向量组线性相关与线性无关的判定方法_侯雯昕

第３２卷第５期（上）

２０１６年５月赤峰学院学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｆｅｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｖｏｌ．３２Ｎｏ．５

Ｍａｙ２０１６

向量组线性相关与线性无关的判定方法

侯雯昕

（华东师范大学

摘

经济与管理学系，上海

200062）

要：向量组的线性相关性是线性代数理论的基本概念，它与向量空间、子空间等概念有密切关系，

同时在解析几何以及常微分方程中有广泛应用.本文主要研究的是向量组线性相关性的判定方法，包括利用线性相关性的定义、行列式的值、矩阵的秩及齐次线性方程组的解等判定向量组的线性相关性，并比较了几种不同判定方法的适用条件.

关键词：向量组；线性相关；线性无关；行列式；矩阵中图分类号：Ｏ１５１．２

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７３－２６０Ｘ（２０１６）０５－０００４－０２

DOI:10.13398/j.cnki.issn1673-260x.2016.09.002

向量组的线性相关与线性无关的判定较难理解和掌握，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，只要掌握了线性相关的判定，线性无关的判定也就没有问题了．因此，本文主要论述了向量组的线性相关性的几种判定方法．1线性相关及相性无关的概念及性质１．１定义

设有ｎ维向量组ａ１，ａ２，…，ａｎ，如果存在一组不全为零的数ｋ１，ｋ２，…，ｋｎ使ｋ１ａ１＋ｋ２ａ２＋…＋ｋｎａｎ＝０成立，则称向量组ａ１，ａ２，…，ａｎ线性相关；如果仅当ｋ１，ｋ２，…，ｋｎ

上式ｋ１ａ１＋ｋ２ａ２＋…＋ｋｎａｎ＝０才成立，则称向全为０时，

量组ａ１，ａ２，…，ａｎ线性无关．１．２性质

由向量组的概念易知向量组的线性相关性具有以下简单性质：

（１）含有零向量的向量组线性相关．（２）若单个向量ａ≠０，则向量组是线性无关的；相反，则向量组线性相关．

（３）含有ｎ＋１个向量的ｎ维向量组必定线性相关．

（４）向量组中一部分向量线性相关，则该向量组线性相关；若向量组线性无关，则其任一部分向量组线性无关．

因此，一个向量组不是线性相关就是线性无关，为了更好的理解线性相关和线性无关，下面列出它们之间的不同点．

（１）定义不同：线性相关的向量组是，存在不全为零的一组数ｋ１，ｋ２，…，ｋｎ使ｋ１ａ１＋ｋ２ａ２＋…＋ｋｎａｎ＝０成

收稿日期：2016-03-23

立而线性无关的向量组，只有当ｋ１＝ｋ２＝…＝ｋｎ＝０，才

有ｋ１ａ１＋ｋ２ａ２＋…＋ｋｎａｎ＝０成立．

（２）线性表示问题：线性相关向量组中至少有一个向量能由其余ｎ－１个向量线性表示；而线性无关的向量中任何一个向量都不能由其余ｎ－１个向量线性表示．

（３）与线性方程组的关系：若ａ１，ａ２…ａｎ线性相关，则存在不全为零的数ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，使ａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＋…

ｘ１ｘ

＋ａｎｘｎ＝０，即［ａ１，ａ２，…，ａｎ］２＝０或ＡＸ＝０有非零解；

ｘｎ

而线性无关，则是Ａｘ＝０只有零解．由此也可以看出研究向量的线性相关与方程组有着直接的关系．2向量组线性相关性的判定２．１利用定义法判定

这是判定向量组的线性相关的基本方法，即给定向量组Ａ：ａ１，ａ２，…，ａｎ如果存在不全为零的数ｋ１，ｋ２，

则称向量组Ａ…，ｋｎ，使得ｋ１ａ１＋ｋ２ａ２＋…＋ｋｎａｎ＝０成立，

是线性相关的．否则，如果不存在不全为零的数ｋ１，ｋ２，…，ｋｎ，使得ｋ１ａ１＋ｋ２ａ２＋…＋ｋｎａｎ＝０成立．也就是说，只

才有ｋ１ａ１＋ｋ２ａ２＋…＋ｋｎａｎ＝０，则有当ｋ１，ｋ２，…，ｋｎ全为零，

称向量组Ａ是线性无关的．

例如，证明向量组β１＝α１＋α２，β２＝α２＋α３，β３＝α３＋β４＝α４＋α１线性相关，则需要证明设存在４个数α４，

ｋ１，ｋ２，ｋ３，ｋ４，使得ｋ１β１＋ｋ２β２＋ｋ３β３＋ｋ４β４＝０．因此需将

β２＝α２＋α３，β３＝α３＋α４，β４＝α４＋α１代入上式β１＝α１＋α２，

有：

ｋ１（α１＋α２）＋ｋ２（α２＋α３）＋ｋ３（α３＋α４）＋ｋ４（α４＋α１）＝０，即

!

""""""""#

$%%%%%%%%&

－４－

…

（ｋ１＋ｋ４）α１＋（ｋ１＋ｋ２）α２＋（ｋ２＋ｋ３）α３＋（ｋ３＋ｋ４）α４＝０，

取ｋ１＝ｋ３＝１，ｋ２＝ｋ４＝－１，则有ｋ１β１＋ｋ２β２＋ｋ３β３＋ｋ４β４

＝０，由线性相关性的定义可知，向量组β１，β２，β３，β４线性相关．

２．２利用齐次线性方程组的解判定

对于各分量都给出的向量组ａ１，ａ２，…，ａｎ，若以Ａ＝［ａ１，ａ２，…，ａｎ］为系数矩阵的齐次线性方程组ＡＸ＝０有非零解则此向量组ａ１，ａ２，…，ａｎ是线性相关的；若以Ａ＝［ａ１，ａ２，…，ａｎ］为系数矩阵的齐次线性方程组ＡＸ＝０只有零解，则此向量组ａ１，ａ２，…，ａｎ是线性无关的．例如，判断ｘ１＝（－１，１，１），ｘ２＝（－２，１，２），ｘ３＝（－１，２，－１）的线性相关性．需要令ｋ１ｘ１＋ｋ２ｘ２＋…＋ｋｎｘｎ＝０，即：将三组值代入后解方程组，可得ｋ１＝０，ｋ２＝０，ｋ３＝０，

故ｘ１，ｘ２，ｘ３是线性无关的．２．３利用矩阵的秩判定

设向量组Ａ：ａ１，ａ２，…，ａｍ是由ｍ个ｎ维列向量所组成的向量组，则向量组Ａ的线性相关性可由向量组Ａ所构成的矩阵Ａ＝（ａ１，ａ２，…，ａｍ）的秩的大小来进行判定．

（１）当Ｒ（Ａ）＝ｍ时，则向量组Ａ：ａ１，ａ２，…，ａｍ是线性无关的；（２）当Ｒ（Ａ）＜ｍ时，则向量组Ａ：ａａ１，ａ２，…，ａｍ是线性相关的．

２．４利用行列式的值来判定

（１）若向量组Ａ：ａ１，ａ２，…，ａｍ是由ｍ个ｍ维列向量所组成的向量组，且向量组Ａ所构成的矩阵Ａ＝

即Ａ为ｍ阶方阵，则有：（ａ１，ａ２，…，ａｍ），

①当｜Ａ｜＝０时，则向量组Ａ：ａ１，ａ２，…，ａｍ是线性相关的；

②当｜Ａ｜＝０时，则向量组Ａ：ａ１，ａ２，…，ａｍ是线性无关的．

（２）若向量组Ａ：ａ１，ａ２，…，ａｍ的个数ｍ与维数ｎ不同时，则有：

①当ｍ＞ｎ时，则向量组Ａ：ａ１，ａ２，…，ａｍ是线性相关的；

②当ｍ＜ｎ时，转化为上述来进行判定，即选取ｍ个向量组成的ｍ维向量组，若此ｍ维向量组是线性相关的，则添加分量后，得到的向量组也是线性相关的．

２．５利用反证法判定

有些题目中，直接证明结论常常比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义、定理、公理相悖的结果，从而说明原

结论成立．

例如，向量组Ａ：ａ１，ａ２，…，ａｍ中任一向量ａｉ不是

证明向量它前面ｉ－１个向量的线性组合，且ａｉ≠０，

组Ａ：ａ１，ａ２，…，ａｍ是线性无关的．

假设向量组Ａ：ａ１，ａ２，…，ａｍ线可用反证法证明，

则存在不全为零的ｍ个数ｋ１，ｋ２，…，ｋｍ，使得性相关，

ｋ１ａ１＋ｋ２ａ２＋…＋ｋｍａｍ＝０．由此可知，ｋｍ＝０，否则由上式可得

ａｍ＝ａ１－ａ３－…－ａｍ－１

ｍｍｍ

即ａｍ可由它前面ｍ－１个向量线性表示，这与题设矛盾，因此ｋｍ＝０．从而有ｋ１ａ１＋ｋ２ａ２＋…ｋｍ－１ａｍ－１＝０．同理可得ｋｍ－１＝ｋｍ－２＝…＝ｋ３＝ｋ２＝０，最后得到ｋ１ａ１＝０因为ａｉ≠０，所以ｋ１＝０，但这又与ｋ１，ｋ２…ｋｍ不全为零矛盾．因此，向量组Ａ：ａ１，ａ２，…，ａｍ线性无关．

２．６利用向量组在线性空间中象的线性关系判定

线性空间Ｖ中向量组ａ１，ａ２，…，ａｒ线性相关的充

σ（ａ２）…σ（ａｒ）线性相关．因为要条件是它们的象σ（ａ１），

由ｋ１ａ１＋ｋ２ａ２＋…＋ｋｒａｒ＝０可得ｋ１σ（ａ１）＋ｋ２σ（ａ１）＋…＋ｋｒσ（ａｒ）＝００．进而有σ（ｋ１ａ１＋ｋ２ａ２＋…＋ｋｒａｒ）＝０．２．７利用方程组法判定

方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题．对于各分量都给出的向量组ａ１，ａ２，…，ａｓ线性相关的充要条件是以ａ１，ａ２，…，ａｓ的列向量为系数矩阵的齐次线性方程组的有非零解；若齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关．3小结

本文主要对向量组线性相关性的定义以及性质进行了分析，并且给出了一些判定方法，由于向量组的线性相关性是线性代数中一个基础和重点的问题，仅限于这些讨论是远远不够的，还有待我们作进一步的研究．———————————————————————

参考文献：

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