微积分在不等式中的应用

微积分在不等式中的应用

摘 要 不等式是数学中的重要内容, 证明不等式的方法多种多样, 有些不等式用初等数学的方法来证明, 需要较高的技巧, 甚至有时候有些不等式根本无法用初等数学的方法证明. 而有时用高等数学中微积分的有关知识来证明不等式, 可以是不等式变得简单. 本文就总结如何利用高等数学中函数单调性, 拉格朗日中值定理, 函数的最值, 函数凸凹性, 泰勒公式及积分性质来证明不等式.

关键词 不等式; 微积分; 证明; 应用 中图分类号 O 172

The application of the calculus in inequality

School of Mathematics and Statistics,Hexi University,Zhangye,Gansu,734000

Abstract: Inequality is an important part of mathematics to prove the inequality many different ways, some inequality method elementary mathematics to prove that require higher skills, and sometimes even impossible to prove some inequalities method of elementary mathematics. And sometimes with the knowledge of higher mathematics in calculus to prove inequality, the inequality can be made simple. This paper summarizes how to use advanced mathematics monotonic function, Lagrange mean value theorem, the value of the function, the function punch resistance, and the integral nature of the Taylor formula to prove inequality. Keywords: inequality calculus proof applications

微积分是高等数学的重要内容, 以它为工具能较好地研究函数性态, 不等式表达了许多许多微积分问题的结果, 而微积分的一些定理和公式又可以导出许多不等式. 不等式的证明方法很多, 而利用微积分证明, 可以是不等式的证明简化. 下面采用举例的方法给出了应用微积分证明不等式的几种方法.

1 利用函数的单调性证明不等式

定理 设f (x ) 在[a , b ]上连续, 并在(a , b ) 上可导, 则f (x ) 在[a , b ]上单调递增（递减）的充要条件是：

f ' (x ) ≥0(f ' (x ) ≤0), x ∈(a , b )

若f (x ) 在[a , b ]严格递增(递减), 则充要条件改为:

f ' (x ) ' >0(f ' (x )

利用函数的单调性证明不等式的具体思路： 若要证的不等式已化为：

f (x ) >0, x ∈(a , b ) (1)

或 f (x ) ≥0, x ∈(a , b ) (2)

若能证明f ' (x ) >0(f ' (x ) 0, 则由严格递增（或单调递减）, 不等式（1）（2）必成立. 这样的问题转化证明新的不等式：

f ' (x ) >0, x ∈(a , b ), f ' (a ) ≥0 (3) 或 f ' (x ) ≥0, x ∈(a , b ), f ' (a ) ≥0 (4) 若不等式（3）（4）较易证明, 则原不等式得证. 若导数f ' (x ) 的符号难以确定, 不等式（3）（4）仍不能直接证明, 进而考虑二阶乃至更高阶数的导数, 直至到导数

f ' (x ) 的符号确定为止.

x 2x 2

例1 证明当x >0时 x -

22(1-x )

x 202

证明 令f (x ) =ln(1+x ) -(x -), 则f (0) =ln(1+0) -(0-) =0.

22

对f (x ) 求导得

111+x x (1+x ) x 2

f (x ) =-(1-x ) =-+=.

1+x 1+x 1+x 1+x 1+x

'

x 2

>0, 即f ' (x ) >0. 由已知x >0, 得1+x x 2

0, 故x -2

x 2

令g (x ) =ln(1+x ) -(x -, 则g (0) =0

2(1+x ) 对g (x ) 求导得

11x 2' 11+x 12x (1+x ) -x 2) -x 2

g (x ) =-1+() =-+() =. 22

1+x 21+x 1+x 1+x 2(1+x ) 2(1+x )

'

-x 2x 2'

因为x >0, 所以

2(1+x ) 2(1+x ) x 2

根据定理, 可知g (x )

2(1+x )

x 2x 2

综合上述得x - (x >0).

22(1+x )

利用函数的单调性证明不等式时, 一般不等式两边函数之差为新函数f (x ). 通过对此函数求导, 看其导数f (x ) 的正负性, 然后运用定理, 判断出f (x ) 的正负. 有些函数一阶导数不容易看出在某区间上不变号, 这时需要求二阶导数, 甚至要求更高

阶导数.

4

例2 设e 2(b -a ).

e

4

证明 设h (x ) =ln 2x -2x , 则

e

ln x 4

h ' (x ) =2-2.

x e 1-ln x

h ' ' (x ) =2. 2

x

所以当x >e 时, h ' ' (x )

h ' (x ) >h ' (e 2) =

44-=0. e 2e 2

即当e h (b ).

442

b >ln a -a . e 2e 2

4

故ln 2b -ln 2a >2.(b -a ).

e

2 利用拉格朗日中值定理证明不等式

即ln 2b -

定理 (拉格朗日中值定理若函数) y =f (x ), 满足下列条件: (1) 在闭区间[a , b ]上连续; (2) 在开区间(a , b ) 内可导.

f (b ) -f (a )

.

b -a

拉格朗日中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理, 虽然它的结论看

则在区间(a , b ) 内至少有一点ξ, 使得f ' (ξ) =

起来是一条等式, 但由于a

证明的目的.

a -b a a -b

分析 观察不等式, 用一般的数学方法很难证明它, 我们可以考虑做辅助函数,

1ln a -ln b 1ln a -ln b

a a -b b a -b

例3 证当0中值定理公式的一部分, 所以做辅助函数F (x ) =ln x .

证明 令F (x ) =ln x . x ∈[b , a ],在[b , a ]上使用拉格朗日中值定理, 知存在

ξ∈(b , a ), 使

所以

ln a -ln b 1

=f ' (ξ) = b a -b ξ

111ln a -ln b 1

例4 证明|arctan a -arctan b |

1

, 显然f (x ) 在[a , b ]满足拉格朗日中2

1+x

值定理的条件, 于是由定理得：f (b ) -f (a ) =f ' (ξ)(b -a ), a

由于f (b ) =arctan b , f (a ) =arctan a , f ' (ξ) =

1

. 因此上式即为 1+ξ2

arctan b -arctan a =

1

(b -a ) 2

1+ξ

又由a

11

1+ξ1+ξ

即|arctan a -arctan b |

3 利用函数的极值与最值证明不等式

定理 (极值第一充分条件） 设函数f (x ) 在点x 0的某邻域(x 0-δ, x 0+δ) 内连续可导,

（1）若x ∈(x 0-δ, x 0) 时, f ' (x ) ≥0; x ∈(x 0, x 0+δ) 时f ' (x ) ≤0; 则f (x ) 在x 0处取极大值

（2）若x ∈(x 0-δ, x 0) 时, f ' (x ) ≤0; x ∈(x 0, x 0+δ) 时f ' (x ) ≥0; 则f (x ) 在x 0 取极小值

利用函数的极（最）值证明不等式的思路是：

f (x ) ≤M (f (x ) ≥m ), x ∈(a , b )

则只需要证明min f (x ) ≤M (min f (x ) ≥m ). 具体的方法首先要求出函数

a

a

f (x ) 的最大值M （f (x ) 的最小值m . ）进而证明不等式的成立.

例5 设x i >0, ∑x i =1证明不等式

i =1

n

∏(x i +

i =1

n

11) ≥(n +) n x i n

1(1+x ) k

, (k >1, x >0) 易判别x =证明 构造函数则f (x ) =为f (x ) 的最

k -1x

小值ξ.

n

(1+x ) k k k 22

所以令取x =x , x >0, x =1k =n +1, ≥, (x >0, k >1) ∑i i i k -1

x (k -1) i =1

代入上式整理后得.

x i +

11212

≥(n 2+1) 2() n +1(∏) n +1, (i =1, 2, n ). x i n i =1x i

2n 2

n 2-1

2n 2

n

n 2-1

于是得

∏(x i +

i =1

n

111) ≥(n 2+1) 2() n +1(∏) n +1, (i =1, 2, n ). x i n i =1x i

n

由平均值不等式得

1n 1n n

x ≤(x ) =() . ∑∏i i

n i =1n i =1

n

即∏x i ≥n n 代入上式整理得

i =1

n

∏(x i +

i =1

n

11) ≥(n +) n x i n

4 利用函数凹凸性证明不等式

定理 设函数f (x ) 在区间[a , b ]上具有二阶导数, 则在[a , b ]上f (x ) 为凸（凹）函数的充要条件是：

f ' ' (x ) ≥0(f ' ' (x ) ≤0), x ∈[a , b ].

当所证的不等式中出现了形如

f (x 1) +f (x 2) + +f (x n ) x +x 2+ +x n

, f (1)

n n

的式子, 我们可以考虑函数的凹凸性来证明, 利用函数的凹凸性证明不等式是：首

先构造适当的函数, 求出函数二阶导数的符号, 判断凹凸性, 进而利用凹凸性的定义的相应的不等式, 从而达到证明的目的.

如果函数是凹函数, 则在[a , b ]有

f (x 1) +f (x 2) + +f (x n ) x +x 2+ +x n

≥f (1), (n =2, 3, 4 );

n n

反之如果函数凸函数, 则在[a , b ]有

f (x 1) +f (x 2) + +f (x n ) x +x 2+ +x n

≤f (1), (n =2, 3, 4 );

n n

例6 若x >0, y >0, z >0, 且x ≠y ≠z , 试证

x ln x +y ln y +z ln z >(x +y +z ) ln(

x +y +z

). 3

分析 上面不等式显然等价于

11x +y +z (x ln x +y ln y +z ln z ) >(x +y +z ) ln(), 333

1x +y +z

所以(lnx x +ln y y +ln z z ) >)

33

x +y +z

3

.

x +y +z ) f (x ) +f (y ) +f (z )

) 和. 33

故可考虑用函数凹凸性来证明.

不等式含有f (

证明 令f (u ) =ln u u , 则f ' (u ) =(lnu u )' =(u ln u ) ' =ln u +1, f ' ' (u ) =

u >0.

1

>0 u

因为f ' ' (u ) >0, 所以f (u ) 为严凸函数. 对任意x , y , z ∈(0, ∞), (x ≠y ≠z ), 根据严凸函数的定义f (

x +y +z ) f (x ) +f (y ) +f (z )

)

x +y +z

3

x +y +z ) x +y +z

) =) 由于f (

33

, f (x ) =ln x x , f (y ) =ln y y , f (z ) =ln z z .

x +y +z 3

x +y +z ) f (x ) +f (y ) +f (z ) x +y +z

f ()

333

ln x x +ln y y +ln z z

3

1x +y +z ln x x +ln y y +ln z z ⇒(x +y +z ) )

不等式两边分别乘以3, 得

x +y +z

)

x +y +z

). 成立. 所以x ln x +y ln y +z ln z >(x +y +z ) ln(

3

5 利用函数泰勒展开式证明不等式

(x +y +z ) ln(

定理 （泰勒定理） 若函数f 在[a , b ]上存在直至n 阶段连续导函数, 在(a , b ) 内存在(n +1) 阶导函数, 则对任意给定的x , x 0∈[a , b ],至少存在一点ξ∈[a , b ],使得

f ' ' (x )

f (x ) =f (x 0) +f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0) 2+

2!

'

f n (x 0) f n +1(ξ) n +(x -x 0) +(x -x 0) n +1.

n (n +1)!

1

, 等形式的函数1+x

不等式的证明, 当函数出现这种不等式时, 观察不等式的变化, 优先考虑使用泰勒展开是证明不等式, 使用泰勒展开式中, 取相应的前几项, 很容易证明的结果.

使用泰勒展开式证明不等式主要针对e x , sin x , cos x , ln x ,

例7 证明若函数f (x ) 在[a , b ]上存在二阶导数, 且f ' (a ) =f ' (b ) =0, 则在

(a , b ) 内存在一点ξ, 使|f ' ' (ξ) |≥

4

|f (b ) -f (a ) | 2

(b -a )

证明 将f (

a +b

) 分别在点a 和b 处展开一阶泰勒公式, 并利用2

f ' (a ) =f ' (b ) =0, 有

f ' ' (ξ1) b -a 2a +b a +b

) =f (a ) +() , a

) =f (a ) +() ,

[f (ξ1) -f ' ' (ξ2)]=0 由(1) -(2) 得f (a ) -f (b ) +

8

⇒f ' ' (ξ1) -f ' ' (ξ2) =

8' ' ' ' ' '.

[f (b ) -f (a )].|f (ξ) |=max{|f (ξ) |,|f (ξ2) |} 12

(b -a )

因

8' ' ' ' ' '

|f (b ) -f (a ) |≤|f (ξ) |+|f (ξ) |≤2|f (ξ) |. 122

(b -a )

4

|f (b ) -f (a ) |

(b -a ) 2

故有 |f ' ' (ξ) |≥

6 利用级数证明不等式

观察不等式的两边出现级数的形式时, 把函数展成幂级数的形式, 去证明不等式比较简单.

1-x

1+x

>e 2x , x ∈(0, 1). 由 证明 原不等式等价于1-x

e

2x

22x 22n x n

=1+2x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅

2! n !

1+x

=(1+x )1+x +x 2⋅⋅⋅=1+2x +2x 2+⋅⋅⋅x ∈(0, 1) 1-x

()

2n x n

知不等式级数展开式左边的一般项是2x , 右边的一般项是；因为当

n !

n

22n n n

n ≥3时, 2>, 所以, 当n ≥3, 0x , 所以：

n ! n !

2n x n

1+∑2x >1+∑n ! n =1n =1

∞

2

∞

即：

1+x

>e 2x x ∈(0, 1) 1-x

7 利用定积分的性质证明不等式

当所求不等式中出现积分符号时, 我们可以考虑运用定积分的各种性质来处理问题.

性质 在区间[a , b ]上, 若f (x ) ≥g (x ), 则⎰f (x ) d x ≥⎰g (x ) d x .

a

a

b

b

例9 证明2e

-

12

1

≤

2

e -x d x ≤

2

2.

证明 先求被积函数f (x ) =e -x 在区间[-

12

12

2

12

,

12

]上的最值. 易知

f (x ) =e -x 在[-

2

, 0]上递增, 在[0, ]单调递减. 且f (±

12

) =e , f (0) =1. 于是

-

12

f (x ) =e

-x 2

在[-

1212

,

121

]上有e

-

12

≤f (x ) ≤1.

在两边取[-,

2

]上积分, 由定积分性质得：

-12

1

2e ≤

2

-x d x ≤

2

2.

例10 设f (x ) 在(0, 1) 上有连续的导数, 且f (0) =f (1) =0, 证明：

⎰

2

x

'

1

2

11'

f (x ) d ≤⎰[f (x )]d x

402

证明 由于f (0) =0所以f (x ) =⎰f ' (x ) d x , 于是得

x

f (x ) =[⎰f (x ) d x ]≤⎰1d x ⋅⎰f (x ) d x ≤x ⎰f 2(x ) d x .

2

x

2

x

2

x

又f (1) =0, 则f (x ) =⎰f ' (x ) d x , 于是得

1

x

f 2(x ) =[⎰f ' (x ) d x ]2≤⎰12d x ⋅⎰f 2(x ) d x ≤(1-x ) ⎰f 2(x ) d x .

1

x

x

x 111

从而⎰f (x ) d x ≤⎰xd x ⋅⎰f 2(x ) d x +1(1-x ) d x ⋅⎰f 2(x ) d x =

2

1

2

120

111

112

f (x ) d x . ⎰04

微积分是人类智慧最伟大的成就之一, 是数学上的伟大创造, 它现在广泛影响着生产技术和科学的发展. 如今, 微积分已是广大科学工作者及技术人员不可缺少的工具. 以上我们通过举例, 归纳总结微积分的若干概念、定理、性质等内容在不等式证明这一方面的应用. 在学习微积分的过程中, 我们可以利用它来解决一些初等数学的问题, 将初等数学和高等数学的有关内容衔接起来, 从而整体上更好的理解有关数学的知识.

致谢 一直以来普照年老师耐心指导, 经常给我的文章一些修改的建议和写作文章一些方法, 使我的文章能够很好的完成, 再次衷心的感谢普照年老师的悉心指导.

参 考 文 献

[1]刘章辉. 微积分证明不等式的方法[J]. 雁北师范学院报,2006,12(2):73-76. [2]王五生. 微积分在不等式证明的应用[J]. 河池学院学报,2010,18(10):103-105. [3]许娟娟. 微积分在不等式证明的应用[J]. 温州大学学报,2011,(12):170-173. [4]史玉清. 微积分在不等式中的几种应用[J]. 东南大学学报,1993,182-183.

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