抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点

结论1：AB=x1+x2+p

pp

)+(x2+)=x1+x2+p 22

2p

结论2：若直线L的倾斜角为θ，则弦长AB=

sin2θAB=AF+BF=(x1+

证: (1)若θ=(2)若θ≠

π

2

时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,∴AB=2p∴结论得证

π

2

时,设直线L的方程为：y=(x-

pp

)tanθ即x=y⋅cotθ+ 代入抛物线方程得22

y2-2py⋅cotθ-p2=0由韦达定理y1y2=-p2,y1+y2=2pcotθ

由弦长公式得AB=+cotθy1-y2=2p(1+cotθ)=结论3： 过焦点的弦中通径长最小

2

2

2p

2

sinθ

sin2θ≤1∴

2p

≥2p ∴的最小值为2p,即过焦点的弦长中通径长最短.

sin2θ

S2∆oABp3

结论4： =(为定值)

AB8

11OF⋅BF⋅sinθ+OF⋅AF⋅sinϑ22

111p2pp2

=OF⋅(AF+BF)sin θ=OF⋅AB⋅sinθ=⋅⋅2⋅sinθ=

2222sinθ2sinθ2S∆P3OAB∴=

AB8

S∆OAB=S∆OBF+S∆0AF=

p2

结论5： (1) y1y2=-p (2) x1x2=

4

2

y1y2(y1y2)2P2

证 x1= ,x2=,∴x1x2==2

2p2p44P

22

结论6：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切

证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1， 过B点作准线的垂线BB1， 过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 MM1=

AA1+BB1

2

=

AF+BF

2

=

AB2

故结论得证

结论7：连接A1F、B1 F 则 A1F⊥B1F

AA1=AF,∴∠AA1F=∠AFA1 AA1//OF∴∠AA1F=∠A1FO∴∠A1FO=∠A1FA

同理∠B1FO=∠B1FB∴∠A1FB1=90︒ ∴A1F⊥B1 F 结论8：（1）AM1⊥BM1 （2）M1F⊥AB （3）M1F

2

=AF⋅BF

（4）设AM1 与A1F相交于H ，M1B与 FB1相交于Q 则M1，Q，F ，H四点共圆 （5）AM1

2

+M1B=4M1M

22

证：由结论（6）知M1 在以AB为直径的圆上∴ AM1⊥BM1

∆A1FB1为直角三角形， M1 是斜边A1 B1 的中点 ∴A1M1=M1F∴∠M1FA1=∠M1A1F ∠AA1F=∠AFA1

∠AA1F+∠FA1M1=∠AA1M1=90︒ ∴∠AFA1+∠A1FM1=90︒

∴M1F⊥AB

2

∴M1F

=AF⋅BF AM1⊥BM1 ∴∠AM1B=90︒又 A1F⊥B1F

2

∴∠A1FB1=90︒ 所以M1，Q，F,H四点共圆，AM1

=AF+BF

+M1B=AB

2

22

()=(AA

2

1

+BB1)=(2MM1)=4MM1

2

2

结论9： （1）A、O、B1 三点共线 （2）B，O，A1 三点共线

（3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于X轴

（4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于X轴

证：因为koA=

y1yy2y2p=12=,koB1=2=-2，而y1y2=-p2

px1y1py1

-22p2y22p

（3）（4） =-=koB1所以三点共线。同理可征（2）2

p-p

y2

所以koA=

结论10：

112+= FBp

证：过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与x轴交点为

L的倾斜角为θ E,因为直线

则ER=EF+FR=P+AFcosθ=AF∴AF=

P11-cosθ

∴ =

1-cosθAFP

同理可得

11+cosθ112

∴=+=

BFPFAFBp

结论11：

AFAE

= (3) KAE+KBE=0 (1) 线段 EF平分角∠PEQ (2)

BFBE

(4) 当θ =

π

2

时 AE⊥BE , 当θ ≠

π

2

时 AE不垂直于BE

证: BB1//EF//AA1∴

B1EEA1

=

BFFA

BF=B1B,=A1A∴

B1EEA1

=

B1BA1A

∠AA1E=∠BB1E=90︒∴∆A1EA相似于∆B1EB ∴∠A1EA＝∠B1EB

∠AEF＋∠A1EA＝∠BEF＋∠B1EB＝90︒∴∠AEF＝∠BEF即EF平分角∠PEQ

∴

BF

=

AEBE

直线AE和直线BE关于X轴对称∴KAE＋KBE＝0

(4)当θ = 当θ≠

π

2

时，AF＝EF＝FB ∴∠AEB＝90︒

π

⎛p⎫

时，设直线L的方程为y=k x-⎪ 将其代入方程y2=2px

2⎝2⎭

2

2

k2p2pk2+2

得kx-p(k+2)x+=0 设A(x1,y1),B(x2,y2) 则x1+x2= 2

4k

2

()

y1y2p2

⋅=-1 x1x2= 假设AE⊥BE则 KAE⋅KBE＝－1 ∴

pp4x1+x2+22

p⎫⎛p⎫p⎫⎛p⎫⎛p⎫⎛p⎫⎛⎛

即y1y2=- x1+⎪ x2+⎪ ∴k x1-⎪ ⋅k x2-⎪=- x1+⎪ x2+⎪

2⎭⎝2⎭2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝⎝pp22p22p2k2+2k2-12

∴k+1x1x2-(x1+x2)k-1+k+1=0∴k+1=

2422k2

(

2

)()()()

()()

∴-2=0∴不可能∴假设错误∴结论得证

111

+= 结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则 |AB||CD|2p

推广与深化：

深化 1：性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E（a,0），则有y1y2=-2pa．

22

证：设AB方程为my=x-a，代入y=2px．得：y-2pmy-2ap=0，∴y1y2=-2pa．

|FR|1

=|AB|2 深化2： 性质12中的条件改为焦点弦AB不垂直于x轴，AB的中垂线交x轴于点R，则

p

y=tga(x-)

2， 证明：设AB的倾斜角为a，直线AB的方程为：p2

tga(x-px+)=2px2

4 代入y=2px得：，

2

2

p2

x-x(p+2pctga)+=0

4 即：．

2

2

由性质1得

|AB|=x1+x2+p=2p+2pctg2a=

2p

sin2a，

x1+x2p

-

pctg2a22|FM|=||=||

cosacosa， 又设AB的中点为M，则

pctg2ap|FM|

|FE|==||=

|cosa|cos2asin2a， ∴

|FR|1=

∴|AB|2．

⋯

深化3：过抛物线的焦点F作n条弦A1B1、A2B2、AnBn，且它们等分周角2π，则有

n

1

n

1

（1）

∑

i=1

|AiF|⋅|FBi|为定值； （2）

∑i=1

|Ai

B

i

|为定值．

p

证明：（1）设抛物线方程为

=

1-cosθ,∠A1Fx=a

．

由题意

∠A2Fx=a+

π2πnn,∠A=a+⋯n∠AFx=a+-1

3Fxnnπ，

11-cosa1-cos(π+a)1-cos2asin2 所以|A1

F|⋅|FB1|=p⋅p=ap2

=p2， 1sin2(a+π)sin2(a+n-1

π)

同理|A2F|⋅|FB2|=np2

,⋯,1|AnF|⋅|FBn|=np2

易知

sin2a+sin2(a+πn)sin2(a+2πn-1nn)+⋯+sin2(a+nπ)=

2， 2

sin2(a+π)sin2n-1

n

1sina⋯(a+π)

|AF|⋅|FB=p2+p2++n ∴

∑

i=1

p2=ii|2p2．

|A （2）∵1B1|=

p1-cosa+p1-cos(π+a)=2p1-cos2a=

2p

sin2a，

1

2

sin2(a+

n-1

nπ) ∴|A1B=

sina2p,⋯,1

1|

|A=nBn|

2p，

1sin2

asin2(a+π)sin2(a+n-1

n

π)

∴

∑

i=1

|A|=2p+n2p+⋯+n2p=niBi4p．