经济数学基础试题及答案
经济数学基础（05）春模拟试题及参考答案
一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．下列各函数对中，（ D ）中的两个函数是相等的．
x 2-1A ．f (x ) =，g (x ) =x +1 B ．f (x ) =x 2，g (x ) =x
x -1
C ．f (x ) =ln x 2，g (x ) =2ln x D ．f (x ) =sin 2x +cos 2x ，g (x ) =1
⎧
2．设函数f (x ) =⎪⎨x sin 2+k , x ≠0
在x = 0处连续，则k = ( C ) ．
⎪x
⎩1,
x =0A ．-2
B ．-1 C ．1 D ．2
3. 函数f (x ) =ln x 在x =1处的切线方程是（ A ）．
A . x -y =1 B . x -y =-1 C . x +y =1 D . x +y =-1
4．下列函数在区间(-∞, +∞) 上单调减少的是（ D ）．
A ．sin x B ．2 x C ．x 2 D ．3 - x 5. 若⎰f (x ) d x =F (x ) +c ，则⎰xf (1-x
2
) d x =（ B ）.
A.
12F (1-x 2) +c B. -1
2
F (1-x 2) +c C. 2F (1-x 2
) +c D. -2F (1-x 2
) +c 6．下列等式中正确的是（ C ）．
A . sin x d x =d(cos x ) B. ln x d x =d(1
x
) C. a x
d x =
1ln a d(a x ) D. 1x
d x =d(x ) 7．设23，25，22，35，20，24是一组数据，则这组数据的中位数是（ A
）．A . 23. 5 B . 23 C . 22. 5 D . 22
8．设随机变量X 的期望E (X ) =-1，方差D (X ) = 3，则E [3(X 2
-2)]== ( C A . 36 B . 30 C . 6 D . 9 9．设A , B 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B ）
) ．
A . (A +B ) -1=A -1+B -1 B . (AB ) -1=B -1A -1
C . (AB T ) -1=A -1(B T ) -1 D . (kA ) -1=kA -1（其中k 为非零常数） 10．线性方程组⎢
⎡11⎤⎡x 1⎤⎡3⎤
． ⎥⎢x ⎥=⎢9⎥满足结论（ D ）
23⎣⎦⎣2⎦⎣⎦
A ．无解 B ．有无穷多解
C ．只有0解 D ．有唯一解
二、填空题（每小题2分，共10分）
11．若函数f (x +2) =x 2+4x +5，则f (x ) = x +1．
-p 2
2
12．设需求量q 对价格p 的函数为q (p ) =100e
，则需求弹性为E p =-
p ． 2
x d x ． 13 d c os x d x =c o s
14．设A , B , C 是三个事件，则A 发生，但B , C 至少有一个不发生的事件表示为
⎰
A (B +C ) ．
15．设A , B 为两个n 阶矩阵，且I -B 可逆，则矩阵方程A +BX =X 的解
X =(I -B ) -1A ．
三、极限与微分计算题（每小题6分，共12分）
x 2+2x -3
16．lim
x →-3sin(x +3)
x 2+2x -3(x +3)(x -1)
解 lim =lim =-4 （6分）
x →-3sin(x +3) x →-3s i n x (+3)
22xy 2
17．设函数y =y (x ) 由方程x +y +e =e 确定，求y '(x ) ．
解 (x ) '+(y ) '+(e ) '=(e ) '
2x +2y y '+e (y +x y ') =0 （3分） [2y +x e ]y '=-2x -y e
xy
xy
xy
22xy 2
2x +y e xy
故 y '=- （6分） xy
2y +x e
四、积分计算题（每小题6分，共12分）
π
18．2x cos 2x d x
⎰0
121
解：⎰2x cos 2x d x =x sin 2x -⎰2sin 2x d x （ 4分）
00202
π
π
π
π
=
19．求微分方程y '+
112
cos 2x =- （ 6分）
240
y
=x 2+1的通解． x 1
解 P (x ) =，Q (x ) =x 2+1
x
-
用公式 y =e =e
⎰x d x
1
⎰d x
[⎰(x +1) e x d x +c ] （2分）
2
1
-ln x
[⎰(x 2+1)e ln x d x +c ]
1x 4x 2x 3x c =[++c ]=++ （6分） x 4242x
五、概率计算题（每小题6分，共12分）
20．设A , B 是两个相互独立的随机事件，已知P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7，求A 与B 恰有一个发生的概率.
解 A 与B 恰有一个发生的事件表示为A B +A B ，则
P (A B +A B ) =P (A B ) +P (A B ) （3分）
=P (A ) P (B ) +P (A ) P (B ) =0. 6⨯0. 3+0. 4⨯0. 7
=0. 46 （6分）
2
. , Φ(2) =0. 9772， 21．设X ~N (2, 3), 求P (-4
Φ(3) =0. 9987）
解 P (-4
-4-2X -25-2
=Φ(1) -Φ(-2) =Φ(1) +Φ(2) -1
=0. 8185 （6分）
六、代数计算题（每小题6分，共12分）
⎡110⎤22．设矩阵A =⎢⎢122⎥，求A -1
．⎢3⎥
⎣01⎥⎦
⎡110100⎤⎡11010解 因为(A I ) =⎢⎢122010⎥→⎢012-11⎢13001⎥⎥⎢⎣0⎦⎢⎣01300⎡110100⎤⎡11000⎤→⎢⎢012-110⎥⎢1
→010-33-2⎥
⎢⎥⎢⎥⎣0011-11⎥⎦⎢⎣0011-11⎥⎦⎡1101
00⎤→⎢⎢010-33-2⎥
⎢0011-11⎥⎣⎥⎦
⎡4-32所以A -1
=⎢⎤
⎢-33-2⎥ ⎢11⎥ ⎣1-⎥⎦
23．设线性方程组
⎧x 1+x 3=2 ⎪
⎨x 1+2x 2-x 3=0
⎪⎩2x 1
+x 2-ax 3=b
讨论当a ，b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.
⎡1012⎤⎡10
12⎤解 因为 ⎢⎢12-10⎥→⎢02-2-2⎥
⎢⎥⎢-2b -4⎥
⎣21-a b ⎥⎦⎢⎣01-a ⎥⎦
⎡ →⎢1012⎤⎢01-1-1⎥ ⎢-a -1b -3⎥
⎣00⎥⎦
所以当a =-1且b ≠3时，方程组无解
0⎤
0⎥1⎥ ⎥⎦ (6分)
（3分）
当a ≠-1时，方程组有唯一解
当a =-1且b =3时，方程组有无穷多解. （6分） 七、应用题（8分）
24．设生产某商品每天的固定成本是20元，边际成本函数为C '(q ) =0. 4q +2（元/单位），求总成本函数C (q ) 。如果该商品的销售单价为22元且产品可以全部售出，问每天的产量为多少个单位时可使利润达到最大？最大利润是多少？
解 C (q ) =
⎰
q
(0. 4t +2) d t +C 0=0. 2q 2+2q +20 （2分）
又R (q ) =22q
于是利润函数 L =R -C =20q -0. 2q 2-20， （4分） 且令 L '=20-0. 4q =0
解得唯一驻点q =50，因为问题本身存在最大值. 所以，当产量为q =50单位时，利润最大. （6分） 最大利润 L (50) =20⨯50-0. 2⨯502-20=480（元）． （8分）
八、证明题（本题4分）
25．设A 是m ⨯n 矩阵，试证明AA 是对称矩阵．
证 因为(AA ) =(A ) A =AA ，
所以AA 是对称矩阵。 （4分）
T
T
T T T T T T
经济数学基础模拟试题参考答案及评分标准
（供参考） 一、 单项选择题（每小题3分，共30分）
1．D 2. C 3. A 4. D 5. B 6. C 7. A 8. C 9. B 10. D 二、填空题（每小题2分，共10分）
11. x +1 12. -
2
p
13. cos x d x 14. A (B +C ) 15．(I -B ) -1A 2
三、极限与微分计算题（每小题6分，共12分）
x 2+2x -3(x +3)(x -1)
16．解 lim =lim =-4 （6分）
x →-3sin(x +3) x →-3s i n x (+3)
17．解 (x 2) '+(y 2) '+(e xy ) '=(e 2) '
2x +2y y '+e xy (y +x y ') =0 [2y +x e xy ]y '=-2x -y e xy
y '=-2x +y e xy
故 2y +x e
xy
四、积分计算题（每小题6分，共12分）
π
π
π
18． 解：⎰02x cos 2x d x =121
2x sin 2x -2
⎰2sin 2x d x 00π
=
14cos 2x 2
=-1 0
2 19．解 P (x ) =1x
，Q (x ) =x 2
+1 用公式 y =e -
⎰1
x
1
x d [⎰(x 2
+1) e ⎰x d x
d x +c ] =e
-ln x
[⎰(x 2+1)e ln x d x +c ]
=1x 4x [4+x 22+c ]=x 34+x 2+c x
五、概率计算题（每小题6分，共12分）
20． 解 A 与B 恰有一个发生的事件表示为A B +A B ，则
P (A B +A B ) =P (A B ) +P (A B ) =P (A ) P (B ) +P (A ) P (B ) =0. 6⨯0. 3+0. 4⨯0. 7
=0. 46 21．解 P (-4
3
) （3分） 6分） （ 4分） （ 6分）
（2分）
（6分） （3分）（6分） （
=Φ(1) -Φ(-2) =Φ(1) +Φ(2) -1
=0. 8185 （6分）
六、代数计算题（每小题6分，共12分）
⎡110100⎤⎡110100⎤⎢⎥⎢⎥22．解 因为(A I ) =122010→012-110 ⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣013001⎥⎦⎣013001⎥⎦00⎤00⎤⎡1101⎡1101
⎥→⎢010-33-2⎥
→⎢012-110⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣0011-11⎥⎦⎣0011-11⎥⎦00⎤⎡1101
⎥
→⎢010-33-2⎢⎥⎢⎣0011-11⎥⎦
⎡4-32⎤
⎢⎥-1
所以A =-33-2 (6分)
⎢⎥⎢⎣1-11⎥⎦12⎤⎡1012⎤⎡10⎢⎥⎢⎥
-2-223．解 因为 12-10→02⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎣21-a b ⎥⎦⎣01-a -2b -4⎥⎦
12⎤⎡10⎢⎥ （3分）
-1-1 →01⎢⎥
⎢⎣00-a -1b -3⎥⎦
所以当a =-1且b ≠3时，方程组无解 当a ≠-1时，方程组有唯一解
当a =-1且b =3时，方程组有无穷多解. （6分） 七、应用题（8分） 24. 解 C (q ) =
⎰
q
(0. 4t +2) d t +C 0=0. 2q 2+2q +20 （2分）
又R (q ) =22q
于是利润函数 L =R -C =20q -0. 2q -20， （4分） 且令 L '=20-0. 4q =0
解得唯一驻点q =50，因为问题本身存在最大值. 所以，当产量为q =50单位时，利润最
2
大. （6分） 最大利润 L (50) =20⨯50-0. 2⨯502-20=480（元）． （8分）
八、证明题 （本题4分）
25．证 因为(AA T ) T =(A T ) T A T =AA T ，
所以AA 是对称矩阵。 （4分）
T
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