高中数学抽象概括能力的培养

数学教学中，教师在强调基本知

高中数学抽象概括能力的培养

文／揭东第一中学

刘春娜

识和基本技能的同时，也应该重视基本思想和方法的教学并以此带动双基﹒高中数学基本思想一般涉及函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、化归与转化的思想等，如在一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者中常用到转化的思

抽象概括能力是对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断﹒纵观近几年高考题，题目在抽象性方面加大要求，以广东省为例，如２００４年的第

想；七种基本函数和解析几何的问题中常用到数形结合的思想等﹒基本方法一般指配方法、换元法、待定系数法、向量法、坐标法等﹒数学方法又是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段，如二次函数问题常用配方法，立体几何问题常用向量法、坐标法等﹒只有领悟了数学思想与方法，才能在分析数学问题时抽象概括出解决问题的思想与方法﹒

例题２

方程ｓｉｎｘ＝ｌｇｘ的解有（

）个．

１２、１６、１７、１９、２１题；２００５年的第８、１５、１７、１８、１９、２０题；２００６年的第１０、１８、１９、２０题﹒这

就对考生抽象概括能力提出了更高的要求，同时也要求教师在平时的教学中必须培养学生的抽象概括能力，

一、重视基础知识、基本技能、基本思想与方法的教学，是培养抽象概括能力的基础

１．重视基础知识、基本技能的教学

高中数学的基础知识通常是指教材中已标明的数学概念、性质、法则、公式、定理等﹒数学概念又是数学知识的基础，而一般的学生对数学概念或数学原理仅仅停留在表象的概括水平上，对它们的发生、发展过程没有深刻的理解，不能脱离表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质，从而学生往往善于处理一些直观的或熟悉的数学问题，而对那些不具体的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质，转化为已知的数学模型去分析解决﹒

基本技能是指运算、处理数据、绘制图表等技能﹒高考命题比较讲究“源于教材，高于教材”﹒“源于教材”是指取材于教材，而“高于教材”则是命出有所提高的、更合乎考纲要求的试题﹒教师只有注重基础知识、基本技能的教学，才能使学生在牢固掌握双基的基础上，对问题陈述的材料能阅读、理解，并抽象概括出数学问题的模型，从而解决问题﹒

例题１

已知实数、ｘ满足! ＝

）．

Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４

此方程无法通过解方程求解，学生无从下手﹒教师可以引导学生挖掘出此题的本质：求方程组ｙ＝ｓｉｎｘ的解的个数，并引导他们运用数形结合的思想，转化为求两个函数图像交点的个数问题，使问题轻松地得到解决﹒

因此，在数学课堂教学中应重视双基、基本思想与方法的教学，淡化特殊技巧，使学生在扎实的基础上认识一种“思想”或“方法”的个性，在遇到问题时能抽象概括出解决问题的有效的数学思想与方法，提高解决问题的能力﹒

" ｙ＝ｌｇｘ

二、适当进行应用题、探索题和信息迁移

题的训练，是培养抽象概括能力的必要手段

由于应用题、探索题和信息迁移题的题型的特点，结合《考试大纲》的要求，适当进行这些题型的训练，对培养学生的抽象概括能力是必要的、可行的手段﹒

１．应用题

应用题取材广泛，贴近学生的知识水平和社会实际，具有强烈的时代性和实用性，它注重考查学生运用数学知识与方法的能力、抽象概括能力、解决问题的能力等﹒应用题一般都有模式，抽象概括出数学模型是解决它的前提，如２０００年全国卷第２１题的“西红柿问题”是分段函数问题；２００４年江苏卷第１９题的“投资计划问题”是线性规划问题；２００６年广东卷第１６题的“射击问题”是概率问题等﹒因此，在高中数学教学中，教师要重视应用题的教学，适当进行训练，并引导学生总结、归纳出各种应用题的数学模型，培养抽象概括能力﹒

ｘ＋ｙ＋１，则点所对应的轨迹为（

Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线

Ｄ．抛物线

对于这个问题，大多数学生着手就两边平方，简化方程，过程非常繁琐﹒如果教师引导学生仔细研究此式的结构，先化为! ＝ｘ＋ｙ＋１

! 而抽象概括出点Ｐ到点（１，３）和到直线ｘ＋ｙ＋１＝０的距

离相等，则能直接利用抛物线的定义，就可以快速地得出答案为Ｄ﹒

，进

２．探索题

探索题以非完全性、不确定性、发散性和探究性为主要特征，以规律探索、量化设计、对象构造、模

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２．重视基本思想与方法的教学

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型建构、命题组建、情景研究为常见的设计模式﹒探索题对学生的抽象概括等综合能力提出较高要求，也成了近几年高考命题的一个新热点，如２００４年上海卷（理）第２１（３）题、第２２题；２００５年广东卷第１７题；２００６年福建卷、湖南卷第２１题等﹒因此，教学中培养学生的抽象概括能力，进行探索题的训练显得尤其重要﹒

概括能力最有意义的，最必不可少的重要环节﹒

ＡＢ和平面α所成的角是θ１，ＡＣ在平面

，求证：α内，ＡＣ和ＡＢ的射影ＡＢ１成角θ２，设∠ＢＡＣ＝θ

・ｃｏｓθｃｏｓθ．１２＝ｃｏｓθ

例题３

在本题的证明之后，教师可引导学生对解题过程与方法进行回顾，抽象概括出：的解答方法是一定位，二定量；

（１）线面角、线线角（２）应用该题结论，

３．信息迁移题

信息迁移题是指在已有知识的基础上，设计一个陌生的数学情境，或定义一个概念，或规定一种运算，或给出一个规划，通过阅读相关信息，根据题目引入新内容进行解答的一类新题型﹒信息迁移题常见的题型有：新概念的迁移，如２００６年福建卷第１２题；新符号的迁移，如２００５年浙江卷（理）第９题；新运算的迁移，如新法则的迁移，如２００５２００６年广东卷第１０题；新方法、

年全国卷（Ⅲ）（理）第１２题等﹒由于信息迁移题型背景新颖，构思巧妙，教学中适当进行信息迁移题的训练，能够很好地培养学生的抽象概括能力﹒

可以解决有关几个角度关联的问题，如在正四面体

ＡＢＣＤ中，求侧棱与底面所成的角，可以根据此式很

快地列出ｃｏｓθ・，然后求出该角的余弦值ｃｏｓ３０°＝ｃｏｓ６０°ｃｏｓθ＝，进而求出该角﹒

再如高中《平面解析几何》课本里有这样一道题：例题４

设Ａ、Ｂ两点的坐标分别是（ｘ１，ｙ１）和

（ｘ２，ｙ２），直线ＡＢ的倾斜角是α，求证：

ｘ１－ｘ２＝

" ２１２１ｃｏｓα．

教师若能引导学生重视该题方法的归纳，对结论作适当的变形，则可概括出推广公式：・ｘ１－ｘ２＝" ・三、重视解题过程的回顾与方法的归纳，

是培养抽象概括能力的重要环节

解题不能没有目的性，但也不能单纯地为了求得问题的结果﹒因此，在解决问题以后，回过头来对解题过程的回顾与方法的归纳，是一个对提高学生抽象

ＡＢ＝" （其中ｋ＝ｔａｎα，α），≠９０°

并可将它作为解答直线与二次曲线相交所得弦长问题的主要方法﹒

责任编辑

罗

峰

构建充满活力的高效的语文课堂

文／佛山市高明区杨和镇人和中学

目前，语文教学仍然存在一个老大难的问题，这就是耗时多，收效低。从课堂教学情况来看，教师在台上滔滔不绝，学生在台下魂游四方；从作文情况来看，文章构思不新颖，选材落入俗套，过渡不自然，结构不合理，中心不突出；语言词汇贫乏，空话套话连篇，没有真情实感，文理不通者屡见不鲜；从平日学生学习过程来看，对语文缺乏足够的兴趣，不愿意安排适当的时间学习语文等现象普遍存在；而从语文老师的劳动过程看，总是事倍功半，费力不讨好。

如何解决这一难题呢？根据课程标准的要求，笔者认为，应从以

广东教育・教研

梁友

像课堂的过客。

如果教师在课堂上改变繁琐分析，零碎解剖的做法，做到“抓整体，抓关键点”，充分挖掘教材中的发展点，引导学生手、口、脑等多种感官协调活动，启发学生听、看、说、写、想、议，就能促进学生对基本知识的掌握和基本技能的形成，并从中得到发展与创新。教师在教学过程中应尽量压缩“齐步走”的时间，增加学生的支配时间，让学生在课堂上有时间多读书、多质疑、多思考、多讨论、多体验、多实践。这样教师又能从讲台上走下来，腾出更多的时间辅导后进生，真正体现师生双边在课堂

下几个方面来构建充满活力的高效的语文课堂。

一、从知识灌输到“多读精练”

传统的语文教学方法，以满堂灌居多，学生是知识的容器，教师几乎把所有的语文内容都分解成记忆的知识性东西，让学生机械地储存到大脑的“内存”中。在一定程度上，教师只对“储存”感兴趣，如何“检索”和“提取”就不计较了，至于如何运用和发展，则成了语文之外的任务，似乎与语文教师无关。教师一讲到底，学生死记硬背，课堂像学生的‘牢笼’，学生

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