利用向量计算多面体体积

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2008N O . 14

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利用向量计算多面体体积

程良炎

(黄石理工学院数理学院

余敏

湖北黄石

435003)

摘要:数学上一个任意凸多面体的体积还没有一个一般的计算公式, 本文通过对几种特别的多面体进行巧妙地分解为若干个四面体, 得出了一个计算多棱锥的体积公式, 并由此推导出了凸多面体的体积计算公式, 使得多棱锥和凸多面体的体积计算变得更为简捷。关键词:棱锥凸多面体哈密尔顿通路中图分类号:O1文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2008) 05(b) -0229-01为了计算多面体体积, 先求四面体体积, 同济大学应用数学系主编《高等数学》(第五版上册第309页例7) 给出了计算四面体体积的公式, 即对于不在同一平面上的四个点:、、、

, 四面体ABCD 的体积。

为

z 4) 、

、…、M n-1(xn-1,y n-1,z n -1) 作连线,

为光源将折面∑投影到某一平面上(凸多面

体必须在该平面的一侧) , 其投影图形就是与折面∑同构的图形, 记为G=(V,E)(V 为顶点集, E 为边集) , 因为G 为连通图, 顶点的

[1]

最小度数为2, 由知G 为哈密尔顿图, 从中可选出一条哈密尔顿通路, 记为, 再作出图形面与点

这样就将底面拆分成了n-3个三角形, 再以点

为顶点, 分别以这n-3个三角形为底面作n-3个四面体,

它们的体积之和为

的关联矩阵

上式中符号的选择必须和行列式的符号一致。

为了去掉上面公式中的正负号, 可将四面体的４个顶点按如下方法进行调整, 任取一个顶点记为, 其余三个顶点(以这三个顶点所确定的平面位于点M 1的一侧定为正向) 按逆时针方向分别记为

、、, 这样向量系, 因

而有

符合右手

(２)

, 其次由哈密尔顿通路

的边依次对折面底中的三角形进行编号并分别记为

点关联矩阵的一般元素为

:

面与

即得多棱锥体积公式为:

　　　　　　　

再由关联矩阵找出三角形t i

的

三个顶点, 并按位于点的一侧定为正向, 按逆时针方向

重新将三个顶点记为

:,

，

则有凸多面体的体积的计算公式为:

2计算一般凸多面体的体积。

(1)

下面讨论如何将以下两种多面体拆分成若干个四面体来计算其体积。

设凸多面体有n 个顶点, 任选一个顶点为, 将凸多面体看成类似于“锥体”的立体, 即它以

为顶点, 而

它的“底面”是由k(k>1)个不共面的小平面

构成的折面, 这里每个小平面都

是三角形或由若干个三角形拼成的多边形, 设小平

面

有

个

顶点, 则可将它分解成m i -２个三角形, 若以点为顶点, 分别以为底平面形成的多棱锥可用公式(2) 可计算其体识。但该方法具体做起来很复杂, 原因是找很难, 在计算一般凸多面体的体积时, 我们可根据图论的知识找到了一个简便的方法。即将凸多面体的折面底分解为由若干个三角形拼成, 再以点M 1

(3)

下面例子说明具体做法, 设一个有７个顶点10个面的凸多面体(如下左图) 而由

所确定的折面的同构平面图(如下右图)

。

1计算多棱锥体积

设多棱锥有n 个顶点, 它的顶点依次记为, , , …,

, 除

一个平面上, 则将

外其余的点均在记为多棱锥的

顶点, 它的底面按位于点的一侧定为正向, 底面的各顶点按逆时针方向依次设为, , …, M n (xn , y n ,z n ) , 再从点

依次向点M 4(x4,y 4,

粗线为哈密尔顿通路, 面与点的关联

矩阵为A

则有M il =Mi+l ,M i2=Mi +2,M i3=Mi+3(i=1,2,3,4),

所以

参考文献

[1]同济大学数学教研室. 高等数学(第5版)

[M ]. 北京:高等教育出版社, 2002, 7. [2]耿素云, 屈婉玲, 张立昂. 离散数学[M ]. (第

2版) . 北京:清华大学出版社,

1999, 9.

图1多棱锥体积计算图2一般凸多面体的体积

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