空间几何体的表面积和体积

1. (15安徽高考) 如图三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC , P A =1，AB =1，AC =2，∠BAC =60. （1）求三棱锥P -ABC 的体积；

（2）证明：在线段PC 上存在点M , 使得AC ⊥BM , 并求

PM

的值

. MC

第1题图 XGY49

【测量目标】(1)三棱锥的体积公式； (2)线面垂直的判定定理和性质.

【试题解析】 （1）在△ABC 中， AB =1， AC =2， ∠BAC =60,

∴S △ABC

11=AB ⋅AC ⋅s i n ∠BAC =⨯⨯1⨯2s i n =. 又因为P A ⊥面ABC ， 22

∴V P -A B C =

1

P A ⋅△S 311⨯A B 32. 6

（2）过点B 作BN 垂直AC 于点N , 过N 作NM P A 交PC 于M , 则有

第1题图XGY48

⎨

N A C ⎧⎧M N ⊥面A B C ⎧M ⊥

⇒⎨⇒⎨

M N B N =N A C ⊂面A B C ⎩⎩⎩

A ⊥面C B ⊂M 面B M N

⇒AC ⊥BM . B M N

此时M 即为所要找的点，在△ABN 中，AN =

1CM CN 3PM 1⇒==⇒=. 2PC AC 4MC 3

2. (15湖北高考) 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为

阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P -ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD =CD ，点E 是PC 的中点，连接DE , BD , BE .

第2题图 HB07

（1）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

（2）记阳马P -ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求【测量目标】（1）考查直线与平面垂直的判定定理及其性质； （2）考查简单几何体的体积.

【试题分析】（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC . 由底面ABCD 为长方形，有

V 1

的值．V 2

BC ⊥CD ，D C D D =而P ，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE .

又因为PD =CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC . 而PC BC =C ，所以DE ⊥平面

PBC . 由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三

角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD , ∠BCE , ∠DEC , ∠DEB .

11

S ABCD ⋅PD =BC ⋅CD ⋅PD ；由3311

（1）知，DE 是鳖臑D -BCE 的高，BC ⊥DE ，所以V 2=S △BCE ⋅DE =BC ⋅CE ⋅DE .

36

（2）由已知，PD 是阳马P -ABCD 的高，所以V 1=

在Rt △PDC 中，因为PD =CD ，点E 是PC

的中点，所以DE =CE =

，于是 2

1

BC ⋅CD ⋅PD V 12CD ⋅PD ===4. 1V 2

BC ⋅CE ⋅DE CE ⋅DE 6

3. (15江苏高考) 现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_____. 【参考答案

【测量目标】圆柱、圆锥的体积计算. 【试题分析】 V 总=⋅π⋅5⋅4+π⋅2⋅8=

1

3

22

196π

，设新的底面半径为r ，则有： V 锥+V 柱=V 总，3

1196π

∴π⋅r 2⋅8+⋅π⋅r 2⋅4=

，解得r =33

4. (15湖南高考) 如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E , F 分别是

BC , CC 1的中点.

（1）证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；

F -AEC 的体积.

（2）若直线AC 1与平面A 1ABB 1所成的角为45，求三棱锥

︒

第7题图 yzt107

【测量目标】柱体、椎体、台体的体积；面面垂直的判定与性质. 【试题分析】（1）如图，因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以AE ⊥BB 1, 又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点， 所以AE ⊥BC , 因此AE ⊥平面B 1BCC 1, 而AE ⊂平面AEF , 所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.

（2）设AB 的中点为D ，连接A 1D , CD ，因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB ，又三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1，因此CD ⊥平面A 于是∠CA 1AB 1B ，1D

︒

直线AC 1与平面A 1ABB 1所成的角，由题设知∠CA 1D =45，

所以A 1D =CD =

AB = ==

所以FC =

在Rt △

AA 1D 中，AA 1=

1AA 1= 22

故三棱锥F -

AEC 的体积V =

11S △AEC ⨯FC =⨯= 332212

第4题图 yzt108

5. (15陕西高考) 如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC , ∠BAD =

π, 2

AB =BC =

1

AD =a , E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将△ABE 沿BE 折起到图2

2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1-BCDE .

(1)证明：CD ⊥平面AOC ； 1

(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1-

BCDE 的体积为，求a 的值

.

sxw8a

第5题图

sxw8b

【测量目标】1. 线面垂直的判定；2. 面面垂直的性质定理；3. 空间几何体的体积. 【试题分析】(1)在图1中，因为AB =BC =

1

AD =a ，E 是AD 的中点， 2

∠BAD =

π

，所以BE ⊥AC ，即在图2中，BE ⊥AO ，BE ⊥OC , 从而BE ⊥平面AOC ， 112

又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面AOC . 1(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE =BE ,

又由(1)知，AO 1⊥BE ，所以AO 1⊥平面BCDE ， 即AO 1是四棱锥A 1-BCDE 的高，

=由图1

可知，AO 1

AB =，平行四边形BCDE 面积S =BC ⋅AB =a 2，

从而四棱锥A 1-BCDE 的为

1123V =⨯S ⨯AO =⨯a =，

1

33由

3

a =a =6. 6

∠BAC ＝90︒，6. (15四川高考) 在三棱柱ABC －A 其正视图和侧视图都是边长为11B 1C 1中，

的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －AMN 的体积是______.

【参考答案】

1

24

【测量目标】考查三视图，空间几何体的体积.

【试题分析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的等腰直角三角形， 高为1的直三棱柱，底面积为

1. 2

1

，高为1， 4

如图，三棱锥P －AMN 底面积是三棱锥底面积的故三棱锥P －AMN 的体积为⨯

1111

⨯=

. 32424

第6题图fwt3

7. （本小题满分14分）(15北京高考) 如图，在三棱锥V －ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC =BC

O ，M , 分别为AB ，VA 的中点. （1）求证：VB ∥平面MOC ；

（2）求证：平面MOC ⊥平面VAB ； （3）求三棱锥V －ABC 的体积.

第7题图 LXP8

【测量目标】(1)线面平行的判定； (2)面面垂直的判定； (3)三棱锥的体积公式. 【试题解析】（1）因为O 、M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB .

又因为VB ⊄平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .

（2）因为AC =BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB .

又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB .

所以平面MOC ⊥平面VAB .

（3）在等腰直角三角形ACB 中，AC =BC

所以AB =2，OC =1.

所以等边三角形VAB

的面积S △VAB 又因为OC ⊥平面VAB ，

所以三棱锥C －VAB

的体积等于⨯OC ⨯S △VAB 13. 又因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等， 所以三棱锥V －ABC

的体积为8. (本题满分12分)

(15福建高考) 如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 异于A , B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO =OB =

1.

. 3

第8题图 XR07

(1)若D 为线段AC 的中点，求证AC ⊥平面PDO ; (2)求三棱锥P -ABC 体积的最大值；

(3)

若BC 点E 在线段PB 上，求CE +OE 的最小值.

【测量目标】(1)直线和平面垂直的判定;(2)三棱锥体积求法; (3)线段和的最值问题.

【试题分析】解法一：(1)连接PD ，在△AOC 中，因为OA =OC , D 为AC 的中点，所以AC ⊥OD , 又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC , 因为DO PO =O ，所以

AC ⊥平面PDO .

(2)因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大距离为1. 又

1

AB =2, 所以△ABC 面积的最大值为⨯2⨯1=1. 又因为三棱锥P -ABC 的高PO =1,

2

11

故三棱锥体积的最大值为⨯1⨯1=.

33

(3)在△POB 中，PO =BO =1, ∠POB =90。，

所以PB ==

同理PC , 所以PB =PC =BC . 在三棱锥P -ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC 'P , 使之与平面ABP 共面，如图所示，当O , E , C '共线时，CE +OE 取得最小值. 又因为

OP =OB , C 'P =C 'B , 所以OC '垂直平分PB , 即E 为PB 中点. 从

而

OC '=OE +EC '=

+=226

，亦即CE +

OE 的最小值为. 22

XR08

解法二：(1)，(2)同解法一.

。

(3)在△POB 中，PO =OB =1, ∠POB =90，所以∠OPB =45。, PB ==

,

。

同理PC =. 所以PB =PC =BC ，所以∠CPB =60. 在三棱锥P -ABC 中，将侧面

BCP 绕PB 旋转至平面BC 'P , 使之与平面ABP 共面，如图所示，当O , E , C '共线时，'P CE +OE 取得最小值. 所以在△O C 中，由余弦定理得

：

OC 2=1+2-

⨯22

。

12-

=2，

从而c o 。

s =

1(+45

2OC '

，所以CE +OE 的最小值为22

9. (15山东高考) 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋

转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A.

B.

C.

D. 33

【参考答案】B

【测量目标】旋转体的几何特征以及几何体的体积.

【试题分析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为

旋转体为同底等高的全等圆锥，所以其体积为π⨯⨯1

3

2

，故选B. 3

10. (15新课标Ⅱ高考) 已知A , B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90 ，C 为该球面上的动点. 若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36, 则球O 的表面积为（ ） A. 36π B. 64π C. 144π D. 256π 【参考答案】 C

【测量目标】 球与几何体的切接.

【试题分析】 设球的半径为R ，则∆AOB 面积为到平面A O B 距离最大为R ，此时V =

12

R ，三棱锥O -ABC 体积最大时，C 2

13

R =36⇒R =6, 所以球O 的表面积6

S =4πR 2=144π. 故选C.

11. （本小题满分12分）(15新课标Ⅱ高考) 如图, 长方体ABC D 中-1A 1B 1C 1D

AB =16, BC =10, AA 1=8, 点E , F 分别在A 1B 1, DC A 1E =D 1F =4. 过点E , F 的平面11上，

α与此长方体的面相交, 交线围成一个正方形

.

第11题图 PGQ19

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.

【测量目标】 （1）几何体中的截面面积；（2）几何体的体积. 【试题分析】 （1）交线围成的正方形EHGF 如图:

第11题图PGQ20

(2)作EM ⊥AB , 垂足为M ，则A M =A E 1

因为EHGF 是=4，EB 1=12, EM =AA 1=8，

正方形，所以EH =EF =BC =10,

于是MH ==6, AH =10, HB =6. 因为

97

（也正确）. 79

π

，点D 、E 在线2

长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积比值为12. (本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分)

(15重庆高考) 如图，三棱锥P-ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，∠ABC =

段AC 上，且AD =DE =EC =2，PD =PC =4，点F 在线段AB 上，且EF //BC . (1)证明：AB ⊥平面PFE.

(2)若四棱锥P-DFBC 的体积为7，求线段BC 的长

.

第12题图 cqw6

【测量目标】(1)空间线面垂直关系；(2)锥体的体积；(3)方程思想.

【试题分析】（1）证明：如图. 由DE =EC ，PD =PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故

PE ⊥AC ，又平面P AC ⊥平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC =AC ，PE ⊂平面P AC ，PE ⊥AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB . 因∠ABC =

π

, EF ∥BC , 故AB ⊥EF . 从而AB 与2

平面PEF 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ⊥平面PFE . (2)解：设BC =x , 则在直角△ABC 中，

AB =.

从而S △ABC =

由EF ∥BC 知

11

AB ⋅BC =22

AF AE 2S 224

==，得△AF ∽△ABC , 故△AEF ==， AB AC 3S △ABC 39

即S △AEF =由AD =

4

S △ABC . 9

111421

AE , S △AFD =S △AFE =⋅S △ABC =S △ABC = , 从而四边形222999

117. DFBC

的面积为S DFBC =S △ABC -S △ADF ==

2918

由(1)知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P-DFBC 的高. 在直角△PEC 中

, PE =体积V P -DFBC =

4

2

==

117

⋅S DFBC ⋅PE =⨯=7, 3318

故得x -36x +243=0，解得x 2=9或x 2=27，由于x >0

，可得x =3或x =. 所以BC =

3或BC =13. (15上海高考) 若正三棱柱的所有棱长均为a

，且其体积为a =_____. 【参考答案】4

【测量目标】考查立体几何的基本运算. 【试题分析】

正三棱柱的体积为

∴

1⨯a ⨯a =a =4. 214. (本题满分12分) (15上海高考) 如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O , 底面的一条直径

的中点. 已知PO =2, OA =1. 求三棱锥为AB ，C 为半圆弧 AB 的中点，E 为劣弧CB

P -AOC 的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小

.

第14题图（WXL7）

【测量目标】考查体积的计算，异面直线所成的角. 【试题分析】V P -AOC =

111

⨯⨯2=. 因为AC ∥OE ，所以∠PAC 为异面直线PA 与OE 所323

成的角或其补角. 由PO =2，OA =OC =1,

得PA =PC =

，AC =. 在△PA C 中，

由余弦定理得cos ∠PAC =

，故异面直线PA 与OE

所成的角的大小为arccos . 1010

15. （本小题满分12分）(15新课标Ⅰ高考) 如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，

BE ⊥平面ABCD ，

第15题图mh7

（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；

（2）若∠ABC =120 ，AE ⊥EC , 三棱锥E -

ACD 积.

【测量目标】(1)线面垂直的判定与性质, 面面垂直的判定.

(2)三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力.

【试题解析】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，

因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED .

又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED

（2）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC =120°，可得AG =GC

x x , GB =GD =. 2因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG

x . x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE

由已知得，三棱锥E-ACD

的体积V E -ACD =

从而可得AE =EC =ED

113⨯AC ⋅GD ⋅BE =x =, 故x =2. 32243

所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD

故三棱锥E-ACD

的侧面积为广东省江门市普通高中2015届高三上学期调考数学试卷

16. 某三棱锥的三视图如图所示，这个三棱锥最长棱的棱长是（ ）

A ．1 B

C

D ．2

第16题图 JSY01

【答案】C

【分析】由三视图可知：原三棱锥为P -ABC ．其中PA ⊥底面ABC ，AC ⊥CB ，PA =AC =BC =

1．∴这个三棱锥最长棱的棱长是PB C ．

第16题图 JSY02

河北省衡水中学2015届高三上学期第五次调考数学试卷

17．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长都相等，现沿P A ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面

展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为P ﹣ABC 的内切球的体积为__________．

【答案】π 2

a ∴a =6s i n A 【分析】三棱锥P ﹣ABC 展开后为一等边三角形，设边长为a ，

则=

∴三棱锥P ﹣ABC

棱长为P ﹣ABC

的高为

设内切球的半径为r

，则4⨯r ⨯S △ABC =1

31S △ABC ⨯∴r = 3∴三棱锥P ﹣ABC

的内切球的体积为4π3r =π．

32

故答案为：π． 2

河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷

18．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

第18题图hbw2

A ．560 3 B ．580 3 C ．200 D ．240

【答案】C

【分析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V =(2+8)⨯4⨯10=200．故选C ．

2

第18题图hbw3

河南省安阳一中2015届高三上学期第一次调考数学试卷

19．如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为( )

俯视图 主视图 左视图

第19题图ZQQ16

A ．

B

C ． 3 D ．3 2

【答案】D

【分析】由三视图可知，该几何体的空间图形为正六棱锥（如图），依题意，底面边长为1，侧棱为

2

，高AO =1132=

∴V 锥=Sh =⨯6) =, 332

故选D ．

第19题图ZQQ18

河南省安阳一中2015届高三上学期第一次调考数学试卷

20．已知三边长分别为4、5、6的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P －ABC 的体积为 ．

【答案】10

【分析】P 在面ABC 上的射影为O ，则OA=OB=OC=OP=R，

∴S △ABC =1abc 1abc ab sinC=∴V P －ABC = S △ABC R ==10．故答案为10. 24R 312

21. (15新课标Ⅰ高考) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）

A ．14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛

第21题图mh1

【参考答案】B

【测量目标】圆锥的性质与圆锥的体积公式.

【试题分析】设圆锥底面半径为r ，则116⨯2⨯3r =8=r =，所以米堆的体积为43

1116320320⨯⨯3⨯() 2⨯5=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B. 43399