初三二次函数知识点

第2章 二次函数

2.1 二次函数

我们把形如y=ax2＋bx ＋c （其中a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。 2.2 二次函数的图象

二次函数y=x2的图象是一条关于y 轴对称，过坐标原点并向上伸展的曲线，像这样的曲线通常叫做抛物线（parabola ）。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。

一般地，二次函数y=ax2（a ≠0）的图象具有以下特点：

二次函数y=ax2（a ≠0）的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称，顶点是坐标原点。当a >0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a

2

一般地，二次函数y=a（x ＋m ）（a ≠0）的图象与函数y=ax2（a ≠0）的图象只是位置不同，它可由y=ax2

（a ≠0）的图象向右（当m 0）平移|m|个单位得到。函数y=a（x ＋m ）2（a ≠0）的图象的顶点坐标是（－m ，0），对称轴是直线x=－m 。顶点在图象上的位置特征、图象的开口方向与函数y=ax2（a ≠0）的图象相同。

一般地，二次函数y=a（x ＋m ）2＋k （a ≠0）的图象，可以由函数y=ax2（a ≠0）的图象先向右（当m 0）平移|m|个单位，再向上（当k >0）或向下（当k

b

对于二次函数的一般形式y=ax2＋bx ＋c （a ≠0），我们通过变形，可以将其转化为y=a（x ）2＋

2a 4ac －b 2

（a ≠0）。由此可见，函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）的图象与函数y=ax2（a ≠0）的图象的形状、开口方4a 向均相同，只是位置不同，可以通过平移y=ax2的图象得到。

一般地，函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）的图象有以下性质：

b b

二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=，顶点坐标是（－ ，

2a 2a 4ac －b 2

）。当a >0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a

2.3 二次函数的性质

2

2.4 二次函数的应用

运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。值得注意的是，由此求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。

我们知道，二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴的交点的横坐标x 1，x 2就是一元二次方程ax 2

＋bx ＋c=0（a ≠0）的两个根。因此我们可以通过解方程ax 2＋bx ＋c=0来求抛物线y=ax2＋bx ＋c 与x 轴交点的坐标；反过来，也可以由y=ax2＋bx ＋c 的图象来求一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的解。