AA 根的判别式

1、(2016•枣庄) 若关于x 的一元二次方程x 2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是( )

【考点】根的判别式；一次函数的图象．

【分析】根据一元二次方程x 2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb 的符号，对各个图象进行判断即可．

【解答】解：∵x 2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，

∴△=4-4(kb+1)＞0，

解得kb ＜0，

A ．k ＞0，b ＞0，即kb ＞0，故A 不正确；

B ．k ＞0，b ＜0，即kb ＜0，故B 正确；

C ．k ＜0，b ＜0，即kb ＞0，故C 不正确；

D ．k ＜0，b=0，即kb=0，故D 不正确；

故选：B ．

【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1) △＞0 方程有两个不相等的实数根；(2) △=0 方程有两个相等的实数根；(3) △＜0 方程没有实数根.

2、(2016•桂林) 若关于x 的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )

A ．k ＜5 B．k ＜5，且k ≠1 C．k ≤5，且k ≠1 D．k ＞5

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．

【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．

【解答】解：∵关于x 的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，

k -1≠0k -1≠0{{ >0∴，即4-4(k -1) >0， 2

解得：k ＜5且k ≠1．

故选B ．

【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于k 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键．

3、(2016•丽水) 下列一元二次方程没有实数根的是( )

A ．x 2+2x+1=0 B．x 2+x+2=0 C．x 2-1=0 D．x 2-2x-1=0

【考点】根的判别式．

【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．

【解答】解：A 、△=22-4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；

B 、△=12-4×1×2=-7＜0，方程没有实数根，此选项正确；

C 、△=0-4×1×(-1)=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；

D 、△=(-2)2-4×1×(-1)=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；

故选：B ．

【点评】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1) △＞0 方程有两个不相等的实数根；(2) △=0 方程有两个相等的实数根；

(3) △＜0 方程没有实数根．

4、(2016•昆明) 一元二次方程x 2-4x+4=0的根的情况是( )

A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根

C ．无实数根 D ．无法确定

【考点】根的判别式．

【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．

【解答】解：在方程x 2-4x+4=0中，

△=(-4)2-4×1×4=0，

∴该方程有两个相等的实数根．

故选B ．

【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出△=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键.

5、(2016•河北)a ，b ，c 为常数，且(a-c)2＞a 2+c2，则关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况是( )

A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根

C ．无实数根 D ．有一根为0

【考点】根的判别式．

【分析】利用完全平方的展开式将(a-c)2展开，即可得出ac ＜0，再结合方程ax 2+bx+c=0根的判别式△=b2-4ac ，即可得出△＞0，由此即可得出结论．

【解答】解：∵(a-c)2=a2+c2-2ac ＞a 2+c2，

∴ac ＜0．

在方程ax 2+bx+c=0中，

△=b2-4ac ≥-4ac ＞0，

∴方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．

故选B ．

【点评】本题考查了完全平方公式以及根的判别式，解题的关键是找出△=b2-4ac ＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号，得出方程实数根的个数是关键.

6、(2016•葫芦岛) 下列一元二次方程中有两个相等实数根的是( )

A ．2x 2-6x+1=0 B．3x 2-x-5=0 C．x 2+x=0 D．x 2-4x+4=0

【考点】根的判别式．

【分析】由根的判别式为△=b2-4ac ，挨个计算四个选项中的△值，由此即可得出结论．

【解答】解：A 、∵△=b2-4ac=(-6)2-4×2×1=28＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根；

B 、∵△=b2-4ac=(-1)2-4×3×(-5)=61＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根；

C 、∵△=b2-4ac=12-4×1×0=1＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根；

D 、∵△=b2-4ac=(-4)2-4×1×4=0，

∴该方程有两个相等的实数根．

故选D ．

【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根的判别式的正负判定实数根的个数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负，得出方程解得情况是关键．

7、(2016·营口) 若关于x 的一元二次方程kx 2+2x-1=0有实数根，则实数k 的取值范围是( )

A ．k ≥-1 B ．k ＞-1 C ．k ≥-1且k ≠0 D ．k ＞-1且k ≠0

【考点】根的判别式．

【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k 的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．

【解答】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x-1=0有实数根，

∴△=b2-4ac ≥0，

即：4+4k≥0，

解得：k ≥-1，

∵关于x 的一元二次方程kx 2-2x+1=0中k ≠0，

故选：C ．

【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况

8、(2016·邵阳) 一元二次方程2x 2-3x+1=0的根的情况是( )

A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根

C ．只有一个实数根 D ．没有实数根

【考点】根的判别式．

【分析】代入数据求出根的判别式△=b2-4ac 的值，根据△的正负即可得出结论．

【解答】解：∵△=b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根．

故选B ．

【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是求出根的判别式△=1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键．

9、(2016·衡阳) 关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有两个相等的实根，则k 的值为( )

A ．k=-4 B ．k=4 C ．k ≥-4 D ．k ≥4

【考点】根的判别式．

【分析】根据判别式的意义得到△=42-4k=0，然后解一次方程即可．

【解答】解：∵一元二次方程x 2+4x+k=0有两个相等的实根，

∴△=42-4k=0，

解得：k=4，

故选：B ．

【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式△=b2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

10、(2016·福州) 下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax 2-4x+c=0一定有实数根的是( )

A ．a ＞0 B．a=0 C．c ＞0 D．c=0

【考点】根的判别式．

【分析】根据方程有实数根可得ac ≤4，且a ≠0，对每个选项逐一判断即可．

【解答】解：∵一元二次方程有实数根，

∴△=(-4)2-4ac=16-4ac≥0，且a ≠0，

∴ac ≤4，且a ≠0；

A 、若a ＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；

B 、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误；

C 、若c ＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；

D 、若c=0，则ac=0≤4，此选项正确；

故选：D ．

【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1) △＞0方程有两个不相等的实数根；(2) △=0 方程有两个相等的实数根；(3) △＜0 方程没有实数根．

11、(2016·莆田) 关于x 的一元二次方程x 2+ax-1=0的根的情况是( )

A ．没有实数根 B ．只有一个实数根

C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根

【考点】根的判别式．

【分析】先计算判别式的值，然后非负数的性质和判别式的意义判断方程根的情况．

【解答】解：∵△=a2+4＞0，

∴，方程有两个不相等的两个实数根．

故选D ．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 的根与△=b2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

12、(2016·怀化) 一元二次方程x 2-x-1=0的根的情况为( )

A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根

C ．只有一个实数根 D ．没有实数根

【考点】根的判别式．

【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．

【解答】解：∵a=1，b=-1，c=-1，

∴△=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-1)=5＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选：A ．

【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 的根与△的关系是解答此题的关键.

13、(2016·舟山) 一元二次方程2x 2-3x+1=0根的情况是( )

A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根

C ．只有一个实数根 D ．没有实数根

【考点】根的判别式．

【分析】先求出△的值，再根据△＞0 方程有两个不相等的实数根；△=0 方程有两个相等的实数；△＜0 方程没有实数根，进行判断即可．

【解答】解：∵a=2，b=-3，c=1，

∴△=b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根，

故选：A ．

【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1) △＞0 方程有两个不相等的实数根；(2) △=0 方程有两个相等的实数；(3) △＜0 方程没有实数根．

14、(2016·泸州) 若关于x 的一元二次方程x 2+2(k-1)x+k2-1=0有实数根，则k 的取值范围是( )

A ．k ≥1 B ．k ＞1 C ．k ＜1 D ．k ≤1

【考点】根的判别式．

【分析】直接利用根的判别式进而分析得出k 的取值范围．

【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+2(k-1)x+k2-1=0有实数根，

∴△=b2-4ac=4(k-1)2-4(k2-1)=-8k+8≥0，

解得：k ≤1．

故选：D ．

【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出关于k 的等式是解题关键．

15、(2016·黔南州

) y =+1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2+2x+1=0的根的情况为( )

A ．没有实数根 B ．有一个实数根

C ．有两个不相等的实数根 D ．有两个相等的实数根

【考点】根的判别式；一次函数的定义．

【分析】由一次函数的定义可求得k 的取值范围，再根据一元二次方程的判别式可求得答案．

【解答】解：

∵y =+1是关于x 的一次函数，

0，

∴k-1＞0，解得k ＞1，

又一元二次方程kx 2+2x+1=0的判别式△=4-4k，

∴△＜0，

∴一元二次方程kx 2+2x+1=0无实数根，

故选A ．

【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，即①△＞0 一元二次方程有两个不相等的实数根，②△=0 一元二次方程有两个相等的实数根，③△＜0 一元二次方程无实数根

16、(2016·漳州) 下列方程中，没有实数根的是( )

2=12x +1A ．2x+3=0 B ．x -1=0 C ． D ．x 2+x+1=0

【考点】根的判别式；解一元一次方程；解分式方程．

【分析】A 、解一元一次方程可得出一个解，从而得知A 中方程有一个实数根；B 、根据根的判别式△=4＞0，可得出B 中方程有两个不等实数根；C 、解分式方程得出x 的值，通过验证得知该解成立，由此得出C 中方程有一个实数根；D 、根据根的判别式△=-3＜0，可得出D 中方程没有实数根．由此即可得出结论．

3

【解答】解：A 、2x+3=0，解得：x=2， -

∴A 中方程有一个实数根；

B 、在x 2-1=0中，△=02-4×1×(-1)=4＞0，

∴B 中方程有两个不相等的实数根；

2=1

C 、x +1，即x+1=2，

解得：x=1，

2=1

经检验x=1是分式方程x +1的解，

∴C 中方程有一个实数根；

D 、在x 2+x+1=0中，△=12-4×1×1=-3＜0，

∴D 中方程没有实数根．

故选D ．

【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及解分式方程，解题的关键是逐项分析四个选项中方程解的个数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号判断根的个数是关键．

17、(2016·潍坊) 关于x 的一元二次方程x 2

-

等于( )

A ．15° B．30° C．45° D．60°

【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值． 有两个相等的实数根，则锐角α

1

【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出sinα= 2，再由α为锐角，即可得出结论．

【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2

有两个相等的实数根，

∴△=(

2-4sinα=2-4sinα=0，

1

解得：sinα=2，

∵α为锐角，

∴α=30°．

故选B ．

1

【点评】本题考查了根的判别式以及特殊角的三角形函数值，解题的关键是求出sinα= 2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程(不等式或不等式组) 是关键．

18、(2016·南平) 下列一元二次方程中，没有实数根的是( )

．A x 2-2x-3=0 B ．x 2-x+1=0 C ．x 2+2x+1=0 D ．x 2=1

【考点】根的判别式．

【分析】分别找出一元二次方程中的二次项系数a ，一次项系数b 、常数项c ，再利用一元二次方程根的判别式(△=b2-4ac) 判断方程的根的情况．

【解答】解：A 、a=1，b=-2，c=-3，b 2-4ac=4+12=16＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误；

B 、a=1，b=-1，c=1，b 2-4ac=1-4=-3＜0，没有实数根，故此选项正确；

C 、a=1，b=2，c=1，b 2-4ac=4-4=0，有两个相等的实数根，故此选项错误；

D 、a=1，b=0，c=-1，b 2-4ac=4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误；

故选：B ．

【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 的根与△=b2-4ac 有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

19、 (2016·泰安) 一元二次方程(x+1)2-2(x-1)2=7的根的情况是( )

A ．无实数根 B ．有一正根一负根

C ．有两个正根 D ．有两个负根

【考点】根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；根与系数的关系；抛物线与x 轴的交点．

【分析】直接去括号，进而合并同类项，求出方程的根即可．

【解答】解：∵(x+1)2-2(x-1)2=7，

∴x 2+2x+1-2(x2-2x+1)=7，

整理得：-x 2+6x-8=0，

则x 2-6x+8=0，

(x-4)(x-2)=0，

解得：x 1=4，x 2=2，

故方程有两个正根．

故选：C ．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确利用完全平方公式计算是解题关键．

20、(2016·自贡) 已知关于x 的一元二次方程x 2+2x-(m-2)=0有实数根，则m 的取值范围是

( )

A ．m ＞1 B ．m ＜1 C ．m ≥1 D ．m ≤1

【考点】根的判别式．

【专题】探究型．

【分析】根据关于x 的一元二次方程x 2+2x-(m-2)=0有实数根，可知△≥0，从而可以求得m 的取值范围．

【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+2x-(m-2)=0有实数根，

∴△=b2-4ac=22-4×1×[-(m-2)]≥0，

解得m ≥1，

故选C ．

【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，△≥0.

21、(2016·济南) 若关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )

A ．k ＜1 B ．k ≤1 C ．k ＞-1 D ．k ＞1

【考点】根的判别式．

【专题】计算题；推理填空题．

【分析】当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，据此求出k 的取值范围即可．

【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0有两个不相等的实数根，

∴(-2)2-4×1×k ＞0，

∴4-4k ＞0，

解得k ＜1，

∴k 的取值范围是：k ＜1．

故选：A ．

【点评】此题主要考查了利用一元二次方程根的判别式(△=b2-4ac) 判断方程的根的情况，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根．

22、(2016·兰州) 一元二次方程x 2+2x+1=0的根的情况( )

A ．有一个实数根 B ．有两个相等的实数根

C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根

【考点】根的判别式．

【分析】先求出△的值，再根据△＞0 方程有两个不相等的实数根；△=0 方程有两个相等的实数；△＜0 方程没有实数根，进行判断即可．

【解答】解：∵△=22-4×1×1=0，

∴一元二次方程x 2+2x+1=0有两个相等的实数根；

故选B ．

【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1) △＞0 方程有两个不相等的实数根；

(2) △=0 方程有两个相等的实数根；

23、(2016·钦州) 若关于x 的一元二次方程x 2-6x+a=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )

A ．a ≤9 B ．a ≥9 C ．a ＜9 D ．a ＞9

【考点】根的判别式．

【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可得到a 的范围．

【解答】解：根据题意得：△=(-6)2-4a ＞0，即36-4a ＞0，

解得：a ＜9，

则a 的范围是a ＜9．

故选：C ．

【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键

24、(2016·通辽) 若关于x 的一元二次方程x 2-2x-k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx-k的大致图象是( )

【考点】根的判别式；一次函数的图象．

【分析】首先根据一元二次方程有两个不相等的实数根确定k 的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．

【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2-2x-k+1=0有两个不相等的实数根，

∴(-2)2-4(-k+1)＞0，

即k ＞0，

∴-k ＜0，

∴一次函数y=kx-k的图象位于一、三、四象限，

故选B ．

【点评】本题考查了根的判别式及一次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k 的取值范围，难度不大．