解决排列组合难题二十一种方法

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标

1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2. 掌握解决排列组合问题的常用策略; 能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固

1. 分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，„，在第n 类办法中有m

n 2. 分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，„，做第n 步有m

n 3. 分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1. 认真审题弄清要做什么事

2. 怎样做才能完成所要做的事, 即采取分步还是分类, 或是分步与分类同时进行, 确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题(有序) 还是组合(无序) 问题, 元素总数是多少及取出多少个元素. 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一. 特殊元素和特殊位置优先策略

例1. 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排,

先排末位共有C 3，然后排首位共有C 4

最后排其它位置共有A 4，由分步计数原理得C 4C 3A 4=288

3

1

1

113

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种 法？

二. 相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，

同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有A 5A 2A 2 480种不同的排法

5

2

2

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为

20 三

. 不相邻问题插空策略

例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱, 舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A 5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A 6不同的方法, 由分步计数原理, 节目的不同顺序共有A 5A 6 种

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四. 定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队, 其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法) 对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列, 然后用总排列数除

以这几个元素之间的全排列数, 则共有不同排法种数是：A 7/A 3

(空位法) 设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A 7种方法，其余的三个位置甲乙丙共有共有A 7种方法。

思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

（插入法) 先排甲乙丙三个人, 共有1种排法, 再把其余4四人依次插入共有 方法

4

4

4

5

54

73

练习题:10人身高各不相等, 排成前后排，每排5人, 要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ C 10 五. 重排问题求幂策略

例5. 把6名实习生分配到7个车间实习, 共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法. 把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推, 由分步计数原理共有7种不同的排法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为m 种

练习题：

1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个节目插入原节目单中，

那么不同插法的种数为 42

2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人, 他们到各自的一层下电梯, 下电梯的方法7 六. 环排问题线排策略

例6. 8人围桌而坐, 共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A 4并从此位置把圆形展成直线其余

7人共有（8-1）！种排法即7！

4

5

6

n

8

E

A B C D E F G H A

一般地,n 个不同元素作圆形排列, 共有(n-1)!种排法. 如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有

1m

A n n

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七. 多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排, 每排4人, 其中甲乙在前排, 丙在后排, 共有多少排法

解:8人排前后两排, 相当于8人坐8把椅子, 可以把椅子排成一排. 个特殊元素有A 4种, 再排后4个位置上的特殊元素丙有A 4种, 其余的5人在5个位置上任意排列有A 5种, 则共有A 4A 4A 5种

1

5

2

215

前 排

后 排

一般地, 元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑, 再分段研

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 八. 排列组合混合问题先选后排策略

例8. 有5个不同的小球, 装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球, 共有多少不同的装法.

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C 5种方法. 再把4个元素(包含一个复合元素) 装入4个不同的盒内有A 4种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C 5A 4

解决排列组合混合问题, 先选后排是最基本的指导思想. 此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

练习题：一个班有6名战士, 其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务, 每人完成一种任务, 且正副班长

有且只有1人参加, 则不同的选法有 192 种

九. 小集团问题先整体后局部策略

例9. 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, ５在两个奇数之间, 这样的五位数有多少个？

解：把１, ５, ２, ４当作一个小集团与３排队共有A 2种排法，再排小集团内部共有A 2A 2种排法，由分步计数

2

4

2

24

22

原理共有A 2A 2A 2种排法

小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

222

练习题：

１. 计划展出10幅不同的画, 其中1幅水彩画, ４幅油画, ５幅国画, 排成一行陈列, 要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为A 2A 5A 4 2. 5男生和５女生站成一排照像, 男生相邻, 女生也相邻的排法有A 2A 5A 5种 十. 元素相同问题隔板策略

例10. 有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？

解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔

板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C 9种分法。

6

254

255

一

班二班三班四班六班七班

将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）, 每份至少一个元素, 可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为C n -1

m -1

练习题：

1． 10个相同的球装5个盒中, 每盒至少一有多少装法？ C 9 2 .x +y +z +w =100求这个方程组的自然数解的组数 C 103 十一. 正难则反总体淘汰策略

例11. 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数, 不同的

取法有多少种？

解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难, 可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数, 所取的三个数含有3个偶数的取法有C 5, 只含有1个偶数的取法有C 5C 5, 和为偶数的取法共有C 5C 5+C 5。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有C 5C 5+C 5-9

有些排列组合问题, 正面直接考虑比较复杂, 而它的反面往往比较简捷, 可以先求出

它的反面, 再从整体中淘汰.

1

2

3

3

34

12123

练习题：我们班里有43位同学, 从中任抽5人, 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种? 十二. 平均分组问题除法策略

例12. 6本不同的书平均分成3堆, 每堆2本共有多少分法？

解: 分三步取书得C 6C 4C 2种方法, 但这里出现重复计数的现象, 不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB, 第二步

取

CD,

第

三

步

取

EF

该

分

法

记

为

(AB,CD,EF),

3

222

则

22

C 62C 4C 2

中还有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A 3种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法, 故共有C 6C 4C 2/A 3种分法。

平均分成的组, 不管它们的顺序如何, 都是一种情况, 所以分组后要一定要除以A n (n 为均分的组数) 避免重复计数。

n

2223

练习题：

1 将13个球队分成3组, 一组5个队, 其它两组4个队, 有多少分法？（C 13C 8C 4/A 2） 2.10名学生分成3组, 其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组, 有多少种不同的 分组方法 （1540）

3. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名，则不同的安排方案种数为______（C 4C 2A 6/A 2=90） 十三. 合理分类与分步策略

例13. 在一次演唱会上共10名演员, 其中8人能能唱歌,5人会跳舞, 现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目, 有多少

2

2

2

2

5

4

4

2

选派方法

解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究

只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有C 3C 3种, 只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员C 5C 3C 4种, 只会

唱的5人中只有2人选上唱歌人员有C 5C 5种，由分类计数原理共有 C 3C 3+C 5C 3C 4+C 5C 5种。

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

2

2

1

1

2

2

2

2

22

2

1

1

2

练习题：

1. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34

2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人, 他们任选2只船或3只船, 但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27） 本题还有如下分类标准：

*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准，都可经得到正确结果 十四. 构造模型策略

例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯, 现要关掉其中的3盏, 但不能关掉相邻的2盏或3盏, 也不

能关掉两端的2盏, 求满足条件的关灯方法有多少种？

解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C 5 种

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决

3

练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120） 十五. 实际操作穷举策略

例15. 设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子, 现将5个球投入这五个盒子内, 要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投法

解：从5个球中取出2个与盒子对号有C 5种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5

号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法, 由分步计数原理有2C 5种

2

2

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用

穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果

3号盒 4号盒 5号盒

练习题：

1. 同一寝室4人, 每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)

2. 给图中区域涂色, 要求相邻区 域不同色, 现有4种可选颜色, 则不同的着色方法有 72种 十六. 分解与合成策略

例16. 30030能被多少个不同的偶数整除

分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13

依题意可知偶因数必先取2, 再从其余5个因数中任取若干个组成乘积， 所有的偶因数为：C 5+C 5+C 5+C 5+C 5

练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共C 8-12=58, 每个四面体有

3对异面直线, 正方体中的8个顶点可连成3⨯58=174对异面直线

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略, 把一个复杂问题分解成几个小问题

逐一解决, 然后依据问题分解后的结构, 用分类计数原理和分步计数原理将问题合成, 从而得到问题的答案 , 每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略

4

1

2

3

4

5

13

2

5

4

十七. 化归策略

例17. 25人排成5×5方阵, 现从中选3人, 要求3人不在同一行也不在同一列, 不同的选法有多少种？

解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵, 现从中选3人, 要求3人不在同一行也不在同一列, 有多少选法. 这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后, 把这人所在的行列都划掉，如此继续下去. 从3×3方队中选3人的方法有C 3C 2C 1种。再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题. 从5×5方队

33

中选取3行3列有C 5C 5选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有

33111C 5C 5C 3C 2C 1选法。

1

1

1

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题

B

3

练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A 走到B 的最短路径有多少种？(C 7=35) 十八. 数字排序问题查字典策略

A

例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？

解:N =2A 5+2A 4+A 3+A 2+A 1=297

练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数, 将这些数字从小到大排列起来, 第71

个数是 3140 十九. 树图策略

例19．3人相互传球, 由甲开始发球, 并作为第一次传球, 经过5次传求后, 球仍回到甲的手中, 则不同的传球方式有

______ N =10

练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i 号人不坐i 号椅（i =1, 2, 3, 4, 5）的不同坐法有多少种？N =44 二十. 复杂分类问题表格策略

例20．有红、黄、兰色的球各5只, 分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母, 现从中取5只, 要求各字母均有且三色齐备,

则共有多少种不同的取法 解:

一些复杂的分类选取题, 要满足的条件比较多, 无从入手, 经常出现重复遗漏的情况, 用表格法, 则分类明确, 能保证题中须满足的条件, 能达到好的效

5

4

3

2

1

二十一：住店法策略

解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.

例21. 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .

分析：因同一学生可以同时夺得n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得7种.

小结

本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件, 我们就可以选取不同的技巧来解决问题. 对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。

5