕP ϕ/(1+ϕP ϕ))

k , k -1

k

k -1

k

k

k -1

k

T

=~y k , k -1/(1+ϕk P k -1ϕk )

八、 请证明：在递推最小二乘估计中K k =P k ϕk 。

证明：在递推最小二乘估计中

T

P k -1ϕk P k -1ϕk ϕk P k -1

， K k =P =P -k k -1T T

1+ϕk P k -1ϕk 1+ϕk P k -1ϕk

T T

P k -1ϕk ϕk P k -1ϕk ϕk P k -1ϕk

P k ϕk =P k -1ϕk -=P ϕ(1-) k -1k T T

1+ϕk P k -1ϕk 1+ϕk P k -1ϕk

=

P k -1ϕk

=K k

T

1+ϕk P k -1ϕk

■

九、 在数据预处理环节，去除数据中的一价趋势项。设系统输出的测量值为

其一价趋势项可用式k =h 0+h 1k 表示。试用最小二乘法确定h 0{y k ; k =1,2,..., L } ，和h 1。

解：令，y k =h 0+h 1k =ϕT θ，其中，ϕT =[1 k ], θT =[h 0 h 1]

对于k =1,2,..., L ，将上式写成批量最小二乘格式

Y L =ΦL θ，其中

⎡1

⎢1ΦL =⎢

⎢ ⎢⎣11⎤⎡y 1⎤

⎢y ⎥

2⎥⎥，Y L =⎢2⎥

⎢ ⎥ ⎥

⎢⎥⎥

L ⎦⎣y L ⎦

应用LS 法

ˆ=(ΦT Φ) -1ΦT Y θL L L L ⎡⎢L ⎢ΦT L ΦL =⎢L ⎢∑k ⎣k =1

⎤k L L (L +1) /2⎤∑⎥⎡L L (L +1) /2⎤k =1⎥=⎡L ⎥=⎢L ⎢L (L +1) /2k 2⎥⎢L (L +1) /2L (L +1)(2L +1) /6⎥∑⎣⎦2⎥k ⎥⎢⎥∑k =1⎣⎦k =1⎦

L

(ΦΦ)

T

L

L

-1

⎡(L +1)(2L +1) /6-(L +1) /2⎤1

=⎥

-(L +1) /21L (L +1)(L -1) /12⎢⎣⎦

⎡L ⎤

y ∑k ⎥⎢k =1T

⎥ ΦL Y L =⎢L

⎢⎥

ky ⎢∑k ⎥⎣k =1⎦

所以

⎡L ⎤

y ⎢∑k ⎥ˆ⎤⎡h (L +1)(2L +1) /6-(L +1) /2⎡⎤1k =10ˆ=⎢⎥=⎢⎥ θ⎢⎥L ˆ1⎦⎢ky ⎥⎢⎣h 1⎥⎦L (L +1)(L -1) /12⎣-(L +1) /2

⎢∑k ⎥⎣k =1⎦

2(2L +1) ∑y k -6∑ky k

k =1

k =1

L

L

ˆ=h 0

L (L -1)

12∑ky k -6(L +1) ∑y k

k =1

k =1

L

L

ˆ=h 1

L (L -1)(L +1)

*ˆ-h ˆk , k =1,2,... L 则去除数据中的一价趋势项的操作：y k =y k -k =y k -h 01

■

十、 考虑一个SISO 闭环系统如图所示，其中u k 和y k 分别为前向通道过程输入和输出量，

{e k }为白噪声扰动序列，过程参数多项式A (z -1) 、B (z -1) 、C (z -1) 和已知的调节器

参数多项式P (z -1) 、Q (z -1) 分别表示为：

A (z -1) =1+a 1z -1+. +a n a z -n a

B (z -1) =b 0+b 1z -1+. +b n b z -n b , n a >n b C (z -1) =1+c 1z -1+. +c n c z -n c , n c ≥1

P (z -1) =1+p 1z -1+. +p n p z

-n p

Q (z -1) =q 0+q 1z -1+. +q n q z

-n q

试证明：过程参数多项式可辨识的条件是使调节器参数多项式的阶次满足 n p ≥n b +1 或 n q ≥n a +1-d

答案：

证明：由题义可知过程对象的数学模型为

A (z -1) y k =z -d B (z -1) u k +C (z -1) e k

由w k 到y k的闭环系统方程为

[A (z

令

-1

) P (z -1) +z -d B (z -1) Q (z -1) y k =z -d P (z -1) B (z -1) w k

]

T (z -1) =A (z -1) P (z -1) +z -d B (z -1) Q (z -1) =1+t 1z -1+ +t n t z -n t （9-1）

S (z -1) =z -d P (z -1) B (z -1) =s 0+s 1z -1+ +s n s z -n s

显然有，n t =max n a +n p , 则闭环系统方程可以写为

[

n b +n q +d ，n t =n b +n q

]

T (z -1) y k =S (z -1) w k -d

亦可进一步写成最小二乘格式

T

y k =ϕk θ

其中，ϕk =-y k -1

T

θT

[=[t

-y k -n t ; w k -d w k -d -n s

]

1

t n t ; s 0 s n s

]

采用相应的最小二乘类型参数估计算法，可以估计得到θˆ。应估计的主要的过程参数多项式A (z ) 、B (z ) 的参数个数为l =n a +n b +1，需要根据已知的调节器参数多项式P (z -1) 、Q (z -1) ，用估计得到的θˆ，从方程（9-1）中解出。方程（9-1）两边z 同次幂系数比较即可得到线性方程组，从而解出过程参数的估计

-1

-1-1

ˆ(z -1) 和B ˆ(z -1) ，有唯一解的必要条件为： 值A

n t =max n a +n p , n b +n q +d ≥n a +n b +1

其等价条件为n p ≥n b +1或n q ≥n a +1-d ，命题得证。 ■

十一、 考虑一个SISO 闭环系统如图所示, 其中u k 和y k 分别为前向通道被控对象的输入和

输出量，{e k }为白噪声扰动序列。试讨论以下两种情况的被控对象模型参数的可辨识性和辨识结果。

[]

1．控制器为：F (z -1) =-f 0-f 1z -1,

f 0≠0, f 1≠0

-1

2．控制器为：F 0(z -1) =-f 0和F 1(z ) =-f 1两个控制器切换，f 0≠f 1≠0

答案：被控对象的结构参数：n a =2, n b =0, n c =1, d =2

1．F (z -1) =-f 0-f 1z -1时，u k =-f 0y k -f 1y k -1 ，n q =1, n p =0

n q =1=n a +1-d

∴该闭环系统可以辨识。

闭环系统方程为：

T

y k =-a 1y k -1-a 2y k -2-b 0f 0y k -2-b 0f 1y k -3+e k +c 1e k =ϕk θ+e k

其中，

T ϕk =[-y k -1, -y k -2, -y k -3, e k -1]

θT =[α1, α2, α3, α4]，α1=a 1, α2=b 0f 0+a 2, α3=b 0f 1, α4=c 1

根据题意，采用增广最小二乘法对闭环系统参数进行估计，可得：

ˆT =[αˆ1, αˆ2, αˆ3, αˆ4] θ

从而可以解出前向通道被控系统参数的估计值为：

ˆf =αˆ=αˆ1, a ˆ2-b ˆ2-αˆ3f 0/f 1, b ˆ3/f 1, c ˆ4 ˆ1=αˆ2=αˆ1=αa 000

2. 由于是两个不同的控制器切换，故存在闭环系统可辨识性。 （1）u k =-f 0y k 时， 闭环系统方程为：

T y k =-a 1y k -1-a 2y k -2-b 0f 0y k -2+e k +c 1e k =ϕk θ+e k

其中，

ϕT

k =[-y k -1, -y k -2, e k -1]

θT =[α1, α2, α3]，α1=a 1, α2=b 0f 0+a 2, α3=c 1

根据题意，采用增广最小二乘法对闭环系统参数进行估计，可得：

θˆT =[αˆ1, αˆ2, αˆ3]

从而可以解出：

a ˆ1=αˆ1, a ˆ2=αˆ2-b ˆ0f 0, c ˆ1=αˆ3

其中a ˆ2和b ˆ0关联，无法直接解出。

（2）u k =-f 1y k 时， 闭环系统方程为：

y -a b T

k =1y k -1-a 2y k -2-0f 1y k -2+e k +c 1e k =ϕk θ+e k

其中，

ϕT

k =[-y k -1, -y k -2, e k -1]

θT =[β1, β2, β3]，β1=a 1, β2=b 0f 1+a 2, β3=c 1

根据题意，采用增广最小二乘法对闭环系统参数进行估计，可得：

θˆT =⎡⎣βˆ1, βˆ2, βˆ3⎤⎦

从而可以解出：

a ˆ1=βˆ1, a ˆ2=βˆ2-b ˆ0f 1, c ˆ1=βˆ3

⎧

⎧ˆ2=αˆb b ˆ=αˆ2-βˆ2

联立 ⎪⎨a 2-ˆ0f ⎪0

0， 可得⎪f 0-f 1

⎪⎩a ˆ2=βˆ2-b ˆ ⎨

0f 1⎪ˆ

⎪2-βˆ

2

⎩a ˆ2=βˆ2-αf f f 1

0-1

11 ■