2-3高阶导数的概念

§2·3 高阶导数

引例（导数的导数） 函数y =sin x 的导数的导数是多少？ 分析 函数y =sin x 的导数是

y '=cos x ，

它仍然是x 的函数，并且在点x 处可导. 我们对它再求导数，得

(y ') '=(cosx ) '=-sin x .

上述结果就是函数y =sin x 的导数的导数，通常称为y =sin x 的二阶导数.

定义 若函数y =f (x ) 的导函数y '=f '(x ) 仍然可导，则我们把y '=f '(x ) 的

d 2y

导数叫做函数y =f (x ) 的二阶导数，记作y '', f ''(x ) 或2，即

dx

y ''=(y ') ', f ''(x ) =[f '(x ) ]',

d 2y d ⎛dy ⎫

= ⎪. dx 2dx ⎝dx ⎭

相应地，把y '=f '(x ) 叫做函数y =f (x ) 的一阶导数. 通常对一阶导数不指明它的阶数.

类似地，函数y =f (x ) 的二阶导数的导数叫做y =f (x ) 的三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，…，一般地，y =f (x ) 的（n -1）阶导数的导数叫做

y =f (x ) 的n 阶导数，分别记作

y ''', y (4) , , y (n ) ;

或

f '''(x ), f (4) (x ), , f (n ) (x );

d 3y d 4y d n y 或, , , n .

dx 3dx 4dx

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.

由高阶导数的定义知，求函数y =f (x ) 的高阶导数，只需多次连接地求导数即可，因此仍可应用前面的求导方法进行计算.

例1 求函数y =ax 2+bx +c (a , b , c 为常数) 的二阶导数.

59

解 对y =ax 2+bx +c 依次求导，得

y '=2ax +b ,

y ''=2a .

例2 设y =ln(1+x ) ，求y ''

x =0

, y '''

x =0

.

解 对y =ln(1+x ) 依次求导，得

y '=

11+x , y ''=-1(1+x ) 2, y '''=

2

(1+x ) 3

. 将x =0代入以上各式，得

y ''

x =0

=-1, y '''

x =0

=2.

例3 设y =a x (a >0, a ≠1) ，求y (n ) ． 解 y '=(a x ) '=a x ln a ,

y '' =(a x ln a ) ' =

a x ln 2a ,

y (n ) =a x ln n a .

即

特别地，a =e 时，得

例4 求y =sin x 的n 阶导数. 解 y '=cos x =sin(x +

π

2

) ，

y ''=cos(x +

π

2

) =sin(x +

π

2

+

π

) =sin(x +2⋅π

22

),

y '''=cos(x +2⋅ππ

2=sin(x +3⋅2

一般地，可得

60

类似地，可求得y =cos x 的n 阶导数为

案例1（汽车运行的加速度） 在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车行驶的距离s （单位：m ）与时间t (单位：s) 满足关系式

s =19.2t -0.4t 3.

求汽车在t =4s 时的速度和加速度.

解 汽车刹车后的速度为

v =

d s

=(19.2t -0.4t 3) '=19.2-1.2t 2. d t

于是，汽车在t =4s 时的速度为

v (4)=(19.2-1.2t 2)

t =4

=19.2-1.2⨯42=0（m/s）.

在物理学中，把物体运动的速度的变化率叫做物体运动的加速度，记作a . 即物体运动的加速度a 是速度v 对时间t 的一阶导数，是路程s 对时间t 的二阶导数，即

d 2s

a =s ''(t ) =2.

d t

因此，汽车刹车后的加速度为

d 2s d v a =2==(19.2-1.2t 2) '=-2.4t .

d t d t

于是，汽车在t =4s 时的加速度为

a (4)=-2.4t

t =4

=-9.6（m/s）.

2

案例2（利润增长率的变化率） 某工程建设公司承包了一段公路的建设任务，建设周期至少要3年. 如果这一公路的建设有以下两个可供选择的方案模型：

模型1 L 1(t ) =

3t

， t +1

61

t 2

+2， 模型2 L 2(t ) =

t +1

其中L 1, L 2是利润（单位：百万元），t 是时间（单位：年）. 问：哪种方案的模型最优？

解 将t =1，t =2依次代入两个模型中，得

L 1(1)=

33

, L 2(1)=； 22

7

L 1(2)=2, L 2(1)=.

3

即，1年后两个模型的利润额是相等的，2年后第2个模型的利润额大于第1个模型. 这是什么原因呢？下面我们来比较两个模型的利润增长率. 对两个模型分别求导，得

2

3t +2t '，. L 1'=L =222(t +1) (t +1)

将t =1分别代入上式，得

L 1'(1)=

33

, L 2'(1)=. 44

即这时两个模型的利润增长率仍然相等. 因此，需要考察这两个模型利润增长率的变化情况. 对两个模型分别求二阶导数，得

L 1''=-

62''. , L =233

(t +1) (t +1)

将t =1分别代入上式，得

31L 1''(1)=-, L 2''(1)=.

44

以上结果表明，对第一个模型来说，在t =1处，利润增长率L 1'(1)>0，但利润增长率的变化率L 1''(1)

L 2'(1)>0，L 2''(1)>0，所以利润的增长率在加速.

由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择第二个模型.

62

1．填空：设y =2x ，则

（1）y '= ；（2）y ''= ；（3）y '''= . 2．求下列函数的二阶导数：

(1)(3)

y =3x 4-4x 2+5. y =4x -x 4.

(2)(4)

y =cos 2x ln x .

y =3．求下列函数在指定点的二阶导数：

(1) (3)

f (x ) =(x +2) 5, x =2. f (x ) =x cos x , x =

(2) (4)

π

2

.

f (x ) =e 2x , x =0.

1-x

f (x ) =, x =-2.

1+x

4．验证：y =e x sin x 满足关系式：y ''-2y '+2y =0. 5．设f (x ) =(x +10) 6, 求f ''(0),f '''(2). 6．求下列函数的n 阶导数：

（1）y =x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ +a n -1x +a n (a 1, a 2, , a n 都是常数) . （2）y =sin 2x . （3）y =7. 设质点作直线运动, 其运动方程为s =A cos 时刻t =1时的速度和加速度.

8．质点按规律s =

1t

(e -e -t ) 作直线运动, 试证它的加速度a 等于s . 2

1-x

. 1+x

πt

3

(A 为常数), 求该质点在

9．一子弹射向正上方，子弹离地面的距离s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为s =670t -4.9t 2，求子弹的加速度.

10．1985年美国的一家报刊报道了国防部长抱怨国会和参议院削减了国防预算. 但是他的对手却反驳道，国会只是削减了国防预算增长的变化率. 即预算仍然在增加，只是预算的增长变缓了. 若用f (x ) 表示预算关于时间的函数，试判断f (x ) 的一阶导数和二阶导数的符号.

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