高一数学函数的单调性与反函数(定)

函数单调性与反函数

一、选择题

1. 下列函数中，在(0，2) 上为增函数的是( B )

(A)y=-3x+1 (B)y=|x+2| (C)y=

4

(D)y=x2-4x+3 x

2.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4) 上是减函数，那么实数a 的取值范 围是( B )

(A)[3，+∞ ) (B)(-∞，-3] (C){-3} (D)(-∞，5] 3.已知函数f(x)=2x-mx+3，当x∈(-2，+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2) 时是减函数，则f(1)等于( ) B

2

(A)-3 (B)13 (C)7 (D)由m 而决定的常数． 4.函数f(x)在(-2，3) 上是增函数，则f(x-5)的递增区间是( A ) (A)(3，8) (B)(-7，-2) (C)(-2，3) (D)(0，5) ． 5.函数y=5-4x -x 2的递增区间是( B )

(A)(-∞，-2) (B)[-5，-2] (C)[-2，1]． (D)[1，+∞) ． 6.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意t 都有f(2+t)=f(2-t)，那么( A ) (A)f(2)

(C)f(2)

7. 函数y=f(x)的图象与直线y=x有一个交点，则y=f-1(x)与y=x的交点个 数为( B )

(A)O个 (B)1个 (C)2个 (D)不确定

8. 奇函数y=f(x)(x∈R)的反函数为y=f-1(x)，则必在y=f-1(x)的图象上的点是 ( B )

(A)(-f(a)，a) (B)(-f(a)，-a) (C)(-a，-f(a)) (D)(a，f (a)) 9. 若函数y=f(x)存在反函数，则方程f(x)=2c(c为常数)( C ) (A)有且只有一个实根 (B)至少有一个实根 (C)至多有一个实根 (D)没有实根

1

x+b与g(x)=ax-5互为反函数，则a ，b 的值分别为(A ) 25511

(A)a=2，b= (B)a=，b=2 (C)a=，b=-5 (D)a=-5，b=

2222

-1

10. 函数f(x)=

11. 已知函数y=-4-x 2的反函数f (x)=4-x 2，则f(x)的定义域为(D )

-1

(A)(-2，0) (B)[-2，2] (C)[-2，0] (D)[0,2]

12.如果函数y=f(x)的图象过点(0，1) ，则y=f-1(x)+2的图象必过点(A )

(A) (1,2) (B)(2,1) (C) (0,1) (D)(2,0) 二、填空题

13.函数y=x 2-2x 的单调递增区间是_______________[2,+∞) ；

14.已知函数f(x)=x2-2ax+a2+b，(1)若f(x)在(-∞，1) 上是减函数，则a 的取 值范围是___ a ≥1___；(2)若对于任意x∈R恒有f(x)≥0，则b 的取值范围是__ b ≥0__

15.函数y=3m(x-1)的反函数图象必过定点 _______（1，1）；______

16.函数y=-(x-1)2(x≤O)的反函数为 ___________.y=--x +1 （x ≤-1） 三、解答题 17.求函数f(x)=x+

1

在(0，+∞)上的单调性． x

17. 证明：设x 1，x 2∈(O，+∞)，且x 1

x -x 1111

-x 2-=(x1-x 2)+2=(x1-x 2)(1-) x 1x 1x 2x 2x 1x 2

1

∴当1≤x1l，0

∴1-

11>0,∴(x1-x 2)(1-)

x 1x 2x 1x 2

∴f(x)在[1，+∞]上是增函数． 当0

(x1-x 2)(1-

1

)>0，∴f(x1)>f(x2) ， ∴f(x)在(O，1) 上是减函数． x 1x 2

1

在(0，1) 上是减函数，在[1，+∞) 上是增函数． x

即f(x)=x+

18. 设函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，且有f(2a2+a+1)

a 1717

+)+=2(a+) 2+>0， [1**********]

3a2-2a+1=3(a2-a+)+=3(a-) 2+>0．

39333

18. 解：2a 2+a+1=2(a2+

又∵f(x)在(0，+∞)上是减函数，

∴原不等式可变形为2a 2+a+l>3a2-2a+1． 整理，得a 2-3a(2)求证：f(x)在其定义域内是增函数； (3)求f(x)的值域．

19. 解：(1)要使函数有意义，须l+2x>O，解得定义域为x≥-(2)任取x 1,x 2∈[-1

． 2

1，+∞) ，且x 1

= (x1-x 2)++2x 1-+2x 2= (x1-x 2)+

2(x 1-x 2) +2x 1++2x 2

= (x1-x 2)(1+

2

+2x 1++2x 2

).

∵-

12≤x 10∴f(x1)

1

，+∞]上是增函数． 2

111

(3)由(2)知f(x)min =f(-)=-， ∴y=f(x)的值域为[-，+∞) ．

222

∴f(x)在[-

20. 已知f(x)=f-1(x)=

2x +1

(x≠-a) ，求实数a ． x +a 2x +1

20. 解：由y=，得xy+ya=2x+1，x(y-2)=l-ay,

x +a

x=

1-ax 1-ax 1-ay

．交换x ，y ，得y=， 即f -1(x)= ．又∵f(x)=f-1(x)，

x -2x -2y -2

∴

2x +11-ax 2x +11-ax

==，即，对x≠2的任意实数x 恒成立． x +a x -2x +a x -2

2x

，x∈(-1，+∞)的图象与其反函数y=f-1(x)图象的交点坐标． x +1

2x y

；得xy+y=2x，x(y-2)=-y，x=． x +12-y

∴a=-2． 21. 求函数y=21. 解：由y=

交换x ，y 得y=

2x x 2x x 2x

的反函数为y=．代入y= 得=， x +12-x x +12-x x +1

2x x 212x -4+x +1

++=0， x()=0, x·=0

x +12-x x +1x -2(x +1)(x -2)

x ·

3x -3

=0 ∴x 1=0,x2=1, 0,1∈(-1,+∞)

(x +1)(x -2)

2x

, 得y 1=0,y2=1 x +1

分别代入y= ∴函数y=x 1-x 2)(1-

2x

，x∈(-1，+∞)与其反函数的交点为(0，0) 和(1，1) x +1

1

)>0，∴f(x1)>f(x2) ， ∴f(x)在(O，1) 上是减函数． x 1x 2

1

在(0，1) 上是减函数，在[1，+∞) 上是增函数． x

x +11

，函数g(x)=f-1() ．试判断g(x)在(1，+∞) 上的单调x -1x

即f(x)=x+

22.已知函数f(x)=性，并加以证明． 22. 解:由y=f(x)

x +1y +1, 得yx-y=x+1,x(y-1)=y+1,x=, x -1y -1

交换x,y 得f -1(x)=

x +1

(x≠1) x -1

1+1

1+x x +1x -1+22-11g(x)=f()===-=-=-1- 1x 1-x x -1x -1x -1-1x -2

∴g(x)=-1在(1，+∞)上是增函数．

x -1证明：设1

+1+=- x 1-1x 2-1x 2-1x 1-1

=

2x 1-2-2x 2+2

. ∵10,x2-1>0.

(x 2-1)(x 1-1)

∴

2(x 1-x 2)

(x 1-1)(x 2-1)

-2

-1在区间(1，+∞)上是增函数. x -1

由函数单调性的定义知：g(x)=

1. B ；2.B ；3.B ；4.A ；5.B ；6.A ；7.B ；8.B ；9.C ；10.A ；11.D ；12.A ； 1. 提示：y=|x+2|在[-2，十∞]上是增函数，在(0，2) 上也必定是增函数．故选B ．

2. 提示：∵f(x)=x2+2(a-1)x+2的图象开口向上，对称轴方程为x=1-a，且在区间(-∞，4) 上是减函数, ∴1-a≥4．解得a≤-3．故选B ．

3.提示：∵f(x)在(-2，+∞)上是增函数，在(-∞，-2) 上是减函数,∴f(x)的对称轴方程为x=

m 2

=-2,∴m=-8．这时f(x)=2x+8x+3,∴f(1)=13．故选B ． 4

4.提示：由已知得-2

5.提示：由5-4x-x 2≥O，得函数的定义域为{x|-5≤x≤1}．∵y=5-4x-x2=(x2+4x+4)+9=-(x+2)2+9，对称轴方程为x=-2，抛物线开口向下， ∴函数的递增区间为[-5，-2]．故选B ．

6. 提示：由条件知，抛物线的开口向上，对称轴方程为x=2，因此，离对称轴越远的点对应的函数值越大，∴f(2)

7. 提示：f(x)与f -1(x)的图像关于y=x对称, 且函数y=f(x)的图象与直线y=x有一个交点，则y=f-1(x)与y=x的交点个有一个. 故选B.

8. 提示：∵(a,f(a))在y=f(x)上, 则(f(a),a) 在y=f-1(x)上. ∵y=f(x)(x∈R)是 奇函数. ∴(-a,-f(a)) 在y=f(x)上, 则(-f(a),-a) 在y=f-1(x)上, 故选B.

9. 提示：∵y=f(x)存在反函数. ∴函数y=f(x)的图象上的点一一对应. f(x)=2c,c为常数,2c 为常数, ∴方程f(x)=2c(c为常数) 至多有一个实根. 故选C.

10. 提示：∵（0，-5）在g （x ）上，函数f(x)=反函数，∴（-5，0）在f （x ）上。∴-

1

x+b与g(x)=ax-5互为2

55

+b=0,b=. 由答案知故选A. 22

11. 提示：根据题意4-x 2≥0, ∴-2≤x ≤2. 又∵f -1(x)=4-x 2≥0, 反函数的值域是原函数的定义域. ∴x ∈[0,2]. 故选D.

12. 提示：y=f-1(x)+2是函数y=f-1(x)的图像向上平移二个单位而成, ∵函数y=f(x)的图象过点(0，1), ∴函数y=f-1(x)的图像过(1,0),∴y=f-1(x)+2的图象必过点(1,2). 故选A.

二、填空题

13.[2,+∞) ；14. （1）a ≥1，（2）b ≥0； 15. （1，1）； 16.y=--x +1 （x ≤-1）

13. 提示：由x -2x>O，得函数的定义域为(-∞，0]∪[2，+∞)．又抛物线开

2

口向上，对称轴方程为x=1，故递增区间为[2，+∞]．

14.提示：由已知条件知a≤1．∵f(x)=(x-a)2+b≥0恒成立,∴b ≥0，故(1)填a≤1，(2)填b≥0． 15. 提示：y=3必过(1,1)点.

16. 提示：∵y ≤-1, ∴-y=(x-1)2. ∴x=1±-y , ∵x ≤0, ∴x=1--y . ∴其反函数为y=1--x .

三、解答题

m(x-1)

,x=1时,y=1.∴y=3

m(x-1)

的图像必过(1,1)点. 其反函数图像