考虑泊松比的巴西试验拉伸强度公式修正

考虑泊松比的巴西试验拉伸强度公式修正

喻勇1，吴顺川2

（１西南交通大学应用力学与工程系，成都，四川，６１００３１）　

（２北京科技大学土木与环境工程学院，北京，１０００８３）　

[email protected]

摘要：目前人们使用了近３０年的巴西圆盘试样拉伸强度公式是不完全正确，分析指出泊松比是影响试样应力分布的一个因素。采用三维有限元分析软件Ｍａｒｃ，对高径比为１的巴西试验试样进行了８种泊松比（0~0.4）条件下的应力分析。结果表明，泊松比越大，试样内的拉应力范围越大，试样端面上的拉应力也越大。根据有限元分析结果，拟合出了试样高径比为１时，包含泊松比的巴西试验拉伸强度计算公式。

关键词：泊松比，巴西试验，拉伸强度，三维有限元，岩石，Ｍａｒｃ

１　前言　

已有的研究表明，对于巴西圆盘试样，不同横截面上的应力分布规律是相似的，但是应

力沿着厚度是有变化的，越接近试样端面，水平拉应力值越大，详情见作者的文章[1,2]。现行条件下人们长期使用的巴西试样拉伸强度计算公式为

σT =2P （1） πdt

式中，t 、d 分别为试样的厚度、直径，P 为破坏荷载为P 。

该式在岩石力学研究中得到了广泛而深入的应用，已有长达约30年的使用历史。巴西

试验方法已被国际岩石力学学会作为测试岩石拉伸强度的推荐方法[3]，在我国，该方法被列入国家标准《工程岩体试验方法标准(GB/T 50266-99)》和行业标准《水利水电工程岩石试验规程(SL264-2001)》中[4,5]。由于该式来自二维弹性力学理论，而实际试样为三维受力情形，因此该公式是不正确的，或者说是不够准确的。实验及数值计算两方面的研究表明，若以此公式来计算不同厚度试样的拉伸强度，会发现一个不正常的现象，即均质材料的拉伸强度具有明显的尺寸效应。为了消除这种尺寸效应，作者基于有限元分析结果，提出了巴西试验拉伸强度公式的修正公式为[1]：

σT =(0. 262k +1) 2P (2) πdt

式中k 为试样的高径比。

应当指出，该公式是在材料的泊松比为0.22的条件下得出。而泊松比是不是影响试样

应力分布的一个参数? 作者当时对这一问题还没有考虑。

由弹性力学理论可知，对于一般空间问题，若不计体力，只须找到三个恰当的重调和函

数，即伽辽金位移函数，使其满足位移及应力边界条件, 即可得到该问题中各应力分量和位移分量的正确解答[6]。

用伽辽金位移函数表示的应力分量σx 为：

∂2∂2∂ξ∂η∂ζ2σx =2(1−µ) ∇ξ+(µ∇−)(++ (3) ∂x ∂x ∂x ∂y ∂z

式中ξ、η、ζ为位移函数，μ为泊松比。其余5个应力分量σx 、σx 、τｘｙ、τｘｚ、τｙｚ的表达式与此式类似，限于篇幅不在此列出。　

从上式可知，试样的应力分布与泊松比是有关系的。同时可以看出，在不计体力的条件

下，应力分布与另一个材料参数弹性模量E 是没有关系的。这一点已为笔者的三维有限元分析所验证。

进一步，人们可能要问，影响试样应力分布的因素有哪些？

我们知道，位移函数是重调和函数，一般说来，它是荷载P 与坐标变量x 、y 、z 的函数。

不同的弹性力学问题有不同的位移函数，因为各种位移函数所满足的边界条件是不同的。换言之，位移函数包含了特定问题的边界条件信息。因此可以推测，对于巴西试验，试样的半径、长度以及受力等信息是包含在位移函数中的。

从理论上推导巴西试验的应力分布解答是极为困难的，而三维弹性有限元技术为我们提

供了从数值计算角度研究这一问题的可行方法，因为三维弹性有限元技术包含了全部弹性力学理论，是完善的、数字化的弹性力学。用数值计算方法来进行理论研究，可以称其为数值实验。相对于传统的实物实验方法，采用数值实验方法，我们可以享受到很多自由探索的乐趣。例如，可以固定某些参数值不变，只改变单个参数的数值，以此来研究该参数或变量对结果的影响。用数值计算方法求解巴西圆盘试样应力分布的问题，至少可以得到各种具体条件下该问题的一些实用公式。当然，我们指望从这些公式中归纳出巴西圆盘试样应力分布的通解，但这一愿望能否实现我们拭目以待。不过可以肯定的是，从三维有限元分析得出的这些公式是符合弹性力学理论的，是巴西圆盘试样受力问题的特解。而且，通过三维有限元分析我们可以穷尽巴西试验所有不同的具体形式，因此全部特解就构成了巴西试验的拉伸强度的完整解答。

我国关于岩石拉伸强度测试常常采用高径比为0.5~1.0的圆柱形试样[4,5]。为实用起见，

本文采用Marc 有限元软件，对高径比为1的巴西试样进行了不同泊松比条件下的三维有限元分析，得出了泊松比对试样应力分布的影响规律，并拟合出了该种试样拉伸强度的计算公式。

２　平面问题的分析　

人们对于巴西试样的研究是从平面问题开始，为了分析方便，我们在进行三维分析之前，结合Marc 有限元程序，先对平面条件下的巴西圆盘弹性受力进行了分析。

我们知道，若要保证试样在拉应力作用下发生破坏，则破坏区域的应力应以拉应力起主

导作用，而压应力的影响应越小越好。通过二维有限元弹性分析发现，试样中的最大主应力均为拉应力，除加载点附近因应力集中拉应力较大以外，最大拉应力区域出现在受压直径所在区域，并呈均匀分布，方向与受压直径垂直。其中，圆心处的拉应力值最大。

而试样中最小主应力均为压应力。除加载点附近的压应力较大外，试样内绝大多数区域

的压应力均较小。在同一区域，压应力是拉应力的3倍左右。由于岩石的抗拉强度远远低于其抗压强度，因此岩石试样在拉应力的作用下发生破坏。这就是巴西试验的试验原理。

同时还可知道，巴西试验不适合于抗压强度与抗拉强度比较接近的材料。

因此，试样若在拉应力作用下发生破坏，最大的可能是沿加载直径所在截面破坏，而在

加载直径所处截面上，因为中心处的拉应力与压应力之比最大，故试样将率先从圆心处开始破坏，即中心起裂。

另外，由于在加载点处存在应力集中现象，因此中心起裂应成为判断试样是否为有效破

坏的一个条件。

从二维有限元弹性分析结果可知，圆心处的拉应力值与按(1)式计算的结果十分吻合。

三维条件下，试样端面圆心处的拉应力最大，试样将从该处率先起裂破坏。于是，当试样承受最大荷载时，我们可以采用此时端面圆心处的拉应力值作为材料的抗拉强度。

图1 三维有限元分析模型

Fig.1 3D-FEM model

３　三维问题的有限元分析　

选取模型直径为50mm ，高度50mm ，弹性模量E=40GPa, 荷载P=1000N/mm，密度ρ

=2.7×10-3kg/mm3。选取加载方向为Y 轴负方向，Z 轴为试样中心线，X 轴为水平方向。采

用8节点单元，共6100个单元,6890个节点。网格模型如图1所示。为直观起见，没有利用试样的对称性。

为了研究泊松比对应力分布的影响，共进行了8种泊松比的三维有限元计算。这8种泊

松比为0、0.10、0.15、0.20、0.25、0.30、0.35、0.40。

观察三维模型中的任意一个横截面上的应力分布特点，发现水平方向以拉应力为主，竖

直方向以压应力为主，并且在绝大多数情况下(除开加载点及对称点处) ，水平方向的拉应力就是最大主应力，竖直方向的压应力就是最小主应力。压应力数倍于拉应力。Z 方向上的应力值比拉应力小1~2个数量级。除应力集中区外，最大拉应力出现在截面圆心处。三维条件下，巴西试样的应力分布特点可以总结为：在任一横截面上质点之间应力值大小关系与二维情况一致，但横截面上质点的应力值会沿厚度方向发生变化。

对于上述8个方案的三维有限元计算结果，我们重点关注试样横截面圆心处即试样轴线

上的水平拉应力变化情况。由此可以得到试样轴线上拉应力沿轴向变化的曲线，如图2。由于试样在轴线方向上受力对称，只画出了一半高度的试样所对应的曲线。

为使曲线反映出的规律不只局限于直径为50mm 试样，图2中采用无量纲变量。图中横

轴代表相对位置。坐标原点代表圆柱试样轴线的中点，横坐标为1的点对应试样轴线的一个端点。纵轴上的坐标值为相对拉应力，是σX 与12.55MPa 的比值。12.55MPa 是由二维有限元计算得出的圆盘圆心处的拉应力。根据(1)式算出的结果为12.73MPa 。

表1为图中各曲线的多项式拟合方程。

由图2可以看出三个特点，第一，泊松比对巴西试样的应力分布有明显影响。泊松比越

大，拉应力的变化范围越大，试样端面上的拉应力也越大；第二，离试样几何中心越远，横截面圆心处的拉应力越大；第三，图中几乎所有曲线相交于同一点。

图2 泊松比对巴西试样轴线上水平拉应力的影响(高径比为1)

Fig.2 Influence of Poisson’s ratio on tensile stress along the axis of specimen

表1 图2中各曲线的多项式拟合方程

Table 1 Fitting equations for curves in Figure 2

泊松比μ

0.10

0.15

0.25

0.30

0.35

0.40

拟合方程　y=1 y = 0.100x4 + 0.097x2 + 0.948 y = 0.142x4 + 0.142x2 + 0.924 y = 0.213x4 + 0.227x2 +0.880 y = 0.243x4 + 0.267x2 + 0.859 y = 0.269x4 + 0.306x2 + 0.839 y= 0.293x4 + 0.344x2 + 0.820 决定系数R 2 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

４　三维条件下的拉伸强度公式　

在上一节，通过有限元分析，我们得到了泊松比对试样应力分布的影响规律。进一步，

我们由此可以推导出考虑泊松比影响的巴西试验拉伸强度计算公式。

通过有限元计算可知，试样端部圆心处的拉应力与外荷载成正比。而三维条件下试样横

截面的应力分布与二维条件下的应力分布规律相类似，故采用与(1)式类似的强度计算公式：

σT =y 12P （4） πdt

式中y 1为修正系数，它与材料的泊松比、试样的高径比都有关，在本文中高径比保持不变，其值为1。

从(4)式可以看出，修正系数y 1是三维条件下的最大拉应力与二维条件下的最大拉应力

之比，因此y 1就是表1中各曲线拟合方程中x=1时的y 值。由此可以得到修正系数y 1与泊松比μ之间的拟合关系式。为实用起见，选择线性拟合关系式，得到(5)式，该式的决定系数R 2=0.98

y 1=1. 21µ+1 （5）

将(5)式代入(4)式中，即可得到试样高径比为1的巴西试验拉伸强度计算公式：

σT =(1. 21µ+1) 2P （6） πdt

５　结语　

从本文分析可知，泊松比对巴西圆盘试样的应力分布有着明显的影响。泊松比越大，试

样中心线上的拉应力范围越大，试样端面上的拉应力也越大。根据有限元分析结果，得到了高径比为1的试样拉伸强度计算公式。与理论推导所得公式不同，该公式由数值方法而得，

可称其为拉伸强度公式的数值解或有限元解。(6)式适应的泊松比范围为0~0.4，可以满足实际应用的需要。

完全解决巴西试验拉伸强度计算问题，需要同时考虑泊松比和高径比等多种因素对应力

分布的影响。从理论上说，采用三维有限元法是完全可以解决这一问题。这部分工作需要较大的计算工作量，作者将另文发表。

参考文献

1. 喻勇，尹健民，钟作武. 岩石劈裂拉伸强度公式的有限元修正(已被岩石力学与工程学报录用).

2. 喻勇, 陈平. 岩石巴西圆盘试验中的空间拉应力分布. , 2004年5月10日.

3. ISRM. Suggested methods for determining tensile strength of rock materials[J]. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr.,1978,15:99-103.

4. GB/T 50266-99.工程岩体试验方法标准[S].

5. SL264-2001.水利水电工程岩石试验规程[S].

6. 徐芝纶. 弹性力学(上册)[M]. 北京：高等教育出版社，1982.

Correction to the Formula for Tensile Strength of Brazilian

Test Concerning Poisson’s Ratio　

Yu Yong1 ,Wu Shunchuan2

(1Department of Applied Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University，Chengdu ，

610031,China)

(2School of Civil and Environmental Engineering, University of Science and Technology Beijing,

Beijing ,100083, China)

Abstract

The formula for calculating tensile strength of rock material in Brazilian test for near 30 years is not quite right. The authors point out that Poisson’s ratio is another factor influencing the stress distribution of a disc specimen. 3D-FEM analyses to the Brazilian disc specimen were conducted. The height-to-diameter ratio of specimen is 1. There are 8 times 3D-FEM analyses with each time having a various Poisson’s ratio, and Poisson’s ratio is from 0 to 0.4. The results show that the range of tensile stress in the specimen increases with Poisson’s ratio. Also the stress on the end side of the specimen increases with Poisson’s ratio. For the specimen which its height-to-diameter is 1, the authors got the correctional formula for calculating Brazilian tensile strength containing Poisson’s ratio　ｆrom 3D-FEM results.

Keywords: Poisson’s ratio, Brazilian test, tensile strength, 3D-FEM, rock, Marc