直线和圆的位置关系典型习题

直线和圆的位置关系典型习题

1. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线垂直于D ， BE 和过点C 的切线垂直于E

求证：（1）AC 平分∠DAO （2）BC 平分∠EBO （3）DC = CE

（4）AD + BE = AB（5）△ADC ∽△ACB （6）△CEB ∽△ACB （7）AC 2 = AD·AB （8）BC 2 = BE·AB

2. 已知：PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，C 为优弧AB 上一点，D 为劣弧AB

上一点。求证：（1）∠D = 90°+

⋂

⋂

11∠P （2）∠C = 90°－ ∠P 22

2

⎛1⎫

3. 如图，两个同心圆，大圆的弦AB 和小圆相切，AB = a求证：圆环的面积 = π a ⎪

⎝2⎭

4. 已知：AB 为⊙O 直径，AD ∥BC ，∠B = 90°，DC 切⊙O 于E

求证：（1）CD = AD + BC（2）∠COD = 90°（3）OE 2 = AD·BC （4）连结AC 、BD ，交于点F ，则EF ∥BC

D （5）延长EF 交AB 于G ，则GF = EF

E

C

B

C

5.Rt △ABC 中，∠B = 90°，AB = 6，BC = 8，则△ABC 的内切圆半径为___________，△ABC 的外接圆半径为___________。

6. 已知PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，E 为劣弧AB 上一点，过E

C 、交PB 于D 。 （1） 若PA = 6，求△PCD 的周长。

（2） 若∠P = 50°求∠DOC

7. 已知圆外切四边形ABCD ，则AB ︰BC ︰CD ︰DA = 6︰4︰5︰_____。

（已知圆内接四边形ABCD ，则∠A ︰∠B ︰∠C ︰∠D = 2︰3︰4︰__）

8. 已知△ABC 中，AB=AC=13，△ABC 的面积为60，求△ABC 内切圆直径 （此题两个结果，可用相似求，也可利用S △=

1

C △·r ） 2

9. 已知：如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，AC 为⊙O 直径 求证：（1）PO ∥BC （2）△ABC ∽△PBO （3）PO ·BC = 2OB2（ 4）AE =BE （5）E 为△PAB 的内心

10. 如右图，点I 是△ABC 的内心，AI 交边BC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E 。 求证：（1）BE = IE（2）IE 2 = DE·AE

⋂

⋂

C

E

11、等边三角形的边长为2，则它的内切圆半径为______，外接圆半径为______，高线为_______。 12、在△ABC 中，∠A 的平分线AE 交BC 于D ， 交△ABC 的外接圆于E 。 （1）连结BE 、CE ，图中有哪些相等的角？ 有哪些相等的线段？并证明： ①△ADC ∽△BDE ∽△ABE ②△ABD ∽△CED ∽△AEC

（2）过E 作圆的切线MN ，交AB 的延长线于M ，交AC 的延长线于N ，证明：MN ∥BC （3）过B 作圆的切线BF ，证明：BE 平分∠DBF

（4）过A 作圆的切线AG ，交BC 的延长线于

G ， 证明：△AGD 为等腰三角形。

A

G C C B C D N E

E E E

(1)

(2) (3) (4)

13、已知：AD 切△ABC 的外接圆于A ，交BC 的延长线于D ，DF 平分∠ADB ，分别交AC 、AB 于E 、F 。 求证：（1）DC ︰DB = AC2︰AB 2（2）AE = AF （3）图中共有多少组相似三角形（4）AE 2 = CE·BE

D B

C

14、过⊙O 内部或外部的一点P 作⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点。 求证：PA ·PB = ∣OP 2 － r 2∣（r 为⊙O 的半径）

15、半径为5的⊙O 中，半径OC 垂直于直径AB ，割线PC 交⊙O 于D ，交AB 的延长线于P ，若CD = 25， 分别求PC 、PB 、BD 的长（两种方法：①列方程，②作OE ⊥PC 于E ） O

16、已知：AB 为⊙O 直径，∠BAC = 20°，D 为AC 的中点， ED 切⊙O 于D ，求∠EDA

17、延长⊙O 的直径AB 到P ，使PB = OB，过P 作PC 切⊙O 于C ，过B

，交PC 于D 。

（1） 求∠P 、∠A 的度数 （2） 求CD ︰DP

A

O

18. 已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，O C ∥AD ，（1）求证：DC 是⊙O 的切线，（2）

2

若⊙O 的半径为R ，求证：A D ×OC=2 （3）若BC=6，⊙O 的半径为3. 求AD 的长。（4）设OC 交⊙O 于N ，当A E ：A O 等于多少时，四边形AOND 菱形，请说明理由。

19. 如图△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，D E ⊥AC 于E ，交BA 的延长线于H 。

P B

R

（1）求证：DE 是⊙O 的切线，（2）若AH=

5

，ta n ∠FBD=, 求⊙O 的直径。（3）试探究①四边形AEFG

33

的形状。②BD ，BA ， BF 三条线段之间的关系式，③过H 作∠DHB 的平分线交BC 于M ，当AB 的长度变

化时H 在直线AB 上的位置也发生变化，试问∠HMD 的大小是否发生变化，若不发生变化，求出∠HMD 的度数；若发生变化，请说明理由。（4）AH=

51

，ta n ∠FBD= , 求BG 的长度. 32

20. 如图以Rt △ABC 的直角边AC 为直径的⊙O 交斜边AB 于D ，过O 作O E ∥AB ，交BC 于E （1）求证：DE 是⊙O 的切线，（2）CE=BE（3）如果⊙O 的半径为

3

，ED=2求AB 的长。（4）当∠BAC 为2

多少度时，AOED 为平行四边形？（5）在（4）的条件下，探索CODE 的形状。

21. 如图AB=AC , ∠ABC =90, 以AC 为直径作⊙O ，CO 与⊙O 交于D ，AD 交BC 于E ，F 是BE 的中点，（1）判断DF 与⊙O 的位置关系。（2）下列四个结论①④DF=

22. 已知点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，DA=DC，AC ，BD 相交于E ，DE=

CD

2

=CE ×CB ②4

EF

2

=ED×EA ③∠OCB=∠EAB

1

CD 其中正确结论是 2

11

EB ，延长BA 至F ，使AF=AB ，22

连接DF （1）BD 平分∠ABC （2）若DE=3，求AB 的长 {3}试判断DF 与⊙O 的位置关系（4）求∠F 的正弦

值 （5）探索ABCD 与BODC 的形状

C

23、 如图AB 是⊙O 的直径，AC=CE，CD ⊥AB 于D ，AE 交CD 于F ，交BC 于K 。 （1）求证：AF=CF （2）若ta n ∠ECA=

3 4

CD=2，求⊙O 的直径 （3）连接OF ，试判断OF 与BK 之间的关系 （4）写出图中至少三个不同的比例式或乘积式，并选择一个证明。

D

24. 在△ABC 中AB=AC，O 为AB 的中点，以O 为圆心，OB 为半径的圆交BC 于D ，过D 作DE ⊥AC 于E （1）求证：DE 是⊙O 的切线 （2）若点O 沿AB 向点B 运动，其它条件不变，那么DE 与⊙O 有什么位置关系？并证明（3）若AB=AC=5，SinA=

3

，那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O 与AC 相切？请说明理由 5

B

8知△ABC 内接于以AB 为直径的⊙O 过C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于D ，DA ：AB=1：2 （1）求∠CDB 的度数 （2）在切线DC 上截取CE=CD，连接EB ，判断EB 与⊙O 有什么位置关系？并证明 （3）利用图中已标明的字母，连接线段，指出至少5对相似三角形（不包含全等，不需要证明）

E

25．如图A 为⊙O 的直径EF 上的一点，OB 是和这条直径垂直的半径，BA 和⊙O 相交于另一点C ，过C 的切线交EF 的延长线于D ，（1）求证：①DA=DC ②AbxAC=AExAF (2)当DF ：EF=1：8且DF=2时，求ABxAC 的值 （3）现将直径EF 所在的直线向上平移到如图所示的位置其它条件不变，试猜想DA=DF是否仍然成立？

⌒

26、如图1，AB,AC 分别为⊙o 的直径和弦，D 为BC 的中点，过点D 的切线与AC 的延长线相交于点E 。 ⑴求证：DE ⊥AC ； ⑵求证：AD =AE·AB ；

⑶试判断EA,EC,ED 三条线段之间的数量关系，并证明； ⑷过点D 作DF ⊥AB 于F ，如图2， 求证：EC ·EA ﹦AF ·BF ；

B

图一

2

A

B

图二

27、如图1，已知AB 是⊙o 的直径，延长AB 到D ，过D 作⊙o 的切线DC ，C 为切点。 DB BC 2

⑴求证：DC =DA·DB ；⑵如图2 ＝ ；

AC DA

2

⑶若D C ＝6，

1BC

＝，求AB 的长； AC 2

1OF

⑷如图3，过点C 作C G ⊥AB 于F ，交⊙o 于G ，若＝，BD=9,求 ⊙o 的半径及SinD ；

FB 2

A

图二

图一

图三

28、已知：AB 是⊙o 的直径，BC 是切线，切点为B ，DC 是⊙o 的切线。 ⑴求证：O C ∥AD ；

⑵若圆的半径为R, 求证：A D ·C O ﹦2R 2；

⑶在⑵的条件下，若O A ﹦2，A D ﹢O C ﹦6，求CD 的长；

⑷延长 CD ，BA 相交于点E ，若E A ﹦1，E D ﹦2，求tan ∠EDA ； ⑸若AD ﹦2, DC ﹦，求tan ∠EDA ； ⑹若AE ﹦3, CD:DE﹦2：3，求 ⊙o 的半径；

⑺若BC ﹦6, ⊙o 的半径为3，求AD 的长；

C

⑻若AB ﹦BC ﹦2, 求ED:EC； B B

A

29、如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点F ，E 为AC 上一点，EF 是⊙O 的切线，E 为AC 的中点。

﹙1﹚求证：AC 是⊙O 的切线； ﹙2﹚求证：A F ·AB=4EF2 ；

﹙3﹚连接OE ，若四边形OEFB 是平行四边形，求Si n ∠ABE 的值；

A

F

E E C C B O

30、△ABC 是⊙o 的内接三角形，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E 。 ⑴求证：A B ·A C ﹦A D ·AE ；

2

⑵求证：BD ﹦D E ·DA ；

2

2

⑶求证：AD ﹣BD ﹦A B ·AC ；

2

⑷求证：AE ﹢B E ·E C ﹦A B ·AC ；

C

C

D

D

31、如图，四边形ABCD 内接于⊙o ，过点C 的直线分别交AB 、AD 于F 、H ，AC 平分∠BAD ，H F ∥BD 。 ⑴求证：FH 是⊙o 的切线；

22

⑵求证：BC ﹦C E ·CA ；⑶求证：CD ﹦AB ·DH ；

⑷若I 是△ABD 的内心，试判断CI 、CE 、CA 之间的数量关系，并证明；

D

F H C C H F F C H

32﹒AB ﹦AC, 以AB 为直径⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E 。 ﹙1﹚求证：D E ﹦

1

BC 。 2

B

﹙2﹚已知AB ﹦5cm ，DE ﹦3 cm，求BE 的长。 ﹙3﹚过点D 作DF ⊥AC, 求证：F 是CE 的中点。

2

﹙4﹚在⑶的条件下，求证：BC ﹦4CF ·CA 。 ﹙5﹚若AB ︰BC ﹦5︰6,AE ﹦7, 求CF 的长。

D C

B

D C

33、已知A D ∥BC, ∠BCD ﹦90, 以AB 为直径的⊙O 与DC 相切于点E ，交BC 于F 。

﹙1﹚求证：AE 平分∠BAD 。﹙2﹚求证：AD+BC=AB。﹙3﹚求证：点E 是DC 的中点。

2

﹙4﹚试判断AD 与FC 的关系，并证明。﹙5﹚求证：DC =4AD·BC 。 ﹙6﹚试判断AD ，AE,AB 三条线段之间数量的关系，并证明。

E

C B B

E

C

34、如图，割线ABC 与⊙O 相交于B,C 两点，D 为⊙O 上一点，A C ⊥OE 于F ，DE 交AC 于G ，∠ADG =∠AGD, ﹙1﹚求证：AD 是⊙O 的切线。﹙2﹚试探究线段AD,AB,AC 之间的数量关系，并证明。 ﹙3﹚若AB=2,AD=4,EG=2, 求⊙O 的半径。

E

E

A A

⌒⌒

35、如图BC 为半园O 的直径，A D ⊥BC, AB=AF,BF 和AD 交于E 。

OD ED

﹙1﹚求证：AB 2=BE ·BF 。﹙2﹚求证： 。﹙3﹚连接OE, 试判断OE 与MC 的关系，并证明。

OC AE

B

D

O

C

B

D

O

C

⌒

36、△ABC 是⊙O 的内接三角形，D 是BAC 的中点，延长DA,CB 相交于点G 。﹙1﹚求证：A B ·A C ﹦A D ·AG 。 ﹙2﹚若AC 为⊙O 的直径，∠EA G ﹦1200,B C ﹦6, 求AG 的长。﹙3﹚在②的条件下，求证：BC ﹦D A ·DG 。

37、已知，⊙o 的内接四边形是ABCD ，对角线AC 与BD 互相垂直于点E 。 ﹙1﹚连接AO 并延长，交⊙o 于点F ，求证：A B ·A D ﹦A E ·AF 。 ﹙2﹚若AF 与BD 相交于点M ，求证：A B ·B F ﹦A C ·BM 。

﹙3﹚过点O 作O N ⊥AB 于N ，试判断ON 与CD 之间的数量关系，并证明。

D

D D

F C F C F C

38、如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为割线，∠APC 的平分线交AB 于E ，交AC 于F, 交⊙O 于Q 。 (1) 求证；∠PAE =∠C 。 （2）求证：AE=AF。

2

AB 2PB AF PA

(3)求证： = (4)求证： =

AC PC FC PC

G