空间向量与立体几何高考真题

第三章空间向量与立体几何高考真题

1．(2011·课标全国卷) 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .

(1)证明：P A ⊥BD ；

(2)若PD ＝AD ，求二面角A - PB - C 的余弦值．

2．(2011·北京高考) 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°.

(1)求证：BD ⊥平面P AC ；

(2)若P A ＝AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值；

(3)当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求P A 的长．

3．(2011·山东高考) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四

边形，∠ACB ＝90°，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，FG ∥BC ，

EG ∥AC ，AB ＝2EF .

(1)若M 是线段AD 的中点，求证：GM ∥平面ABFE ；

(2)若AC ＝BC ＝2AE ，求二面角A -BF -C 的大小．

4．(2011·辽宁高考) 如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，

1PD ∥QA ，QA ＝AB . 2

(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；

(2)求二面角Q - BP - C 的余弦值．

5．(2011·天津高考) 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝2，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H 5.

(1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值；

(2)求二面角A -A 1C 1B 1的正弦值．

6．(2011·浙江高考) 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.

(1)证明：AP ⊥BC ；

(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A -MC -B 为直

二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．