推荐初中数学竞赛精品标准教程及练习24:连续正整数的性质
初 中数学竞赛精品标准教程及练习(24)
连续正整数的性质
一、内容提要
一. 两个连续正整数
1. 两个连续正整数一 定是互质的,其商是既约分数。
2. 两个连续正整数的积是偶数,且个位数只能是0,2,6。
3. 两个连续正整数的和是奇数,差是1。
4. 大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3=1+2,79=39+40, 111=55+56。
二. 计算连续正整数的个数
例如:不同的五位数有几个?这是计算连续正整数从10000到99999的个数,它是 99999-10000+1=90000(个)
1. n位数的个数一般可表示为 9×10n-1(n为正整数,100=1)
例如一位正整数从1到9共9个(9×100),
二位数从10到99共90个 (9×101)
三位数从100到999共900个(9×102)……
2. 连续正整数从n 到m 的个 数是 m -n+1
把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的连续数的个数的计算,举例如下:
3. 从13到49的连续奇数的个数是
4. 49-13+1=19248-14从13到49的连续偶数的个数是+1=18248-15从13到49能被3整除的正整数的个数是+1=123
49-13从13到49的正整数中除以3余1的个数是+1=133
你能从中找到计算规律吗?
三. 计算连续正整数的和
1. n (n 是正整数)2
b -a +1 连续正整数从a 到b 的和 记作(a+b)21+2+3+……+n =(1+n )
把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的和,举例如下:2. 11+13+15+…+55=(11+55)×
个)2355-11=759 (∵从11到55有奇数+1=2322
15=480 (∵从11到53正整数中除以3余2的23. 11+14+17+…+53=(11+53)×
数的个数共53-11+1=15)3
四. 计算由连续正整数连写的整数,各数位上的数字和
123456789各数位上的数字和是(0+9)+(1+8)+…+(4+5)
=9×5=451.
1234…99100计算各数位上的数字和可分组为:(0,99),(1,98),
(2,97)…(48,51),(49,50)共有50个18,加上100中的1
∴各数位上的数字和是18×50+1=901
五. 连续正整数的积
从1开始的n 个正整数的积1×2×3×…×n 记作n !,读作n 的阶乘
n 个连续正整数的积能被n !整除,
如11×12×13能被1×2×3整除;97×98×99×100能被4!整除;
a (a+1)(a+2)…(a+n)能被(n+1)!整除。
n !含某因质数的个数。举例如下:
1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个
其中2,4,6,8,10都含质因数2 暂各计1个,共5个
其中4=22 含两个质因数2 增加了1个
其中8=23 含三个质因数2 再增加2个
1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法
5,10,15,…125,130 均含质因数5 暂各计1个,共26个
其中25,50,75,100均含52有两个5 各加1个, 共4个
其中125=53含三个5 再增加2个
∴积中含质因数5的个数是32
二、例题
例1. 写出和等于100的连续正整数
解:∵100=2×50=4×25=5×20=10×10
其中2个50和10个10都不能写成连续正整数
而4个25:12+13,11+14,10+15,9+16
得第一组连续正整数9,10,11,12,13,14,15,16。
5个20可由20,19+21,18+22
得第二组连续正整数18,19,20,21,22。
例2. 一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码?
解:页数编码中,一位数1到9共9个
两位数10-99,共90个,用数码90×2=180个
三位数100-999,共900个,用数码900×3=2700个
四位数1000-1990,共991个,用数码991×4=3964个
∴共用数码9+180+2700+3964=6853
例3. 用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数:
1234……99100。问:
①它是一个几位数?
②它的各位上的数字和是多少?
③ 如果从这个数中划去100个数字,使剩下的数尽可能地大,那么剩下的数的前十位
数是多少?
解: ①这个数的位数=9×1+90×2+3=192
②各位上的数字和=18×50+1=901(见上页第四点)
③划去100个数,从最高位开始并留下所有的9:
包括1――8,10――18,19中的1,20――28,29中的2,……,50到56这里共有8+19+19+19+19+14=98个,再划去57,58中的两个5,
剩下的数的前十位是9999978596。 2. 1. 2. ①②
例4. 算术平方根的整数部分等于11的连续正整数共有几个? 解:∵=11,=12
∴算术平方根的整数部分等于11的正整数x 是112≤x
; ∴符合条件的连续正整数是121,122,123,…,143。共23个。
例5. 已知两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位数的2倍, 求这两个连续正
整数。
解:设连续正整数为x,x+1,相同数码的三位数为100a+10a+a
根据题意,得x(x+1)=2(100a+10a+a) 即x(x+1)=222a (1)
把222分解质因数得 x(x+1)=2×3×37a (2)
∵连续正整数的积的个位数只能是0,2,6 且0<a ≤9
由(1)可知a 可能是1,3,5,6,8 分别代入(2)只有6适合
x(x+1)=36×37
答所求的连续正整数是36和37
三、练习24
1. 除以3余2的两位数共有___个,三位数有____个,n 位数有____个。
2. 从50到1000的正整数中有奇数___个,3的倍数___个。
3. 由连续正整数连写的正整数123…9991000是_____位数,它的各位上的数字和是
_____。
4. 把由1开始的正整数 依次写下去,直写到第198位为止,123
198位
那么这个数的末三位数是______,这个数的各位上的数字和是_____
这个数除以9的余数是_____
5. 已知a=111 11, b=999 99
1990个11990个9
那么①ab=______________
②ab 的各位上的数字和是___________(可用经验归纳法)
6. 计算连续正整数的平方和的个位数:
① 12+22+32+……+92和的个位数是_______
② 12+22+32+……+192和的个位数是______
③ 12+22+32+……+292和的个位数是______
④ 12+22+32+……+392和的个位数是______
⑤ 12+22+32+……+1234567892和的个位数是______
7. 写出所有和能等于120的连续正整数(仿例1) 它们共有三组:
____________,_________________,_____________________。
8. 连续正整数的积1×2×3×4×…×100
这积中含质因数5的个数有____,积的末尾的零连续____个。
9. 恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同这个相同的整数 是多少
10. . 设a,b,c 是三个连续正整数且a 2=14884,c2=15376,那么b 2是( )
(A)15116 (B)15129 (C)15144 (D)15376
11. 计算:① 2+4+6+…+100=
②1+4+7+10+…+100=
③ +10+15+…+100=
12. 有11个正整数都是小于20,那么其中必有两个是互质数,这是为什么?
如果有(n+1)个正整数,它们都小于2n ,那么必有两个是互质数,试说明理由。
13. 一串数1,4,7,10,…,697,700的规律是第一个数是1,以后的每一个数等于它
前面的一个数加,直到700为止。将这些数相乘,试求所得的积的尾部的零的个数。提 示:先求积中含质因数5的个数
练习24参考答案:
1. 30,300,3×10 n-1 2. 475个,317个
3. 2893,13501 4. 102,906,6
5. ①111 10888 89 ②1990×9 6. 5,0,5,0,5
1989个1989个
7. 39,40,41;22,23,24,25,26;1,2,3……15
8. 24,24 9. 17 10. (B ) 11. ①2550,②1717,③1050
12. ∵小于20的正整数中有10个奇数,与奇数连续的正偶数,它们必互质,把互质数放在同一个抽屉,设有10抽屉,11个正整数放入其中,至少有一个抽屉里放有两个。 这一串数是除以3余1的正整数,我们来计算含质因数5的个数:
能被5整除且除以3余1的正整数是10,25,40,……700,先各算1个
能被52整除且除以3余1的正整数是25,100,175,…700,各多算1个
能被53整除且除以3余1的正整数是250,625, 再各加1个,
能被54整除且除以3余1的正整数是625,再加1个,共含有60个5
答积的尾部共有零 60个 (上述可用式子表示:
5k -125k -1125k -1625k -1,,,的整数值) 3333
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