高三三角函数专题复习习题(附高考真题及答案)

一、角的概念及任意角的三角函数

1．已知点P ⎛ ⎝sin 3π

cos 3π⎫44⎭落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )

A. π3π5π7π

4B. 4 C.4D. 4

2. （2015福建卷）．若

sin α=-

5

13，且α为第四象限角，则tan α的值等

1212于（ ）A ．5 B．-55 C．12 D．-

5

12

二、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和与差公式、诱导公式

sin 2

35°－1

3．化简2

cos10°cos80°

＝( )

A ．－2

B ．－1

2．－1 D ．1

4．已知cos θ=13tan(-5π4), 则sin(π

2

-θ) 等于

A

．

3 B．一113 C．3 D

．±3

5．[2014·江苏卷] 已知α∈⎛ π⎫5⎝π⎪⎭

，sin α＝(1)求sin ⎛π⎫

⎝4＋α⎪⎭的值；

(2)求cos ⎛5π⎫⎝6－2α⎪⎭

的值．

6、若，且（ ）

A. B. C. D.

7、[2014·全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3) ，则l1与l2的夹角的正切值等于________．

三、三角函数图像及性质

8、[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎛ π⎫

π⎝

2x ＋3⎭的图像向右平移2个单位长度，

所得图像对应的函数( )

A ．在区间⎡⎢π7π⎤⎡π7π⎤

⎣1212⎥⎦上单调递减 B．在区间⎢⎣12，12⎦上单调递增

C ．在区间⎡⎢ππ⎤⎡ππ⎤

⎣－6，3⎦上单调递减 D．在区间⎢⎣－6

3⎦上单调递增

π

9、已知ϕ是实数，f(x)=cosx·cos(x+3) ，则“

ϕ=

π

3”是“函数f(x)向左平

移ϕ个单位后关于y 轴对称”的( ) A. 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件

10、如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的部分图象，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f (－1) ＝( ) ⎛

⎝

ω>0，0≤φ≤π⎫2⎪⎭

A ．－1 B ．－3 C. 3 D．1

11、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝

cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ⎛ ⎝2x ＋π⎫6⎪⎭，④y ＝tan ⎛ π⎫

⎝

2x －4⎭中，最小正周

期为π的所有函数为( )

A ．①②③ B．①③④ C ．②④ D．①③ 12、（2015浙江卷）、函数f (x )=sin 2x +sin x cos x +1

的最小正周期是，

最小值是 ．

四、解三角形

11、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 已知

3acos C＝2ccos A，tan A＝1

3B= . 12、在

中，

，为

边上的点，且

，

，则

的面积的最大值为 .

13．[2014·重庆卷13]

将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)⎛ π ⎝ω＞0π⎫2≤φ＜⎪2⎪⎭

图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π

6个单位长度

得到y ＝sin x的图像，则f ⎛ π⎫ ⎪

⎝6⎭

＝________．

14．在△ABC 中，已知tan A ＋B

2sin C ，给出以下四个结论：

①tan A

tan B ＝1；②1

C .

其中正确的是________．

四、解答题

15、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE

＝1，EC 7， EA＝2，∠ADC ＝2ππ

3BEC ＝3(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．

（湖南卷）16. （本小题满分12分）

如图3, D 是直角∆ABC 斜边BC 上一点, AB =AD , 记∠CAD =α, ∠ABC =β. (Ⅰ) 证明: sin α+cos 2β=0; (Ⅱ) 若AC =DC , 求β的值.

A

B

D

C

图3

17、[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.

已知 a－c ＝6

6，sin B＝6sin C. (1)求cos A的值；

(2)求cos ⎛ ⎝

2A －π⎫

6⎪⎭的值．

18、（2014•南昌模拟）已知向量=（sin ，1），=（cos ，cos2）．记

f （x ）=•．

（Ⅰ）若f （x ）=，求cos （﹣x ）的值；

（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足（2a ﹣c ）cosB=bcosC，若f （A ）=，试判断△ABC 的形状

19、(10分) 已知0

2β

的值．

20、【2015高考重庆，理18】 已知函数f (x )=sin ⎛ π

⎫2

⎝

2

-x ⎪⎭

sin x x （1）求f (x )的最小正周期和最大值； （2）讨论f (x )在⎢

⎡π⎣

6, 2π⎤

3⎥⎦上的单调性.

15、(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos ∠EDC ，

于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD ，即CD2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD＝－3舍去) ．

在△CDE 中，由正弦定理，得EC CD

sin ∠EDC sin α

.

CD ·sin 2π23

于是，sin α＝32

21

EC 7

＝7，即 sin ∠CED ＝21

7.

(2)由题设知，0＜α＜π

3，于是由(1)知，

cos α1－sin2α1－27

49＝7而∠AEB 2π

3－α，所以

cos ∠AEB ＝cos ⎛ 2π⎝3－α⎫⎪⎭

＝cos 2π2π

3α＋sin 3sin α

13

2cos α＋2α

1×273217272×714.

在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA 2

BE ＝BE ，故

BE ＝2cos ∠AEB 2

7

47.

1416、(1)．如图3，

α=

π

-(π-

2β) =2β-

π

π

2

2

, ∴sin α=sin(2β-

2) =-cos 2β

， 即sin α+cos 2β=0． （2）．在∆ABC 中，由正弦定理得

DC sin α=AC

sin(

π-β) , ⇒DC sin α=∴sin β=α

由(1)得sin α=-

cos 2

β，

∴sin β=β=-2sin 2

β),

即2β-sin β=0. 解得sin β=

2sin β=-3． 0

π

2

∴, s βi =⇒β=, π

3

.

17、解：(1)在△ABC 中，由b c

sin B＝sin Csin B 6sin C ，可得b 6

c. 又由a －c 6

6b ，有a ＝2c.

所以cos A＝b2＋c2－a22bc 6c2＋c2－4c226c2

＝6

4. (2)在△ABC 中，由cos A ＝6A ＝10

4，可得sin 4. 于是cos 2A ＝2cos2A －1

＝－1sin 2A＝2sin A·cos A1544.

所以cos ⎛ π⎫ππ153⎝

2A －6⎪⎭＝cos 2A·cos 6sin 2A·sin 6＝8.

19、解：(1)∵tan α1

2＝2 2tan α2×1∴tan α2

＝2

＝4

1－tan α⎛1⎫

3 21－ ⎝2⎪2

⎭

由⎧sin α⎨cos α＝43

⎩sin 2α＋cos 2α＝1，

解得sin α＝4⎛

5 4⎫⎝sin α＝－5舍去⎪⎭. (2)由(1)知cos α1－sin α＝

1－⎛ 4⎫23

⎝5⎭

＝5， 又0

2β

10

∴sin(β－α) ＝1－cos (β－α)＝1－⎛ 2⎫22

⎝10⎭

＝10，于是sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α) ＋cos αsin(β－α) ＝423722510＋5102.

又β∈⎛ π⎫3π⎝

2，π⎪⎭

，∴β4.

20、（I ）由题意知f (x )=sin 2x 1+cos ⎛

⎝2x +π⎫2⎪

⎭2-2

=

sin 2x 1-2-sin 2x 2=sin 2x -1

2

由-

π

2

+2k π≤2x ≤

π

2

+2k π, k ∈Z 可得-

π

4

+k π≤x ≤

π

4

+k π, k ∈Z

由

π

2

+2k π≤2x ≤

3π2+2k π, k ∈Z 可得π4+k π≤x ≤3π

4

+k π, k ∈Z 所以函数f (x ) 的单调递增区间是⎢⎡-

ππ⎣4+k π, 4+k π⎤

⎥⎦

(k ∈Z ) ；

单调递减区间是⎢

⎡π⎣4+k π

, 3π4+k π⎤⎥⎦(k ∈Z )