新苏教版第十二章证明

12.1 定义与命题

执笔：杨世军 审核:初一数学备课 班级 姓名 学号 学习目标

1. 了解定义、命题、真命题、假命题的含义。 2. 会区分命题的条件和结论。 3. 会判断一个命题的真假。

4. 在交流中发展有条理的思考和表达的能力。 学习重难点

了解定义、命题、真命题、假命题的含义,会区分命题的条件和结论,会判断一个命题的真假。 导学过程 活动一

预习课本P144-145

对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的_____.

你还能举出曾学过的“定义”吗?

活动二

1.下列句子中，哪些对一件事情作了判断？哪些没有对一件事情作了判断？ (1)父母是我们人生的第一位教师. (2)延长线段AB.

(3)“非典”是可以战胜的.

_________________,叫做命题

2.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ ⑴对顶角相等.

⑵画一个角等于已知角. ⑶两直线平行，同位角相等. ⑷a、b两条直线平行吗？ ⑸温柔的李明明 ⑹玫瑰花是动物.

⑺若a2＝4，求a的值. ⑻若a2＝ b2，则a＝b.

在数学中，命题一般都由______和________两部分组成。

注意：将命题改写成”如果„„那么„„”的形式,“如果”后面的部分是条件,“那么”后面的部分是结论.

例题精讲

例.将下列命题改写成“如果„„那么„„”的形式,并写出命题的条件和结论. （1）若a>b，则ac>bc.

（2）正方形的四条边相等 （3） （4）

练习P145议论 3.填空

如果条件成立，那么结论也成立.像这样的命题叫做___________,

如果条件成立，不能保证结论总是成立.像这样的命题叫做___________

上述例题中的两个命题哪个是真命题？哪个是假命题？

检测与练习

1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）正数大于一切负数吗？ （2）两点之间线段最短。 （3）0是自然数。

（4）作一条直线和已知直线平行。 （5）相等的角是对顶角；

2.在第1题中，_____________是真命题，_____________假命题.

3.将下列命题改写成“如果„„那么„„”的形式,并写出命题的条件和结论 （1）如果a>b,a>c,那么b=c. （2）钝角大于它的补角；

（3）直角三角形两个锐角互余。 （4）同角的余角相等

12.2证明（1）

执笔：杨世军 审核:初一数学备课组 班级 姓名 学号 学习目标

1. 初步认识证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式。

2. 会综合法证明基本步骤和书写格式。

3. 经历一些观察、思考等活动，并对获得的数学猜想进行验证，体验直观判断有时不一定正确，从而尝试从数学的角度运用所学的知识 4. 学习重难点 导学过程 活动一

如图(1)，两条线段AB与CD哪一条长一些？图(2)中的四边形是正方形吗？图（3）中的两条直线a、b平行吗？如何证实你的的结论？

A

CB

（1）

D

a

b

图1） （2

活动二

如图(1)长方形草坪中间的一条1m宽的直道改造成如图(2)处处1m宽的“曲径”.两条小道占用草坪的面积相等吗？如何证实你的结论？

图2） （3

(1)

(2)

活动三

1

1. 当x=－5、-、0、2、3时，计算代数式x2-4x+5的值.

2

2. 换几个数再试试，你发现了什么？

3. 如何证实你的结论？

例题：

房价主要由以下三块组成：地价、建筑材料、广告费．万达地产向外宣称，今年上半年地价上涨10％、建筑材料上涨10％、广告费上涨10％，则房价应上涨30％才能保本．你认为万达地产的说法合理吗？为什么？

活动四 完成课本P148：数学实验室

【检测反馈】

1.图中有曲线吗？请在右图中把编号相同的点用线段连起来.

12345678

通过观察、操作的结果，说说你的感受.

12345678

2. 如图，两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个小圆，另一个大圆内有2个小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大一些？请你猜一猜，并用学过的知识和数学方法证实你的猜想.

1

3.水结成冰时，体积增加了，冰化成水时，体积减少了几分之几？

9

4.今年五一节期间，王老板在其经营的服装店里卖出两件衣服，其中一件是裤子售价为168元，盈利20％，一件是夹克衫售价也是168元，但亏损20％，问王老板在这次的交易过程中是赚了还是亏了，赚了赚了多少？亏了亏了多少？还是不赚不亏？

12.2证明（2）

执笔：杨世军 审核:初一数学备课组 班级 姓名 学号 学习目标

学习重难点 导学过程

活动一：预习课本P150 -151

活动二：议一议

1. 已经学过的基本事实有：

2：如何从基本事实出发，证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”.

已知：如图，____________________________

求证：__________________ 证明：∵a⊥c（已知）， ∴∠1=90°（垂直的定义）. ∵b⊥c（ ），

∴∠2=90°（ ）.

∵∠1=90°，∠2=90°（ ）. ∴∠1=∠2（ ），

∵∠1=∠2（已证），

∴a∥b（ ）．

归纳：证明与图形有关的命题，一般步骤有：

（1）_________________________________________________________ （2）_________________________________________________________ （3）_________________________________________________________

例题精讲

例1 从基本事实出发，证明“内错角相等，两直线平行”.

例2已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB//CD，GM平分∠EGB，HN平分∠EHD． 求证：GM//HN. M

B

N

H D

检测与练习

1.完成课本P151:练一练

2.已知:如图,直线a与直线b被直线c所截,∠1＝∠2. 求证: a∥b.

3.已知：如图，AD∥BC,∠BAD=∠DCB. 求证：∠1=∠3.

4. 已知：A、O、B在一直线上，OM 平分∠AOC，ON平分∠BOC. 求证：OM⊥ON.

c1

a

2

b

第2题图

第3题图

M

N

1 A O

B

12.2证明（3）

执笔：杨世军 审核:初一数学备课 班级 姓名 学号 学习目标

学习重难点 导学过程 活动一

三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于_______.

（1）如何证明三角形内角和定理？

已知：如图，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：如图，作BC的延长线CD，过点C作CE∥

∵CE∥AB（ ）, ∴∠1=∠B( ),

∠2=∠A( ).

∵∠1+∠2+∠ACB=180°( ), ∴∠A+∠B+∠ACB=180°( ).

（2）尝试用不同的证明方法证明三角形内角和定理

活动二

1. 如图，∠α是△ABC的一个外角，∠α与它不相邻的两个内角有怎样的数

A量关系？

B

C

2.如何证明？

由三角形内角和定理，可以推出：

三角形的外角等于

像这样，由一个定理直接推出的___________，叫做这个定理的推论.它和定理一样，可以作为进一步证明的依据.

A

B例题 已知：如图，AC、BD相交于点O

求证：∠A+∠B=∠C+∠D

CD

检测与练习

1.下列叙述中正确的是( )

A.三角形的外角等于两个内角的和 B. 三角形每一个内角都只有一个外角 C.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和 D.三角形的外角大于内角

2. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于

（ ）

A.180° B.360° C.540° D.720°

3. 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE相交于点F． 求证：∠C＋∠1＋∠2＋∠3＝180°．

拓展与延伸

给你一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E

C

E

12.3互逆命题（1）

执笔：杨世军 审核:初一数学备课 班级 姓名 学号 学习目标

学习重难点 导学过程 活动一：

1.观察下列每一组中的两个命题，说说你有什么发现？

第一组：（1）如果a=b, 那么a2=b2. （2）如果a2=b2, 那么a=b. 第二组：（1）两直线平行，同位角相等. （2）同位角相等，两直线平行.

归纳： 在两个命题中，如果第一个命题的条件是___________________,而第一个命题的结论又是_______________________，那么这两个命题叫做互逆命题. 其中一个命题是另一个命题的___________.

活动二：

完成课本P157 试一试

活动三：

下列的命题正确吗？为什么？ （1）如果a＞0，那么a2＞0

（2）锐角与钝角互为补角 小结

1. 判断一个命题是假命题，只需举___________.

2. 如果一个命题是真命题，它的逆命题_________是真命题.

检测与练习

1.“两直线平行，内错角相等”的逆命题是____________________________. 2.命题“对顶角相等”的逆命题是_________________，这个逆命题是____命题. 3.请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题： ____________________________________________________ 4. 写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假.

(1) 如果|a|=|b|，那么a=b； (2) 如果a＞0，那么a2＞0； (3) 等角的补角相等； (4) 同旁内角互补，两直线平行.

5. 举反例说明下列命题是假命题. (1)如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0; (2)同位角一定相等. (3)两个锐角的和是锐角

12.3互逆命题（2）

执笔：杨世军 审核:初一数学备课 班级 姓名 学号 学习目标

学习重难点 导学过程 活动：

你能说出两个命题：它们不仅是互逆命题，而且都是真命题吗？

例1 证明：平行于同一条直线的两条直线平行

b

c

例2 证明：直角三角形的两个锐角互余

试一试

1. 说出命题“直线三角形的两个锐角互余”的逆命题

2. 这个逆命题是真命题？为什么？

【检测反馈】

1.（1）如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列表格： 第1题图 ∵∠1=∠E （已知）

∴∥ （ ）. ∵CE∥DF （已知）

∴∠1=∠ （ ）. ∴∠E=∠ （ ）.

（2）说出（1）的推理中应用了哪两个互逆的真命题？

2.如图1，AB∥CD，

（1）∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？用两种方法证明你的结论. （2）如果将P点向右移，如图2， AB∥CD，此时∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.

图1

图2

3.小明用下面的方法画出了45°角：作

两条互相垂直的直线

P

MN、PQ，点A、B分别是MN、PQ上任意一点，作∠ABP的平分线BD，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C，则∠C就是所求的45°角。你认为对吗？请给出证明。

拓展与延伸

证明：同角的余角相等.