高一数学必修二[圆与方程]知识点整理

高一数学必修二《圆与方程》知识点整理

一、标准方程

(x -a )

2

+(y -b )=r 2

2

1. 求标准方程的方法——关键是求出圆心(a , b )和半径r

①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材P 119例2 ②利用平面几何性质

往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理

2. 特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式 圆心在原点 x 2+y 2=r 2(r ≠0) 过原点 (x -a )+(y -b )=a +b

2

22

圆心在x 轴上 (x -a )+y =r (r ≠0) 22

圆心在y 轴上 x +(y -b )=r (r ≠0) 22

圆心在x 轴上且过原点 (x -a )+y =a (a ≠0) 22

圆心在y 轴上且过原点 x +(y -b )=b (b ≠0) 2

与x 轴相切 (x -a )+(y -b )=b (b ≠0) 2

与y 轴相切 (x -a )+(y -b )=a (a ≠0)

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

(a

2

+b 2≠0)

与两坐标轴都相切 (x -a )+(y -b )=a 二、一般方程

22

2

(a =b ≠0)

x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)

1. Ax +By +Cxy +Dx +Ey +F =0表示圆方程则

2

2

⎧⎪

⎧A =B ≠0⎪A =B ≠0

⎪⎪

⇔⎨C =0⎨C =0

⎪⎪D 2+E 2-4AF >022

⎩⎪⎛D ⎫+⎛E ⎫-4⋅F >0

⎪ ⎪⎪A ⎩⎝A ⎭⎝A ⎭

2. 求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材P 122例r 4 3. D +E -4F >0常可用来求有关参数的范围

2

2

三、点与圆的位置关系

1. 判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系

d r ⇒点在圆外 2. 涉及最值：

（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值

PB min =BN =BC -r PB max =BM =BC +r

（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值

PA min =AN =r -AC PA max =AM =r +AC

思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 四、直线与圆的位置关系

1. 判断方法（d 为圆心到直线的距离）

（1）相离⇔没有公共点⇔∆r （2）相切⇔只有一个公共点⇔∆=0⇔d =r （3）相交⇔有两个公共点⇔∆>0⇔d

这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2. 直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形

②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？ 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程

①切线条数

点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点 ．．．i ）点在圆外

22

如定点P (x 0, y 0)，圆：(x -a )+(y -b )=r ，[(x 0-a )+(y 0-b )>r ]

2

2

2

2

第一步：设切线l 方程y -y 0=k (x -x 0) 第二步：通过d =r ⇒k ，从而得到切线方程

特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点P (1, 1)作圆x 2+y 2-4x -6y +12=0的切线，求切线方程. 答案：3x -4y +1=0和x =1 ii ）点在圆上

1） 若点(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=r 2上，则切线方程为x 0x +y 0y =r 2 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.

2） 若点(x 0，y 0)在圆(x -a )+(y -b )=r 2上，则切线方程为

2

2

(x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )=r 2

碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.

由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.

③求切线长：利用基本图形，AP =CP -r ⇒AP =求切点坐标：利用两个关系列出两个方程⎨3. 直线与圆相交

（1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理及勾股定理——常用

．．．．

弦长公式：

l =22

2

⎧AC =r ⎩k AC ⋅k AP =-1

1-x 2=

（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题

2

例：若圆(x -3)+(y +5)=r 上有且仅有两个点到直线4x -3y -2=0的距离为1，则半径r 的取

2

2

值范围是_________________. 答案：(4, 6) 4. 直线与圆相离

会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、对称问题

222

1. 若圆x +y +m -1x +2my -m =0，关于直线x -y +1=0，则实数m 的值为____.

()

答案：3（注意：m =-1时，D +E -4F

变式：已知点A 是圆C :x +y +ax +4y -5=0上任意一点，A 点关于直线x +2y -1=0的对称点在圆C 上，则实数a =_________.

2. 圆(x -1)+(y -3)=1关于直线x +y =0对称的曲线方程是________________.

变式：已知圆C 1：(x -4)+(y -2)=1与圆C 2：(x -2)+(y -4)=1关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.

3. 圆(x -3)+(y +1)=1关于点(2, 3)对称的曲线方程是__________________.

2

2

2

2

2

2

2

2

22

22

4. 已知直线l ：y =x +b 与圆C ：x 2+y 2=1，问：是否存在实数b 使自A (3, 3)发出的光线被直线l 反射后与圆C 相切于点B

⎛247⎫

, ⎪？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由. ⎝2525⎭

六、最值问题 方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程 1. 已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0，求：

y

的最大值和最小值；——看作斜率 x -5

（2）y -x 的最小值；——截距（线性规划）

（1）

（3）x +y 的最大值和最小值. ——两点间的距离的平方

2. 已知∆AOB 中，OB =3，OA =4，AB =5，点P 是∆AOB 内切圆上一点，求以PA ，PB ，

2

2

PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.

数形结合和参数方程两种方法均可！

2

3. 设P (x , y )为圆x +(y -1)=1上的任一点，欲使不等式x +y +c ≥0恒成立，则c 的取值范围是

2

____________.

答案：c ≥1（数形结合和参数方程两种方法均可！） 七、圆的参数方程

⎧x =r cos θ

，θ为参数 x 2+y 2=r 2(r >0)⇔⎨

⎩y =r sin θ

(x -a )+(y -b )

八、相关应用

22

⎧x =a +r cos θ

，θ为参数 =r (r >0)⇔⎨

⎩y =b +r sin θ

2

1. 若直线mx +2ny -4=0（m ，n ∈R ），始终平分圆x +y -4x -2y -4=0的周长，则m ⋅n 的取值范围是______________.

2. 已知圆C ：x +y -2x +4y -4=0，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由. 提示：x 1x 2+y 1y 2=

0或弦长公式d =3. 已知圆C ：点A (01, (x -3)+(y -4)=1，求d 的最值及对应的P 点坐标.

4. 已知圆C ：(x -1)+(y -2)=25，直线l ：(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0（m ∈R ） （1）证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点； （2）求其中弦长最短的直线方程.

5. 若直线y =-x +

k 与曲线x =k 的取值范围.

2

2

2

2

22

22

1-x 2. 答案：x -y +1=0或x -y -4=0

2

2

d =PA +PB ，设P 点是圆C 上的动点，)，B (0, 1)，

6. 已知圆x +y +x -6y +m =0与直线x +2y -3=0交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，问：是否存

22

在实数m ，使OP ⊥OQ ，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 九、圆与圆的位置关系

1. 判断方法：几何法（d 为圆心距）

（1）d >r 1+r 2⇔外离 （2）d =r 1+r 2⇔外切 （3）r 1-r 2

22圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F ，圆：C x +y +D 2x +E 2y +F 2=0， =021

则(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +(F 1-F 2)=0为两相交圆公共弦方程. 补充说明：

若C 1与C 2相切，则表示其中一条公切线方程； 若C 1与C 2相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题

22（1）过两圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 2=0交点的圆系方程1=0和C 2：x +y +D 2x +E 2y +F 2222

为x +y +D 1x +E 1y +F 1+λx +y +D 2x +E 2y +F 2=0（λ≠-1）

()

说明：1）上述圆系不包括C 2；2）当λ=-1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）

+（2）过直线A x B +y

0C =与圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0交点的圆系方程为

x 2+y 2+Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C )=0

（3）有关圆系的简单应用

（4）两圆公切线的条数问题

①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线 十、轨迹方程

（1）定义法（圆的定义）：略

（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.

例：过圆x +y =1外一点A (2, 0)作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.

2

2

分析：OP +AP =OA

（3）相关点法（平移转换法）

222

↓ ↓

动点 主动点

特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.

例1. 如图，已知定点A (2, 0)，点Q 是圆x 2+y 2=1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程. 分析：角平分线定理和定比分点公式.

例2. 已知圆O ：x 2+y 2=9，点A (3, 0)，B 、C 是圆O 上的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且∠BAC =法1： ∠BAC =

π

33

，求∆ABC 的重心G 的轨迹方程. ，∴

BC 为定长且等于π

x A +x B +x C 3+x B +x C ⎧x ==⎪⎪33

设G (x , y )，则⎨

y +y +y y +y B C C ⎪y =A =B

⎪33⎩

取BC 的中点为x E ∈⎢-

2

2

2

⎛3⎤⎡33⎫

⎥ , ⎪，y E ∈ ⎣24⎭

⎝2⎦

94

（1）

OE +CE =OC ，∴x E 2+y E 2=

3+2x E x B +x C 3x -3⎧⎧⎧x =x =x =⎪⎪⎪⎧x B +x C =2x E ⎪E ⎪⎪E 322

⇒⎨⇒⎨，∴⎨ ⎨

⎩y B +y C =2y E ⎪y =y B +y C ⎪y =2y E ⎪y =3y

E E

⎪⎪⎪⎩23⎩2⎩

22

⎛9⎤2⎛3x -3⎫⎛3⎫⎡3⎫2

1⎥ 故由（1）得： ⎪+ y ⎪=⇒(

x -1)+y =1x ∈⎢0, ⎪, y ∈ 2242⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦

法2：（参数法）

设B (3cos θ, 3sin θ)，由∠BOC =2∠BAC =

2π

，则 3

⎛2π⎛C 3cos θ+

3⎝⎝

设G (x , y )，则

2π⎫⎫⎫⎛, 3sin θ+⎪ ⎪⎪

3⎭⎭⎭⎝

⎧2π⎫⎛

3+3cos θ+3cos θ+ ⎪⎪x A +x B +x C 2π⎫3⎭⎛⎝⎪x ===1+cos θ+cos θ+⎪ (1)333⎭⎪⎝

⎨

2π⎫⎛⎪3sin θ+3sin θ+⎪⎪y A +y B +y C 2π⎫3⎭⎛⎝y ===sin θ+sin θ+⎪ ⎪

(2)333⎝⎭⎩

⎛π4πθ∈ ,

⎝33

⎛2⎤22⎡3⎫⎫2

1-1+21⎥ ⎪，由(())()得：(

x -1)+y =1x ∈⎢0, 2⎪, y ∈ ⎣⎭⎭⎝⎦

参数法的本质是将动点坐标(x , y )中的x 和y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参得到动．．点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，y 的范围. （4）求轨迹方程常用到得知识

x A +x B +x C x 1+x 2⎧⎧x =x =⎪⎪⎪⎪32

①重心G (x , y )，⎨②中点P (x , y )，⎨

⎪y =y A +y B +y C ⎪y =y 1+y 2

⎪⎪⎩23⎩

③内角平分线定理：

④定比分点公式：⑤韦达定理.

BD CD

=

AB AC

x +λx B y +λy B AM

=λ，则x M =A ，y M =A MB 1+λ1+λ