广东省珠海市20**年-20**年学年高二下学期期末考试数学理试题

珠海市2014-2015学年度第二学期期末中学教学质量监测

高二理科数学试卷

用时：120分钟 总分：150分．

n(adbc)2

参考公式： （1） K（2）aybx

(ab)(cd)(ac)(bd)

2

附表：

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项）ACABC DCBAC BA 1．复数

1i

等于（ ）A 1i

A．i B．i C．1 D．1

2．四名同学报名参加三项课外活动，每人限报其中一项，不同报名方法共有( ) C A．12 B．64 C．81 D．7

3．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）A

82

A．A8A9

828282

B.A8C9 C.A8A7 D.A8C7

4．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是的概率是( )B A．

2

，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜3

408011020 B． C． D． [1**********]3

5．设6件产品中有4件合格品2件不合格品，从中任意取2件，则其中至少一件是不合格品的概率为 ( )C

A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 6．设随机变量~N(,2),若p(c)p(c)则c等于( )D A． B． C． D． 7．利用数学归纳法证明“1aa2左边应该是（ ） C

A．1 B．1a C．1aa D．1aaa

2

2

a

n1

1an2

,(a1,nN)”时，在验证n1成立时，

1a

23

8．曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为（ ）B A．30° 9．函数yA．e1

B．45°

C．60°

D．120°

lnx

的最大值为（ ）A x

B．e C．e2 D．

10 3

10．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

2

算得K7.8，参照附表得到的正确结论是 （ ）C

A．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

11．已知函数f(x)xaxx1在R上是单调函数,则实数a的取值范围是（ ）B A．(,3][,) B．[3,3] C．(,)(3,) D．(3,3) 12．若(2x)

100

3

2

a0a1xa2x2a100x100， a100)2(a1a3a5

a99)2的值为（ ）A

则(a0a2a4

A．1 B．1 C．0 D．2

二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分, 请将答案填在答题卡相应位置.

13．i为虚数单位，当复数m(m1)mi为纯虚数时，实数m的值为.1 14．在(2x)的二项展开式中，x的系数为. 15．已知随机变量

2

1x

5

40

1

B(6,)，则E(2).4

3

ˆ0.7xa ，则a＝ . 0.35 16．若下表数据对应的y关于x 的线性回归方程为y

17．计算定积分



11

(xsinx)dx. 0

18．已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如右， 则yf(x)有 个极大值点.1 19．观察分析下表中的数据：

猜想一般凸多面体中，面数、顶点数、棱数：F、V、E所满足的等式是 .FVE2

20．如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个 区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色, 相邻区域必 须涂不同的颜色,不同的涂色方案有 种.180

三、解答题:本大题共5小题，满分50分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21．一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数的分布列为：

商场经销一件该商品，采

C

B D

用1期付款，其利润为200元；

采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元.表示经销一件该商品的利润.

（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位采用1期付款的概率； （2）求的分布列及期望E()．

22．某校举办安全法规知识竞赛，从参赛的高一、高二学生中各抽出100人的成绩作为样本．对高一年级的100名学生的成绩进行统计，得到成绩分布的频率分布直方图如右图：

(1)若规定60分以上(包括60分)为合格，计算高一年级这次知识竞赛的合格率；

（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该校大量高一学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的合格人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和期望E(X)；

(3)若高二年级这次知识竞赛的合格率为60%，由以上统计数据填写2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系” ．

23．已知数列an满足a11，an12an1(nN) （1）求a2，a3，a4，a5；

（2）归纳猜想出通项公式an ，并且用数学归纳法证明； （3）求证a100能被15整除．

24．已知函数f(x)x3ax2b满足f(1)0,且在x2时函数取得极值． （1）求a,b的值；

（2）求函数f(x)的单调区间；

（3）求函数f(x)在区间[0,t](t0)上的最大值g(t)的表达式．

25．已知函数f(x)

1x

lnx在(1,)上是增函数，且a0. ax

（1）求a的取值范围；

（2）求函数g(x)ln(1x)x在[0,)上的最大值； （3）设a1,b0，求证：

1aba

ln ．abbb

珠海市2014-2015学年度第二学期期末中学教学质量调研监测

高二理科数学试卷参考答案

13. 1 14. -40 15. 4 16. 0.35 17. 0 18. 1 19. FVE2 20. 180 三、解答

2

21.解：（1）pC30.42(10.4)0.288 ……（4分）

（2）η的可能取值为200元，250元，300元. P(η=200)=P(ξ=1)=0.4，

P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,

P(η=300)=1-P(η=200)-P(η=250)=1-0.4-0.4=0.2. η的分布列为：

（7分）

E(η)＝200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）. ……（10分） 22．解：

(1)高一合格率为0.02×10＋0.03×10＋0.02×10＋0.01×10＝0.8＝80%.（2分） (2)X0,1,2,3

P(X0)C3

0.800.230.008

1

P(X1)C30.810.220.096

32

0.830.200.512 P(X2)C30.820.210.384P(X3)C3

……（4分）

E(X)30.82.4 ……（6分） (3)

200(80402060)2

K＝≈9.5>6.635.……（8分）

10010014060

所以有99%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系”．……（10分）

珠海市2014-2015学年度第二学期期末中学教学质量调研监测

高二理科数学试卷参考答案

13. 1 14. -40 15. 4 16. 0.35 17. 0 18. 1 19. FVE2 20. 180

三、解答

221.解：（1）pC30.42(10.4)0.288 ……（4分）

（2）η的可能取值为200元，250元，300元.

P(η=200)=P(ξ=1)=0.4，

P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,

P(η=300)=1-P(η=200)-P(η=250)=1-0.4-0.4=0.2.

η的分布列为：

（7分）

E(η)＝200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）. ……（10分）

22．解：

(1)高一合格率为0.02×10＋0.03×10＋0.02×10＋0.01×10＝0.8＝80%.（2分）

(2)X0,1,2,3

0P(X0)C3

0.800.230.008

1P(X1)C30.810.220.096

320.830.200.512 P(X2)C30.820.210.384P(X3)C3

……（4分）

E(X)30.82.4 ……（6分）

(3)

200(80402060)2K＝≈9.5>6.635.……（8分） 10010014060

所以有99%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系”．……（10分）

23、证明： （1）a23，a37，a415，a531……（2分）

（2）归纳猜想出通项公式an2n1，……（3分） 1当n1时，a1211，成立……（4分） ○1

2假设nk时成立，即 ○

ak2k1,……（5分）

则当nk1时，由an12an1(nN) 得：ak12ak12(2k1)12k1212k11……（6分） 所以nk1时也成立；

1○2，对nN等式都成立，从而得证。……（7分） 综合○

（3）由（2）知a10021001

而2100(24)251625(151)25……（8分）

012425展开:(151)25C251525C251524C25151C25150,被15除余数为1，……（9分）

故a10021001被15整除.……（10分）

24、解：（1）f(x)3x22ax……（1分） 由于x2时取得极值，得f(2)0，……（2分） 所以a3，又因为f(1)1ab0，所以b2……（4分）

（2）由（1）令f(x)3x26x0，得x10,x22……（6分） 所以

所以f(x)的单调递增区间为(,0)和(2,)，单调递减区间为(0,2)。…（8分）

（3）解f(x)x33x222得x30,x43……（9分）

20t3由（2）可知g(t) f(t)3t

20t3……（10分） g(t)32即t3t23t

125、解：（1）f(x)1……（1分） 2axx

因为函数f(x)1xlnx在(1,)上是增函数， ax

1所以f(x)10在(1,)上恒成立……（2分） 2axx

即1x0在(1,)上恒成立 a

所以x1在(1,)上恒成立 a

所以只需11……（3分） a

又因为a0，所以a1……（4分）

（2）因为x[0,)，所以g(x)11x0 1x1x所以g(x)在[0,)上单调递减，……（5分） 所以g(x)ln(1x)x在[0,)上的最大值为g(0)0。……（6分）

（3）因为a1,b0，所以ab1……（7分） b由（1）知f(x)1xlnx在(1,)上是增函数，所以f(ab)f(1)…（8分） axb

ab

lnab0，化简得1lnab……（9分） 即ababbbab1

又因为ab1a，由第（2）问可知g(a)ln(1a)ag(0)0 bbb

即lnaba bb

综上1lnaba得证。……（10分） abbbbb