抗旱方案的制定

抗旱方案的制定

谭槿沁 刘晶 张曦

摘 要：本文对从2010年起三年的打水和铺设管道计划建立了数学模型。首先根据现有各井在近几年的产水量，用matlab拟合、回归分析，从而预测出了旧井在2010年到2014年五年的产水量，为接下来计算提供了重要数据。接着，在模型建立部分，重点运用0-1变量优势，解决了在函数建立过程中的打井计划的设立，在满足最低需水量的限定条件下，结合lingo12.0软件求解，最后得出了在总费用最小的前提下的打井和铺设管道这一非线性规划和优化配置问题。

关键词：优化配置 非线性规划 0-1规划 回归分析

1 问题的提出

为了使得总开支进量节省，在满足每年最低需水量的前提下，设定打井和铺设管道计划。为得出结果，一方面我们需要知道旧井在以前年份的产水量预测其在今后五年的产水量；另一方面，我们还需要解决实行怎样的施工方案，即每一年该打哪些井、何时开始铺设管道和每年铺设多少管道，使得费用最低和在每口井产水量逐年递减的情况下，总产水量接近最低需水量。

2 问题的分析

在建立函数的过程中，我们最大的问题是每年打哪些井如何在函数中体现，因此需要引出0-1整数规划；其次，为预测以后年份旧井的产水量，需要先对以前年份的产水量进行数据拟合，预测水量变化函数，再进行matlab回归分析，得出此函数，以此来预测以后年份的产水量。

3 模型假设和符号系统 3.1 模型假设

（1）每年旧井供水量参考拟合结果；

（2）每年新打井的年产水量以平均每年10%的速率减少； （3）管道修好之后的年供水量不会因客观原因而发生变动； （4）不考虑小蓄水池等其他水资源的作用和划款的利息；

3.2 符号系统

xij表示每年打每个位置上的井与否，xij=0,1，i=1,2,3，j=1,2…8; cj表示某个位置打井费用，j=1,2…8;

Ck表示每年打井所需总费用，k=2010,2011,2012,2013,2014; Sj表示某个位置打井后当年产水量； Q为管道铺设完毕之后每年最少供水量；

Li为每年的管道铺设量，i=1,2,3,且L1+L2+L3=20； Mi表示每年旧井的估计供水量，i=1,2,3,4,5； Di表示每年保证村民的最少用水量，i=1,2,3,4,5；

4 模型的建立 4.1 数据分析

由于近年来环境破坏，经常是一连数月滴雨不下，这些小蓄水池的功能完全丧失。而现有的四口水井经过多年使用后，年产水量也在逐渐减少，在表1中给出它们在近9年来的产水量粗略统计数字。我们根据这些统计数据用Matlab7.1进行拟合，并得到回归曲线，进行优度分析，最后预测2010~2014年的四口井的产水量。

预测过程如下：

1号井拟合曲线：y1=-1.02x+2436.8

2号井拟合曲线：y2=-0.03106x3+187.2x2-375900x+2.517*108 3号井拟合曲线：y3=-2.085x+4200

4号井拟合曲线：y4=-0.1773x3+1067x2-2.142*106x+1.433*109

根据拟合系数,R-square越大拟合度越好，adjrsquare越大越好，这四号井的拟合系数都达到0.99以上，接近1.。可见上述四个拟合曲线达到了很好的优度。 此外，我们发现4号井可用一元四次不等式拟合，它的优度稍大于用3次拟合的。但由于其震荡性较大，在预测2010年时产水量反而增多，不符合要求，故舍去。 预测2号井和4号井的2010年以后产水量都为负数，结合实际，可知这两口井在2010年已经枯竭，不能产水了。

4.2．建立模型 (1)先考虑目标函数

通过题目的分析可知，抗旱计划所需的总开支应尽量节省，而这个三年计划包括打井和铺设管道两部分，从而，三年总的打井费用和铺好管道费用之和为最少才最优。因此，目标函数可以设为：

min(0.66*20*Q^0.51+C2010+C2011+C2012) （2）再考虑约束条件 分两部分考虑约束条件

一部分：从2010年起，每年政府至多提供60（万元）用于打井和铺设管道，故： 利用0-1规划在lingo中解决每年是否打1到8个位置中哪口井的问题，从而保证村民的用水量并使得支出最少。每年费用函数：

∑cjxij+0.66Q

j=1

8

0.51

Li≤60 （1）

其中：

∑cjxij=Ck （2）

j=18

二部分：解决村民喝水难的途径有两条，一条是打新井，另一条是从村外河流引水。每年打新井需要开支，同时打好后能喝上新井的水；管道在三年内铺设完毕，第四年开始供水。考虑前三年饮水情况，旧井勉强供水量和新井打好后的供水量

满足每年所需最少水量；从长远考虑，第四年和第五年的供水量要得到保证，那么在前三年的基础上再加上管道铺设好之后村外引水量要满足村民用水量。每年需要用水量函数：

前三年： Mi+∑0.93-ixijSj>Di(i=1,2,3) （3）

i=143

第四年： M4+∑0.94-ixijSj+Q>D4(i=1,2,3) (4)

i=15

第五年： M5+∑0.95-ixijSj+Q>D5(i=1,2,3) (5)

i=1

综合目标函数和五类约束条件，可得最终模型，即：

min(0.66*20*Q^0.51+C2010+C2011+C2012)

s.t

∑cjxij+0.66Q

j=18

8

0.51

Li≤60

∑cjxij=C

j=1

3

k

Mi+∑0.93-ixijSj>Di(i=1,2,3)

i=14

M4+∑0.94-ixijSj+Q>D4(i=1,2,3)

i=15

M5+∑0.95-ixijSj+Q>D5(i=1,2,3)

i=1

4．3模型求解和结果分析

通过lingo求解，结果见附录，具体为：三年所需最少费用为171（万元），每年所需费用分别是：22（万元） 5（万元） 144（万元），其中第一二年不铺管道，第三年一年铺好，管道费用是139（万元）。这里解释一下第三年的总费用，虽然超过了每年最少划款，但是往年剩余划款累积可达93（万元），再加上60（万元）的最高划款限度，可以满足第三年的总支出。

因为结果显示第三口井在第一年和第二年，第六口井在第一年和第三年中都重复被开采，故将三年打某口井进行微调，最终结果如下：

第二年由打第三口井变为打第五口，第三年由打第六口井变为打第七口井，产水量可以满足村民需求，第二年的费用增加一万。综上所述，在满足每年村民用水需求的前提下，三年抗旱计划所需费用为172万元。

5 模型的评价改进和推广

本题属于资源的优化配置中的非线性规划，在做题的过程中我们深深体会到方法的选决定着解决问题的难易程度，最终我们采用了0-1整数规划，才使得问题迎刃而解，虽然方法简单，但解题过程复杂，表现在，在运用lingo12.0时，没有定义集合，因此使得变量太多，书写过程显得复杂，这在某些数据庞杂的模型中不适用。

资源优化和非线性规划都是现实社会生产决策过程中遇到的重要问题，一方面，本题使用的matlab数据拟合和回归分析同样适用于对其他模型的数据分析和预测；另一方面，0-1整数规划可以量化的描述诸如开与关、取与弃、有与无等现象所反映的离散变量间的逻辑关系、顺序关系以及互斥的约束条件 ，因此0-1规划非常适合描述和解决如线路设计 、工厂选址 、生产计划安排、旅行购物、背包问题、人员安排、代码选取、可靠性等人们所关心的多种问题。

参考文献：

[1]何皙明,罗佑新.最低成本工艺lingo模型优化方法.现代制造工程，2002年03期 [2]刘淑荣，潘莹.基于0-1整数线形规划的运动项目排序问题及Lingo软件实现。长

春工程学院学报（自然科学版），2006年04期

附件：0-1guihua过程

0-1guihua结果

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