20**年正方形的性质与判定经典例题练习

正方形

第一课时

一、自主学习

● 目标导学

1、理解并掌握正方形的性质。2、通过自学、合作、交流培养自己分析问题解决问题的能力。 ● 自学生疑

1、口述矩形的性质，并用几何语言叙述矩形的性质。

2、口述菱形的性质，并用几何语言叙述菱形的性质。

3、正方形的定义4、正方形的性质

1) 边

2）角

3）对角线

4）对称性

二、合作学习

● 合作探究

【探究一】正方形的定义

1、正方形的定义：

2、正方形与矩形和菱形的关系是

【探究二】正方形的性质

1、归纳正方形的性质：边 角

对角线 对称性

2、用几何语言叙述正方形的性质：

【探究三】正方形的面积

练一练：

1、已知：如图，正方形ABCD 中，CM =CD ，MN ⊥AC ，连结CN ，则∠DCN =_____=____∠B ，∠MND =_______=_______∠

B.

2. 在正方形ABCD 中，AB =12 cm ，对角线AC 、BD 相交于O ，则△ABO 的周长是（ ）A.12+122 B.12+62 C.12+2 D.24+6

3、下面的命题是真命题的有 。

A 、有一组邻边相等的平行四边形是正方形。B 、有一组邻边相等且有一角为直角的四边形为正方形。C 、正方形是一组邻边相等的矩形。D 、正方形是有一个角为直角的菱形。

精讲精练

例1、在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE=CA,连接AE 交CD 于F ，求 AFD 的度数。

变式：1、已知如下图，正方形ABCD 中，E 是CD 边上的一点，F 为BC 延长线上一点，CE =CF .

(1)求证：△BEC ≌△DFC ；(2)若∠BEC =60°，求∠EFD 的度数.

例2：如图，E 为正方形ABCD 的BC 边上的一点，CG 平分∠DCF ，连结AE ，并在CG 上取一点G ，使EG =AE . 求证：AE ⊥EG

.

例3、P 为正方形ABCD 内一点，PA =1，PB =2，PC =3，求∠APB 的度数

.

例4、（海南省）如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），

点E 在射线BC 上，且PE=PB.

（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；

（2）设AP =x , △PBE 的面积为y . 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； D

B

E

三、用中学习

1、如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作等边三角形ABE ，CE 与DB 相交于点F ，则 AFD = 。

2、（哈尔滨）若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE=3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF=AE，则BM 的长为 。

3. 正方形的面积是1，则其对角线长是________. 3

4. E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 的度数

.

5、如图，正方形ABCD 与正方形OMNP 的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP 绕O 点旋转，证明：无论正方形OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．

6、（2008义乌）如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合) ，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针) 方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立, 并选取图2证明你的判断．

7、（大连）（1）如图，已知正方形ABCD 和正方形CGEF （CG>BC），B 、C 、G 在同一直线上，M 为线段AE 的中点。探究：线段MD 、MF 的关系。

（2）若将正方形CGEF 绕点C 逆时针旋转45 ，使得正方形CGEF 对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点。试问：（1）中探究的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

第二课时

一、自主学习

● 目标导学

1、理解并掌握正方形的判定方法。2、通过合作、探究、交流培养自己分析问题和解决问题的能力。

● 自学生疑

1、判定四边形为矩形的方法：（1）

（2）

（3）

2、判定四边形为菱形的方法：（1）

（2）

（3）

二、合作学习

● 合作探究

根据正方形的定义如何判定一个四边形为正方形？

练一练： 1．不能判定四边形是正方形的是（ ）

A ．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的矩形

C ．对角线相等的菱形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形

2、（绵阳）四边形ABCD 的对角线相交于点O ，能判定它是正方形的条件是（

）

A ．AB=BC=CD=DA B．AO=CO，BO=DO，AC ⊥BD

C ．AC=BD，AC ⊥BD 且AC 、BD 互相平分 D．AB=BC，CD=DA

3、如图，已知四边形ABCD 是菱形，则只须补充条件：以判定四边形ABCD 是正方形．

● 精讲精练

例1、已知Rt ABC 中，∠C =90︒，CD 平分∠ACB , 交AB 于D ，DF//BC,DE//AC，求证：四边形DECF 为正方形。

例2、E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，EF ⊥CD , EG ⊥AD , 垂足分别为F 、G ，求证：BE=FG。

例3：（淄博）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．

N

例4、如图，△ABC 中，点O 是AC 边上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于E ，交∠BCA 的外角平分线于点F .

(1)求证：EO =FO

(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.

(3) 当点O 运动到何处时，四边形AECF 是有可能是正方形？并证明你的结论

.

三、用中学习

1、判断:

（1）四条边都相等的四边形是正方形。（ ）

）

） （2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。（ （3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。（

（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。（ ）

2. 四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）

A. OA =OB =OC =OD ，AC ⊥BD B.AB ∥CD ，AC =BD

C. AD ∥BC ，∠A =∠C D.OA =OC ，OB =OD ，AB =BC

3、（上海市）如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是BD 延

长线上的点，且△ACE 是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD 是菱形；

（2）若∠AED =2∠EAD ，求证：四边形ABCD 是正方形．

E

A

B

拓展探究（平行四边形与特殊平行四边形的综合运用）

1、如图，正方形ABCD 中，E 、F 、G 分别是AD 、AB 、BC 上的点，且AE=FB=GC。试判断 EFG 的形状，并说明理由。

2、如图，在正方形ABCD 中，P 为BC 上一点，Q 为CD 上一点，(1)若PQ=BP+DQ，求∠PAQ 。

（2）若∠PAQ =45︒, 求证：PQ=BP+DQ.

3、如图，菱形ABCD 的边长为2，对角线BD=2，E 、F 分别是AD 、CD 上的动点，且满足AE+CF=2.（1）求证： BDE ≅ BCF .(2)判断 BEF 的形状。

4、如图， ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线MN//BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F 。（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系，并加以证明；（2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明；

若不是，请说明理由；（3）当点O 运动到何处，且 ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？