数学建模logistic人口增长模型

Logistic 人口发展模型

一、题目描述

建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况. 并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测

的效果好? 并结合中国实情分析原因。

表1 各年份全国总人口数（单位：千万）

二、建立模型

阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数r (x ) 。则它应是减函数。于是有：

dx

=r (x ) x , x (0) =x 0

dt

对r (x ) 的一个最简单的假定是，设r (x ) 为x 的线性函数，即 r (x ) =r -sx

（1）

(r >0, s >0)

（2）

设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量长率

x m ，当x =x m 时人口不再增长，即增

r (x m ) =0，代入（2）式得

s =

r

x m ，于是（2）式为

x ) x m

（3）

r (x ) =r (1-将（3）代入方程（1）得：

x ⎧dx

⎪=rx (1-)

x m ⎨dt

⎪x (0) =x 0

⎩

解得：

（4）

x (t ) =

1+(

x m x m

-1) e -rt x 0

（5）

三、模型求解

用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005;

x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008, 104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];

x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988];

x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104. 357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85, 121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];

dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1);

r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r

x0=61.5;

f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b');

title('1954-2005年实际人口与理论值的比较') x2010=f(2010,xm,r,x0) x2020=f(2020,xm,r,x0) x2033=f(2033,xm,r,x0)

解得：x(m)= 180.9516(千万) ，r= 0.0327/(年),x(0)=61.5

得到1954-2005实际人口与理论值的结果：

根据《国家人口发展战略研究报告》 我国人口在未来30年还将净增2亿人左右。过去曾有专家预测（按照总和生育率2.0），我国的人口峰值在2045年将达到16亿人。根据本课题专家研究，随着我国经济社会发展和计划生育工作加强，20世纪90年代中后期，总和生育率已降到1.8左右，并稳定至今。实现全面建设小康社会人均GDP 达到3000美元的目标，要求把总和生育率继续稳定在1.8左右。

按此预测，总人口将于2010年、2020年分别达到13.6亿人和14.5亿人，2033年前后达到峰值15亿人左右（见图1）。劳动年龄人口规模庞大。我国15-64岁的劳动年龄人口2000年为8.6亿人，2016年将达到高峰10.1亿人，比发达国家劳动年龄人口的总和还要多。在相当长的时期内, 中国不会缺少劳动力，但考虑到素质、技能等因素，劳动力结构性短缺还将长期存在。同时，人口与资源、环境的矛盾越来越突出。

而据模型求解：

2010年人口：x(2010)= 137.0200（千万） 专家预测13.6亿 误差为0.7% 2020年人口：x(2020)= 146.9839（千万） 专家预测14.5亿 误差为1.3% 2033年人口：x(2033)= 157.2143（千万） 专家预测 15亿 误差为4.8% 2045年人口：x(2045)= 164.6959（千万） 专家预测 16亿 误差为4.1%

五、预测

1. 1954-2005总人口数据建立模型：

r=0.0327 xm=180.9516

2010年人口：x(2010)= 137.0200（千万） 专家预测13.6亿 误差为0.7% 2020年人口：x(2020)= 146.9839（千万） 专家预测14.5亿 误差为1.3% 2033年人口：x(2033)= 157.2143（千万） 专家预测 15亿 误差为4.8% 2045年人口：x(2045)= 164.6959（千万） 专家预测 16亿 误差为4.1% 2. 1963-2005总人口数据建立模型：

r=0.0493 xm=150.5261

2010年人口：x(2010)= 134.1612（千万） 专家预测13.6亿 误差为1.4% 2020年人口：x(2020)= 140.0873（千万） 专家预测14.5亿 误差为

3.4%

2033年人口：x(2033)= 144.8390（千万） 专家预测 15亿 误差为3.4% 2045年人口：x(2045)= 147.3240（千万） 专家预测 16亿 误差为7.6% 3.1980-2005总人口数据建立模型：

r=0.0441 xm=156.3297

2010年人口：x(2010)= 135.2885（千万） 专家预测13.6亿 误差为0.5% 2020年人口：x(2020)= 142.1083（千万） 专家预测14.5亿 误差为2.0% 2033年人口：x(2033)= 147.9815（千万） 专家预测 15亿 误差为1.3% 2045年人口：x(2045)= 151.3011（千万） 专家预测 16亿 误差为5.4%

总体来看，1980-2005这一组数据拟合出的人口模型比较好，即与已有数据吻合，又与专家预测误差较小。从历史原因来分析：1954年之后的1959-1961年间，有三年自然灾害故而使得实际人口数据与估计有所偏颇。1960年之后为过渡时期。1983年之后开始实施“计划生育政策”，一直至今，所以1980-2005年间的数据与预测分析最好。