求概率的方法

求概率的方法 在日常生活或科学研究活动中，有时会遇到这样的情况，即对S类部分对象考察的结果表明，有S是P，也有S不是P，即并非所有S都是P，或都不是P。即个别S是否具有P属性，是偶然的、随机的。如掷骰子，不大可能都是出现一点或二点等，而是有时一点、有时二点、有时三点等，那么出现一至六点中每一种点数的可能性有多大，这就是一个概率问题。

一般来说，有一事件A，对其出现某种可能性的大小做出数量方面的估计，这就是概率。一个事件发生的概率，通常可以通过给出1到0的概率值来表示。如果说一个事件发生的概率是1，就是在断定它肯定会出现。如果说一个事件发生的概率是0，就是在断言它不会发生。概率的中间值，暗示着我们对事件发生有信心或缺乏信心。

对一个事件的陈述称为命题，复合命题是对一个复合事件的陈述，简单命题则是对某一特定事件的陈述。求一个复合命题的概率，称为概率演算；求一个简单命题的概率，则叫做求事件的初始概率。

一、求初始概率的方法

求事件初始概率的方法很多，这里介绍先验概率、频率概率和主观概率三种。

1、先验概率

先验概率，是指对于某一特定事件A，如果总共有n种可能而且互斥的结果，并且其中有m种对事件A出现是有利的，那么事件A的概率P(A)就等于有利事件出现的数目与所有可能出现的数目之比，即：P(A)= m/n

如投掷一枚硬币，总共有正面和反面两种可能的结果，而出现正面的可能性又是全部可能性的一半，所以，投掷一枚硬币出现正面的概率是1/2。

再如从一批标有号码（1-60）的产品中任意抽取一个，求取到前20号事件A的概率。由于每件产品被抽到的可能性都是相同的，因此抽取的全部可能次数n=60，而有利事件A的可能次数是20，所以，P（A）=20/60=1/3。

先验概率也称为结构概率，它是建立在对事件结构分析的基础上，并且要求事件出现的结果，必须是两两互斥而且是等可能的，即出现每一种结果的可能性必须是均等的。但是在现实中，上述情况是很少的，因此，尽管先验概率可以作为一种极有价值的指导，但我们最终还是得依靠观察和经验来确定事件的概率。

2、频率概率

频率概率是说，假设重复地进行同一个实验n次，如果随机事件A在这n次实验中出现了m次，则称比值为这n次实验中A出现的频率。如果随着事件A出现的频率，在某个数值P附近摆动，则事件A的概率就是：P(A)= m/n

如有人对掷硬币出现正面可能性做实验的结果如下表：

二、概率演算

就像简单命题赋值以后，可以求一个复合命题的真值一样，当知道简单命题的概率值以后，也可以计算复合命题的概率值。

1）、基本规则

规则1：任何命题的概率大于或等于0，小于或等于1，即0≤P(p)≤1。

规则2：如果一个命题是重言式，则它的概率等于1。例如，命题p∨⌝p是一个重言式，P(p∨⌝p)=1。

规则3：如果一个命题是矛盾式，则它的概率等于0。例如，命题p∧⌝p是一个矛盾式，P(p∧⌝p)=0。

规则4：如果两个命题是逻辑等值的，那么它们有相同的概率。如简单命题p和复合命题⌝⌝p是逻辑等值的，所以p和⌝⌝p有相同的概率，即P(p)=P(⌝⌝p)。

规则5(特殊析取规则)：不相容析取命题的概率等于析取支的概率之和，即：P(p∨q)=P(p)+P(q)

如当“张三是小偷”的概率是1/2，“李四是小偷”的概率为1/4时，命题“要么张三是小偷，要么李四是小偷”的概率就是3/4。

特殊析取规则的拓展形式是：

P(p1∨P2∨…∨pn)=P(p1)+P(p2)+… +P(pn)

2）、条件概率

在计算复合命题的概率时，常常会遇到在已知p命题的条件下求命题q的概率。这时由于有了附加条件，因此称这种概率为，在命题p的条件下命题q的条件概率，记作P(q/p)。相应地，把P(p)或P(q)称为无条件概率。

如掷骰子要掷出一个偶数的概率是1/2，即P(偶数)=1/2，这是无条件概率，但当给定“2”或“4”已出来时，得到一个偶数的概率便不是1/2，而是1，即P(偶数/(2∨4))=1。这就是说，如果一定命题p被告知是真的，这就会影响到给另一个命题q分配的概率。条件概率可用公式表示为：P(q/p)= P(p∧q) /P(p)

即在命题p条件下命题q的条件概率，等于这两个命题的合取的概率比已知命题p的概率。如：P(偶数/ (2∨4))= P(偶数∧(2∨4))/P(2∨4)= P(2∨4)/ P(2∨4)=1

3）、导出规则

规则6(普遍合取规则)：合取的概率等于一个合取支的概率乘以在第一个合取支真的条件下第二个合取支的条件概率，即：P(p∧q)=P(p)×P(q/p)=P(q)×P(p/q)

以上证明是很简单的。在条件概率定义公式两边同乘以P(p)即可得到。

如在某商店出售的灯泡中，某厂生产的产品占70%，其中合格率为90%，求在该商店买到一个灯泡是该厂生产的合格品的概率。

这里，要求买到的灯泡既是该厂的产品(p)，又是合格产品(q)，故所求概率是p与q同时为真的概率，即P(p∧q)。由于P(p)=70%，P(q/p)=90%，所以，运用普遍合取规则可求得：

P(p∧q)=P(p)×P(q/p)=70%×90%＝63%。

虽然概率演算（在已知简单陈述的概率之后求复合陈述的概率）和真值函项演算（在已知基本命题的真值后求复合命题的真值）十分类似，但是它们的区别也是明显的。因为当知道构成一个复合命题的简单命题的真假情况之后，便永远能够确定这个命题的真或假。但是，却不是永远能够由简单陈述的概率去计算出一个复合陈述的概率。如上所示，如果要计算出合取事件的概率，必须知道条件概率，而要计算出条件概率又必须知道合取概率。所以，必须根据实际的已知情况，来决定具体事件的概率求法。在这里，是采取先定义条件概率，然后再求合取概率的方式来处理这个问题的。

规则7(特殊合取规则)：不相干命题的合取的概率，等于合取支的概率的乘积，即：P(p∧q)=P(p)×P(q)

如掷一颗骰子的结果和掷另一颗骰子是独立事件，所以出现六点偶的概率便：P(p∧q)=1/6×1/6=1/36。

规则8(贝叶斯定理的简单形式)：在命题p条件下命题q的条件概率，等于命题q的概率与在命题q条件下命题p的概率的乘积比已知命题p的概率，即：

P(q/p)=[P(q)×P(p/q)]/ P(p)

证明是简单的，试证如下：

(1) P(p)×P(q/p)=P(q)×P(p/q ) 规则6

(2) P(q/p)=[P(q)×P(p/q)]/ P(p) (1) 两边同除以P(p)

至此得证。

规则9(普遍析取规则)：相容析取的概率等于析取支的概率之和减去各支命题的合取的概率，即：P(p∨q)=P(p)+P(q)-P(p∧q)

以上证明稍复杂。证明如下：

(1) p∨q(p∧⌝q)∨q 逻辑等值式

(2) p(p∧q)∨(p∧⌝q) 逻辑等值式

(3) P(p∨q)=P((p∧⌝q)∨q) (1)，规则4

(4) P(p)=P((p∧q)∨(p∧⌝q)) (2)，规则4

(5) P(p∨q)=P(p∧⌝q)+P(q) (3)，规则5

(6) P(p)=P(p∧q)+P(p∧⌝q) (4)，规则5

(7) P(p∧⌝q)=P(p)-P(p∧q) (6)，变换

(8) P(p∧⌝q)=P(p∨q)-P(q) (5)，变换

(9) P(p∨q)=P(p)+P(q)-P(p∧q) (7)、(8)等量代换

至此得证。

例如要知道掷骰子将露出偶数或一个小于“3”的数的概率，就可以计算如下：

P(偶数∨小于3)=P(偶数)+P(小于3)-P(偶数∧小于3)

=P(2∨4∨6)+P(1∨2)-P(2)=1/2+1/3-1/6=2/3

根据普遍析取规则，还可以得到普遍合取规则的另一种形式，即：

P(p∧q) =P(p)+P(q)- P(p∨q)

规则10(普遍否定原则)：一个命题的否定的概率等于1减去原命题的概率，即：

P(⌝p)=1-P(p)

这条规则的证明很容易。试证如下：

(1) P(p∨⌝p)=1 规则2

(2) P(p∨⌝p)=P(p)+P(⌝p) 规则5

(3) P(p)+P(⌝p)=1 (1)，(2)，等量交换

(4) P(⌝p)=1-P(p) (3)，变换

至此得证。

如要计算掷骰子得不到“3”的概率，即：P(⌝3)=1-P(3)=1-1/6=5/6