表面积与体积

第二节 空间几何体的表面积和体积

[备考方向要明了]

[归纳·知识整合]

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

[探究] 1.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么联系？ 提示：

2．如何求不规则几何体的体积？

提示：常用方法：分割法、补体法、转化法．通过计算转化得到基本几何体的体积来实现．

[自测·牛刀小试]

1．棱长为2的正四面体的表面积是( ) A.3 C．3

B．4 D．16

32

＝3. 4

解析：选C 正四面体的各面为全等的正三角形，故其表面积S＝4×

2．(2012·上海高考)一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________． 解析：由已知条件得圆柱的底面半径为1，所以S表＝S侧＋2S底＝cl＋2πr＝2π×2＋2π＝6π.

答案：6π

3．(教材习题改编)一个球的半径扩大为原来的3倍，则表面积扩大为原来的______倍；体积扩大为原来的______倍．

解析：设原球的半径为1，则半径扩大后半径为3，

2

S242

则S1＝4π，S2＝4π×3＝36π，即＝9，所以表面积扩大为原来的9倍．由V1＝，

S13

4V2

V2＝π×33＝12π27，所以体积扩大为原来的27倍．

3V1

答案：9 27

4．(2012·辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

解析：由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为2的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4、3、1的长方体，如图所示，它的体积V＝1×π＋4×3×1＝12＋π.

答案：12＋π

5．(教材习题改编)如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是________．

解析：由于半圆的圆弧长等于圆锥底面圆的周长，若设圆锥底面圆半径为r，则得2π＝2πr，解得r＝1，又圆锥的母线长为2，所以高为3，所以这个圆锥筒的容积为π×13＝

答案：

2

13

3π. 3

3

3

[例1] (2012·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )

A．28＋65 C．56＋125

B．30＋65 D．60＋125

[自主解答] 该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P在底面上的投影D在棱

AB上，且∠ABC＝90°，

据正视图知，AD＝2，BD＝3，PD＝4， 据侧视图知，BC＝4.

综上所述，BC⊥平面PAB，PB＝PD＋BD＝5，

2

2

PCBC2＋PB2＝16＋25＝41， ACAB2＋BC2＝41， PAPD2＋AD2＝25.

∵PC＝AC＝41，∴△PAC的边AP上的高为

h＝⎛APPC2－ 2＝6.

2

⎝⎭

11

∴S△PAB＝AB·PD＝10，S△ABC＝AB·BC＝10，

22

S△PBC＝·BC＝10，S△APC＝AP·h＝65.

故三棱锥的表面积为S△PAB＋S△ABC＋S△PBC＋S△APC＝30＋65. [答案] B —————

—————————————— 由三视图求几何体表面积的方法步骤

根据三视图确定几何体

利用有关

―→―→

画出直观图的结构特征公式计算

1．(2013·马鞍山模拟)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )

1

212

A．4π

B.15π

4

C．5π D.

17π

4

1

解析：选D 由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了8711722

π·1＋3··π·1＝π.

844

[例2] (1)(2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.C.

8π

3

10π

3

B．3π D．6π

(2)(2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是________．

[自主解答] (1)由三视图可知，该组合体上端为一圆柱的一半，下端为圆柱．其体积

V＝π×12×2＋π×12×2＝3π.

(2)据三视图可知，该几何体是一个直四棱柱，其底面是直角梯形(两底边长分别为2、2＋5

5，直腰长为4，即梯形的高为4)，高为4.∴该几何体的体积为V＝×4×4＝56.

2

[答案] (1)B (2)56

12

——————————————————— 由三视图求解几何体体积的解题策略

以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．

2．(2012·新课标全国卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(

)

A．6 C．12

B．9 D．18

解析：选B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形高为3的三棱11

锥，其体积为××6×3×3＝9.

32

3．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(

)

2πA．8－3C．8－2π

πB．8－3D.2π 3

解析：选A 圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，1232

即V＝2×π×1×2＝8－.

33

[例3] (2012·新课标全国卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△

ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )

A.

2

6

2

3

B.

3

622

C.D.

[自主解答] △ABC的外接圆的半径r＝

36点O到平面ABC的距离d＝R－r.SC33

6113

为球O的直径，故点S到平面ABC的距离为2d，故棱锥的体积为V＝S△ABC×2d＝3334262

×＝36

[答案] A —————

—————————————— 与球有关的切、接问题的解题策略

解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(

要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．

4．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )

A．12π C．72π

B．36π D．108π

解析：选B 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为 122

2 － ＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外

2接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4

π×3＝36π

.

3个步骤——求解与三视图有关的几何体的表面积、体积的解题步骤

2

3种方法——求空间几何体体积的常用方法

(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．

(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．

(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．

1种数学思想——求旋转体侧面积中的转化与化归的数学思想方法

计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.

创新交汇——空间几何体中体积的最值问题

1．求空间几何体的体积一直是高考考查的重点，几乎每年都考查，既可以与三视图结合考查，又可以单独考查．而求空间几何体体积的最值问题，又常与函数、导数、不等式等知识交汇考查．

2．求解空间几何体最值问题，可分为二步：第一步引入变量，建立关于体积的表达式；第二步以导数或基本不等式为工具求最值．

[典例] (2012·湖北高考(节选))如图1，∠ACB＝45°，BC＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°(如图2所示)．当

BD的长为多少时，三棱锥A－BCD的体积最大？

[解] 如图1所示的△ABC中，设BD＝x(0

由AD⊥BC，∠ACB＝45°知△ADC为等腰直角三角形，所以AD＝CD＝3－x.

由折起前AD⊥BC知，折起后(如图2)，AD⊥DC，AD⊥DC，且BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC，

11

∠BDC＝90°，所以S△BCD＝BD·CD＝x(3－x)．

22111

于是VA－BCD＝·S△BCD(3－x(3－x)．

332132

法一：VA－BCD(x－6x＋9x)．

6

132

令f(x)＝(x－6x＋9x)．

6

1

由f′(x)(x－1)(x－3)＝0，且0

2当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,3)时，f′(x)

11⎡2x＋ 3－x ＋ 3－x 32

法二：VA－BCDx(3－x)(3－x·⎢＝3， 31212⎣⎦当且仅当2x＝3－x，即x＝1时，取“＝”． 故当BD＝1时，三棱锥A－BCD的体积最大． [名师点评]

解答此题的关键是恰当引入变量x，即令BD＝x，结合位置关系列出体积的表达式，将求体积的最值问题转化为求函数的最值问题．

[变式训练]

如图，动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )

解析：选B 显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，淘汏选项A、C；P点移动时，取AA1的中点E，CC1的中点Q，平面D1EBQ垂直于平面BB1D1D，且M、N两点在菱形D1EBQ的边界上运动，故x与y的关系应该是线性的，淘汰选项D，选B.

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )

A．7 C．5

B．6 D．3

解析：选A 设圆台较小底面半径为r， 则另一底面半径为3r.

由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.

2．(2013·长春模拟)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( )

3

A.π 2C．3π

B．2π D．4π

1

解析：选A 依题意知，该几何体是一个底面半径为1的圆柱，则其全面积为

213⎛1⎫2

2π× ⎪＋2π×.

22⎝2⎭

3．(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为(

)

A．72π C．30π

B．48π D．24π

1413

解析：选C 此几何体由半个球体与一个圆锥组成，其体积V×3＋

233π×35－3＝30π.

4．(2013·广州模拟)设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于( )

A.C.2

ππ 6

B.D.6 ππ 2

2

2

2

S1S2

3232

解析：选D 设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知Ra，即a＝R，

43

S1则S24πR26× ⎛3⎫2⎪

⎝3⎭＝π. 2

5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A．48

C．48＋817 B．32＋817 D．80

解析：选C 由三视图可知几何体是一个放倒的直棱柱(最大的侧

面贴在地面上)，直观图如图，底面是等腰梯形，其上底长为2，下底

长为4，高为4，

1∴两底面积和为2×24， 2

四个侧面的面积为4×(4＋2＋217)＝24＋817，

∴几何体的表面积为48＋817.

6．已知正方形ABCD的边长为22，将△ABC沿对角线AC折起，使

平面ABC⊥平面ACD，得到如图所示的三棱锥B－ACD.若O为AC边的中点，

M，N分别为线段DC，BO上的动点(不包括端点)，且BN＝CM.

设BN＝x，则

三棱锥N－AMC的体积y＝f(x)的函数图象大致是( )

解析：选B 由平面ABC⊥平面ACD，且O为AC的中点可知，BO⊥平面ACD，易知BO＝

12，故三棱锥N－AMC的高为ON＝2－x，S△AMC＝MC·AD＝2x，故三棱锥N－AMC的体积为y2

112＝f(x)x)·2x－2x＋22x)(0

线的一部分．

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．(2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．

解析：由三视图可知此几何体为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积S＝(4＋2＋5＋

15)×4＋2×92. 2

答案：92

8．(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm. 3

解析：由题意，四边形ABCD为正方形，连接AC，交BD于O，则AC⊥BD.由面面垂直的性质定理，可证AO⊥平面BB1D1D.四棱锥底面BB1D1D的面积为32×2＝62，从而VA－BB1D1D1＝OA×S长方形BB1D1D＝6. 3

答案：6

9．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为________．

解析：该棱锥的直观图如图，取CD的中点E，BD的中点F，由三视图

知，AE⊥平面BCD，AF＝5，AE＝5－3＝4，∠CBD＝90°.设O为该棱锥

外接球的球心，半径为R，由题知BO＝BE＋EO，即R＝2)＋(R－4)，

17⎛17⎫2289π解得RS＝4×π× ⎪＝44⎝4⎭

289π答案： 422222222

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)

10．(2013·杭州模拟)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC

＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几

何体的表面积及体积．

解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，

S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π2＝(60＋42)π，V

1＝V圆台－V圆锥π·22＋π·52＋22·52π32148)×4－1π×2×2＝. 332

11．(2013·郑州模拟)一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行

3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．

(1)求该几何体的体积V；

(2)求该几何体的表面积S.

解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3.

所以V33.

(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面

BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，

所以S3＋1×2)＝6＋23.

12．如图1所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B、C在线段AD上，且AB＝3，BC＝4，作BB1∥AA1分别交A1D1、AD1于点B1、P，作CC1∥AA1分别交A1D1、AD1于点C1、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图2

所示的三棱柱ABC－A1B1C1.

(1)求证：AB⊥平面BCC1B1；

(2)求多面体A1B1C1－APQ的体积．

解：(1)由题知，在图2中，AB＝3，BC＝4，CA＝5，

∴AB＋BC＝CA，∴AB⊥BC.

又∵AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，∴AB⊥平面BCC1B1.

1(2)由题易知三棱柱ABC－A1B1C172. 2

∵在图1中，△ABP和△ACQ都是等腰直角三角形，

∴AB＝BP＝3，AC＝CQ＝7，

111∴VA－CQPB＝×S四边形CQPB×AB＝×(3＋7)×4×3＝20. 332

∴多面体A1B1C1－APQ的体积V＝VABC－A1B1C1－VA－CQPB＝72－20＝

52.

1．如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是(

) 222

A．24

C．8 B．12 D．4

解析：选B 依题意知，该几何体是从一个长方体中挖去一个三棱柱后剩下的部分，因

1此其体积等于2×3×4－12. 2

2．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(

)

A．32

C．48 B．16＋162 D．16＋322

解析：选B 该空间几何体是底面边长为4、高为2的正四棱锥，这个四棱锥的斜高为122，故其表面积是4×4＋4×2＝16＋2. 2

3．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．

解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为

和底面中心即为高，可求得高为

262122，所以体积V＝×1×1×. 23263，连接顶点2答案：

4．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点A

1的最短路线的长为________cm.

解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如5＋12＝

13 (cm)． 22