第1章武保剑

电磁场与波

武保剑教授/博士生导师

信息工程系主任

研究方向：光纤通信与信息处理

联系方式：办公室科B223右/61830268邮件地址：电子科技大学通信与信息工程学院

2015年3月

自我介绍（工作经历）

l上海交通大学博士毕业后，在大唐电信从事宽带光纤接入产品的研究开发。

l2003年到电子科技大学通信与信息工程学院工作

Ø主要从事光纤通信技术、智能光信息处理、微波光子学等方面的教学与科研工作。

Ø讲授《通信原理》、《光纤通信》、《光纤技术与器件》、《光纤信息处理》、《光调制与处理技术》、《信息与通信工程导论》等本科/研究生课程。Ø主持或主研国家项目10余项、发表学术论文120余篇、授权专利10余项。

出版学术专著两部

l武保剑著.《微波磁光理论与磁光信号处理》，电子科技大学出版社，2009.

l武保剑，邱昆. 《光纤信息处理原理及技术》. 科学出版社，2013

。

绪论

l课程体系（学科通识、基础、拓展课⇒专业课）l大类招生/三个专业（通信工程专业、ICT方向）Ø

学科拓展课

绪论

l课程性质和任务

Ø本课程在宏观电磁现象和电磁过程的基本规律及其分析计“大学物理（电磁学）”的基础上，进一步研究法。算方ü与大学物理电磁学的思维方法、数学工具、习题难度明显不同Ø通过本课程的学析和解决基本的电磁习，掌握场工程基本的宏观电磁理论，问题的能力。具备分ü既全面、系统介绍电磁场的重要定理，又注重工程问题l课程的重要性

Ø承上启下

ü大学物理电磁学←本课程→微波技术、光纤通信、高等电磁场Ø边缘学科

ü电磁兼容性（Electromagnetic Compatibility—EMC）ü生物电磁学

ü。。。。。。

绪论

l一些重要的思维方法

Ø归纳法—特殊到一般，严密的理论思维能力ü从静电场、静磁场到电磁波

Ø演绎法—一般到特殊，严密的逻辑推理和准确的数学推演

ü根据麦克斯韦方程组解决实际问题

Ø物理模型—简单、形象、近似

ü复杂的现实问题简单化

Ø数学语言—物理规律的抽象表示

ü从数学、物理分开，再到两者的统一

Ø类比法—特殊到特殊，富于创造性，可靠性较差

绪论

l成绩构成

Ø1、课堂测验6次2、课程设计3、平时作业4、实验（6学时）5、期末考试闭卷占20%(30%)占10%占10%占10%占50%(40%)

l教材

Ø《电磁场与电磁波》（第四版），谢处方、饶克谨编，杨显清、王园、赵家升修订，高等教育出版社，2006年4月

①《电磁场与电磁波（第四版）教学指导书》，杨显清、王园、赵家升编，高等教育出版社，2006年5月

②《大学物理》（下）孙云卿电子工业出版社，2005年8月③BhagSingh Guru, HüseyinR.Hiziroglu著.电磁场与电磁波. 周克定等译. 北京：机械工业出版社，2002l参考资料ØØØ

第一章矢量分析

第1章矢量分析（6学时）

l绪论、1.1矢量代数（1学时）

l1.2 三种常用的正交坐标系（1学时）Ø1.2.1 直角坐标系，1.2.2 圆柱坐标系，1.2.3 球坐标系

1.3.1 标量场的等值面，1.3.2 方向导数，1.3.3 梯度

1.4.1 矢量场的矢量线，1.4.2 通量，1.4.3 散度，1.4.4 散度定理

1.5.1 环流，1.5.2 旋度，1.5.3 斯托克斯定理llll1.3 标量场的梯度（1学时）Ø1.4 矢量场的通量与散度（1学时）Ø1.5 矢量场的环流与旋度（1学时）Ø1.6 无旋场与无散场、1.7 拉普拉斯运算与格林定理、1.8 亥姆霍兹定理（1学时）

Ø1.6.1 无旋场，1.6.2 无散场，1.7.1拉普拉斯运算。

1.1 矢量代数

1.1.1 标量和矢量（Scalar and Vector）l标量和矢量概念及表示

Ø标量：只有大小，如T , m , V , t , UØ矢量：大小、方向，如fv、sv、av、EvØ矢量的几何表示：有方向的线段Ø矢量的代数表示：Av=evAA=evAAvü矢量的大小或模：A=Av

ü矢量的单位矢量：evAA=A

1.1 矢量代数

1.1.1 标量和矢量（2）

l场的概念

Ø物理概念：某一物理量在空间的分布Ø数学表示：空间上的函数V={x,y,z}l场的分类

Ø1、静态场和动态场Ø2、标量场与矢量场f(x,y,z,t)l场的直观表示Ø标量场的等值面()Ø矢量场的矢量线(又称流线和力线)Fv(x,y,z)=evxFx(x,y,z)+evyFy(x,y,z)+evzFz(x,y,z)

1.1 矢量代数

1.1.1 标量和矢量（3）

物理量（矢量与矢量场）的不变特性

标量函数和矢量函数其大小或方向与所选择的坐标系无关(t 定)

ü坐标基矢的变换ü

坐标分量的变换Ø

选择适当的坐标系

ü场量分布ü波导结构ü

……

1.1 矢量代数

1.1.2

矢量的加法和减法

1.1 矢量代数

1.1.3 矢量的乘积

矢量的点积(标积A

⋅Bv

=ABcos

矢量的叉积(

矢量的混合运算

1.2 三种常用的正交坐标系

1.2.1直角坐标系

基矢（单位矢量）与坐标矢量表示位置矢量微分元

A×B=Ax

eyAyBy

ezAzBz

长度元Ø面积元

vvØ体积元

=ex(AyBz−AzBy)+ey(AzBx−AxBz)+ez(AxBy−AyBx)

1.2 三种常用的正交坐标系

1.2.2圆柱坐标系

基矢的正交归一性

1.2 三种常用的正交坐标系

1.2.2圆柱坐标系

圆柱与直角坐标系的变换关系

vvx=ρcosφexcosφ−sinφ0eρ

tgφ=

y/xvvy=ρsinφey=sinφcosφ0eφ22vv

z=z

ρ=x+y

ez

0

e1z

单位矢量的微分（随φ变化）

vvv

deφcosφ−sinφ−ex−eρ

v=vv

=eedφρsinφcosφyeφ

llll

矢量表示

位置矢量

长度/面积/体积的微分元

1.2 三种常用的正交坐标系

1.2.3球坐标系

vvvvvver⋅er=eθ⋅eθ=eφ⋅eφ=1vvvvvv

er⋅eθ=eθ⋅eφ=eφ⋅er=0

vvvvvvvvver×eθ=eφ,eθ×eφ=er,eφ×er=eθ

v∂erv

=eθ

∂θv∂eθv

=−er

∂θ

v∂eφ∂θ

基矢的正交归一性

eee

基矢的微分关系

v∂erv

=eφsinθ∂φv∂ev

=eφcosθ∂φv∂eφvv

=−ersinθ−eθcosθ∂φ

1.2 三种常用的正交坐标系

1.2.3球坐标系

球坐标系与直角坐标系的关系

x=rsinθcosφ

x2+y2+z2

y=rsinθsinφ

x2tgθ=

+y2

z=rcostgφ=

esinθsinx

cosθev

evv

θrsinθcosφθcosθsinφ−sinθ

ev=

cosθcosφ

φ

−sinφcosφ

evx

y0ev

z

l矢量表示

l位置矢量

长度面积体积的微元

1.3 标量场的梯度

1.3.1标量场的等值面

等值面

ØØØ

使标量函数取得相同数值的点所构成的空间曲面等值面方程u(x,y,z)=C等值面互不相交

等温线

等高线

线

物理量的空间分布状况

1.3 标量场的梯度

1.3.2/3方向导数和梯度

方向导数

概念：在给定场点，标量场u沿某方向lv

的空间变化

率，可用方向余弦表示为如下形式

∂u∂l=∂u∂xcosα∂u∂u

l+∂ycosβl+∂z

cosγlü

也可改写为：du=∇ugdlv

，其中

∇u=∂u∂xev∂ux+∂yev∂uy+

∂z

dlv=evxdx+evydy+ev

zdz

分析：当dlv

与∇u同方向时，du最大，也就是u的最大

变化率可以用∇u表示（大小和方向）

l梯度定义：最大的方向导数及方向∇u=evdu

dln

1.3 标量场的梯度

1.3.2/3方向导数和梯度

梯度与等值面的关系Ø当lv

与等值面相切时，du=∇ugdlv

=0，表明等值面。

∇u垂直于Ø

或者说，标量场梯度方向与等值面法线方向平行。

梯度的坐标表示

运算公式：符合导数的运算规律

1.4 矢量场的能量与散度

1.4.1矢量场的矢量线

矢量线

它是一条有向曲线，每点的切线方向表示该场点矢量的方向。

矢量线的数学表示（线簇）

evx

evy

evz

Fv×drv

=FxFy

Fz=0dxdydz

⇒dx=dy=dzFxFyFz

矢量线举例：电力线、磁力线

1.4 矢量场的能量与散度

1.4.2通量（Flux）

面元矢量

给面元dS赋予了法向信息（n垂直于

选择有两种规定方式。

üü

数学表示：v

开曲面：与边界绕行方向成右手螺旋关系闭合面：外法线方向

vdS=endS

通量——表示矢量场

垂直通过有vv小（面积分）

cosdψ=F⋅dS=FθdSØ通量元：

ØØ

ψ=∫开面通量：

vvvv

F⋅dS=∫F⋅endS=∫FcosθdS

闭面通量：（正数表示净流出，发散）

1.4 矢量场的能量与散度

1.4.3散度（Divergence）

散度——矢量场在场点处的闭面通量密度（标量），表示该矢量的发散强度vv

ØØØ

v∂Fx∂Fy∂Fz散度计算∇gF=++

∇gF=

∂x∂y1∂(ρFρ)

F⋅dSvS

divF=lim

∆V→0∆Vvv

可以证明：divF=∇gF

散度正负代表了矢量场通量源的分布特性

数学定义：

∂z∂Fφ

∂Fz

ρ∂ρρ∂φ∂zv1∂21∂1∂∇gF=2(rFr)+(sinθFθ)+(Fφ)

r∂rrsinθ∂θrsinθ∂φ

1.4 矢量场的能量与散度

1.4.3散度（Divergence）

散度的运算公式（点乘运算

）

1.4 矢量场的能量与散度

1.4.4散度定理

散度定理又称高斯定理

ØØ

含义：描述了散度（微分形式）与通量（积分形式）之间的关系，可将体积分与面积分相互转化。数学表达：

格林定理（见1.7.2节，令

高斯定理在电磁场中有着广泛的应用，可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题v

F=φ∇

ϕ可得）

反映了两个标量场之间满足的关系，已知一个可求另一个

。

1.5 矢量场的环流与旋度

1.5.1环流（Circulation）

环流是指矢量沿有向闭合曲线的流量大小，用绕线分量的环路积分表示

数学表达：

ØØ

与回路C的形状和取向有关

在给定场点处，存Ñ∫

cosF⋅dl=ÑFθdl∫

环流密度

rotnF=lim

手螺旋关系。

∆Sn→0

Ø回路C构成的面元正法线方向n

与C的绕行方向成右

1.5 矢量场的环流与旋度

1.5.2旋度（Rotation）

引入旋度的概念：定义为环流密v度最大的情形，其

方向就是对应回路组成的面元dSR方向eR。

vvvvvØ数学表达：

rotF=eR(rotnF)max=eRrotRF

vvv

⇒rotnF=engrotF可用于证明旋度定理Ø

Ø旋度表示矢量F在某场点处的旋性强度

可以证明：rotF=∇×F旋度运算公式

k是常数时，u是标量函数时，

1.5 矢量场的环流与旋度

1.5.3斯托克斯(Stockes)定理

旋度定理又称斯托克斯定理

描述了旋度与环流之间的关系，可将面积分与线积分相互转化。∫vvvr

(∇×F)⋅dS=Ø

矢量场沿任意闭合曲线的环流Ñ∫

F⋅dl

等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围l证明：

Q rotv的nF=ev曲面v的通量

ngrotF∴ rotFvg∆Svvvr ∫S

rotFvngdSv=rotnF⋅∆S=∑rotFvn=n

gÑ∫CF⋅dlnn

∆Sv

=∑rotv⋅∆Svrvr

nFn=n

∑n

Ñ∫CF⋅dln

n＝Ñ∫

F⋅dl

1.6 无旋场与无散场

l无旋场：旋度处处为零的场，即∇×F≡

ØØ

1.6.1无旋场

由于

因此，无旋场可由另一标量的梯度表示

vrvvvv∇×F=0

(∇×F)⋅dS=Ñ∫F⋅dl→Ñ∫F⋅dl=0

u的物理含义（无旋场的标量位r）

旋度定理

∫

u(P)=∫du+u(Q)=∫QQv

也可以取F=−∇u

vvQ

∇ugdl+u(Q)=∫(−∇u)gdl+u(Q)

1.6 无旋场与无散场

vl无散场：散度处处为零的场，即∇gF≡0

Ø1.6.2无散场由于因此，无散场可由另一矢量的旋度表示l

Ø的物理含义（无散场的矢量位）散度定理∫Vvvvv∇gFvv=0(∇gF)dV=Ñ

∫F⋅dS→Ñ∫F⋅dS=0SS

1.7 拉普拉斯运算与格林定理

1.7.1拉普拉斯运算

l拉普拉斯运算：是指对标量场的梯度再求散度的过程，可用拉普拉斯算符（∇2）表示。不同坐标系有不同表示

lvv

v对于矢量场，则定义为：∇2F=∇(∇⋅F)−∇×(∇×F)

1.8 亥姆霍兹定理

l亥姆霍兹定理：在有限的区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件(即限定区域V的闭合面S 上的矢量场的分布)惟一地确定，且可以表示为

Ø其中，rrrrr1∇′⋅F(r′)1F(r′)⋅dS′r′u(r)=dV −∫Ñ∫4πVr−r′4πSr−r′rrrrrr1∇′×F(r′)1F(r′)×dS′′−A(r)=dV∫Ñ∫VS4πr−r′4πr−r′Ø其标量和矢量函数取决于场在区域V内和闭面S上的分布特性。l定理的意义：分析场时总是从它的散度和旋度着手，从而得到矢量场的基本方程（微分形式，适用于连续区域）；也可以由闭面通量和闭线环流得到积分形式的基本方程。

第1章武保剑

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