高中数学最值问题大盘点(作者赵先举)

最值问题大盘点

(作者 赵先举 )

最值问题一直是高中数学的重要内容之一, 也是高考的热点问题. 它综合性强, 且在生产与生活中有这广泛的应用. 因此, 求最值问题是我们在高中阶段必须掌握的内容. 下面结合具体例子来说明, 不同条件下求最值的方法. 一、二次函数求最值问题

二次函数是我们最熟悉的函数之一, 求二次函数的最值一般需要考虑对称轴, 而对于一些含参数的二次函数在限定区间上的最值还要进行分类讨论. 这也是主要的考查方式. 例1. 设函数f (x ) =ax 2+(2a -1) x +1在区间[-, 2]上的最大值为3, 求实数a 的值.

32

1121, 此时f (x ) =x +1, 可知, a =适222

39a 327

-3a ++1=3, 可得a =-, 此时对称轴为x =-, 开口向下, 合题意; 令f (-) =3, 即

24234

[解析]:令f (2)=3, 即4a +4a -2+1=3, 解得a =

1-2a 11-4a +4a 2(2a -1)(1-2a )

) =3, 即++1=3, 可得a =-, 此时对适合题意; 令f (2a 24a 2a

称轴为x =-2∉[-, 2], 不适合题意; a =0时显然也不适合题意. 故a =-

3221或. 22

[点评]:解决二次函数在某一区间上的最值, 应注意二次函数图象的开口方向, 对称轴的位置以及二次函数在此区间上的但调性等. 对于含参数求最值的讨论, 其主要依据就是对称轴与区间的关系, 一般可以分为三种情况:对称轴在所给区间的左边, 在区间内及在区间的右边. 二、抽象函数的最值问题

抽象函数由于没有具体的解析式, 一般都是在单调性与奇偶性等基础进行求最值. 有时候需要先证明这些性质.

例2. 已知f (x ) 是定义在R 上的奇函数, 且满足如下两个条件:①对于任意的x , y ∈R 都有

f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ; ②当x >0时, f (x )

[-3,3]上的最大值和最小值.

[解析]:本题没有具体的解析式, 要求其最值,, 可先根据已知条件确定函数在[-3,3]上的单调性. 设x 1

f (x 2-x 1) =f (x 2) -f (x 1) . 因为x 2-x 1>0, 由条件②可得f (x 2-x 1)

f (x 2) -f (x 1) f (x 2) . 所以, f (x ) 在R 上单调递减. 所以, f (x ) 的最大值为

f (-3) =-f (3)=-f (1+2) =-f (1)-f (1+1) =-3f (1)=2007, 最小值为f (3)=-2007.

[点评]:对于抽象函数求最值, 由于没有具体函数, 一般是通过研究函数的单调性来确定其最值. 而对于抽象函数单调性的证明一般是直接采用定义直接证明即可.

三、数列中的最值问题

数列是一种特殊的函数, 它和函数一样也有相应的最值, 尤其是等差数列的前n 项和, 它的形式是关于正整数n 的二次函数的形式, 可以借助二次函数的方法求最值, 也可以根据数列的特点求最值.

9n (n +1)

例3. 已知a n =(n ∈N *), 试问:数列{a n }有没有最大项? 如果有, 求出最大项, 如果没n

10

有, 请说明理由.

⎧9n (n +1) 9n -1⋅n

≥n -1

⎧a n ≥a n -1⎪⎪10n 10

[解析]:设{a n }中第n 项最大, 则⎨, 即⎨解之得8≤n ≤9, 即第

n n +1a ≥a n +1⎩n ⎪9(n +1) ≥9(n +2) ⎪10n +1⎩10n

8项和第9项最大.

[点评]:如果数列的第n 项最大, 则⎨

⎧a n ≥a n -1

, 则{a n }从第1项到第n 项是递增的, 从第n 项开

⎩a n ≥a n +1

⎧a n ≤a n -1

始是递减的; 其实, 若第n 项最小, 类似有⎨. 这是求数列中最小项的基本方法.

a ≤a n +1⎩n

例4. 等差数列{a n }中, a 1=25, S 17=S 9, 问数列前多少项之和最大, 并求此最大值. [解法一]:设公差为d, 则由⎨故Sn =25n +

⎧a 1=2517⨯169⨯8

d =9a 1+d , 可得d =-2. ⇒17a 1+

S =S 922⎩17

n (n -1)

⋅(-2) =-(n -13) 2+169, 所以, 前13项和最大, 最大值为169. 2

[解法二]:由前n 项和的定义及S 17=S 9可得:a 1+a 2+ +a 17=a 1+a 2+ +a 9, 即

a 10+a 11+a 12+ +a 17=0, 根据等差数列的性质可得:4(a 13+a 14) =0, 即a 13+a 14=0, 而a 1=25>0, 故数列递减, 所以, a 13>0且a 14

为169.

[解法三]:由解法一可得d =-2, 所以, a n =25+(n -1)(-2) =27-2n , 由⎨

⎧a n ≥0

, 即

⎩a n +1≤0

⎧27-2n ≥0⎧n ≤13.5

, 故n =13. 即前13项和最大, 同样可得最大值169. ⇒⎨⎨

27-2(n +1) ≤0n ≥12.5⎩⎩

[点评]:二次函数的前n 项和的最大(小) 值有两种求解方法. 一是利用二次函数的性质找对称轴, 根据对称轴确定最大值对应的n; 而是利用数列的特点, 若前n 项和最大, 则⎨

⎧a n ≥0

, 若前

⎩a n +1≤0

n 项和最小, 则⎨

⎧a n ≤0

, 根据不等式组来确定对应的n 值, 再求最值.

⎩a n +1≥0

四、三角函数的最值问题

由于三角函数本身取值范围就有一定的限制, 因此三角函数的最值问题也是考查的重要内容. 其中以正弦与余弦有关的最值问题居多.

例5. 已知函数f (x ) =sin 2x +2sin x cos x +3cos 2x ，x ∈R . 求: (I) 函数f (x ) 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数f (x ) 的单调增区间. [解析](I) 解法一:

f (x ) =

1-cos 2x 3(1+cos 2x ) π

+sin 2x +=1+sin 2x +cos 2x =2+x +) 224

∴当2x +

π

4

=2k π+

π

2

, 即x =k π+

π

8

(k ∈Z ) 时, f (x

) 取得最大值2函数f (x ) 的取得最大值的自变量x 的集合为{x /x ∈R , x =k π+解法二:

π

8

(k ∈Z )}.

f (x ) =(sin2x +cos 2x ) +2sin x cos x +2cos 2x =2sin x cos x +1+2cos 2x =sin 2x +

cos 2x +2

=2+x +

π

4

) , ∴当2x +

π

4

=2k π+

π

2

, 即x =k π+

π

8

(k ∈Z ) 时, f (x ) 取得最

大

值2+. 函数f (x ) 的取得最大值的自变量x 的集合为

{x /∈x R , =x π

π

8

(∈k . ) Z }

(II)解

: f (x ) =2+x +即: k π-

π

4

) 由题意得: 2k π-

π

2

≤2x +

π

4

≤2k π+

π

2

(k ∈Z )

3ππ3ππ

≤x ≤k π+(k ∈Z ) 因此函数f (x ) 的单调增区间为[k π-, k π+](k ∈Z ) . 8888

[点评]:本小题考查三角公式, 三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识, 考查综合运

用三角有关知识的能力. 解此类问题的关键是把函数进行合并, 利用正弦与余弦函数的有界性判定最值.

例6. 求当函数y =sin x +a cos x -

2

2

13

a -的最大值为1时a 的值. 22

a 1a 2a 211

-a -, 设cos x =t 则[解析]:y =-cos x +a cos x --=-(cosx -) +

222422

a 2a 211

-1≤t ≤1, 所以转化为求二次函数y =-(t -) +-a -(-1≤t ≤1) 的最大值为1

2422

时a 的值.

a 3a 33a 3

以, a =->-2(舍去);

3

(1).当

a a a 2a 1

--, 由题意可得(2).当-1≤≤1, 即-2≤a ≤2时, t =,y 有最大值

22422

a 2a 1

--=1,

解得a =1正号舍去),

即a =1422

(3).当

a a 3a 3

>1, 即a ＞2时,t ＝1,y 有最大值-, 由题意可知, -=1, 所以,a ＝5.

22222

综上可知

, a =1a ＝5.

[点评]:此题实际上就是在限定区间上求二次函数的最值问题. 解题的关键是对所转化的二

次函数进行配方, 找出函数的对称轴, 根据三角函数的取值范围对对称轴中字母的讨论. 讨论的依据就是看对称轴是否在t 的取值范围内, 也即t 是否可以等于对称轴. 五、不等式中的最值问题

不等式本身就是来解决最大值与最小值的一种工具. 而“两个正数的算术平均数不小于这两个数的算术平均数”这一结论为求最值提供了依据.

(x +4)(x +9)

的最值.

x

3636

[解析]:(1).当x >0时，y =13+x +≥13+2x ⋅=25

x x

36

当且仅当x =即x =6时取等号。所以当x =6时，y min =25

x

3636 -⎫⎪≥2(-x )⎛ -⎫⎪=12 >0， (-x )+⎛(2).当x 0，-

⎝⎭⎝x x x ⎭

36

∴y =13-[(-x ) +(-)]≤13-12=1

x 36

当且仅当-x =-，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =13-12=1

x

例7. 求函数y =

[点评]:本题主要应用均值不等式，不要忽略了应用均值不等式求最值时的条件:两个数都应大于零，否则可能导致错误. 因为函数y =

(x +4)(x +9)

的定义域为(-∞，0) (0，+∞)，

x

所以必须对x 的正负加以分类讨论. 六、与导数中有关的最值问题

导数是判断高次函数性质的重要方法, 它从函数的单调性入手分析函数的图像特征, 从而得出函数的极值或最值.

23

例8. 已知函数f (x ) =-x +ax ，g (x ) =x ，方程f (x ) =0的一个根是6.

（1）求函数f (x ) 和g (x ) 的图象在第一象限内的交点A 的坐标；

（2）若直线x =t (0

值时线段MN 的长度取得最大值；

（3）已知函数f (x ) 图象在M 点处的切线为l 1，g (x ) 的图象在N 点处的切线为l 2，若l 1、l 2与x 轴的交点分别为P 、Q ，试求P 、Q 两点之间距离的取值范围.

2

[解析]：(1).方程f (x ) =0即-x +ax =0，它有一个根6，所以得a =6，这样

2

⎧⎪y =-x +6x 32

x =-x +6x ，解得x =0, 2, -3. 当x =2时得得f (x ) =-x +6x . 由⎨3

⎪⎩y =x

2

y =8，所以函数f (x ) 和g (x ) 的图象在第一象限内的交点A 的坐标是(2, 8) ；

(2).依题意得线段

MN

的长度|MN |=(-t 2+6t ) -t 3=-t 3-t 2+6t , 设

h (t ) =-t 3-t 2+6t ，则h ' (t ) =-3t 2-2t +6，令h ' (t ) =0，得t =

-1±， 3

由于0

-1+-1+，当00，当

33

-1+-1+时函数h (t ) 取得最大值. 即当

33t =

-1+时，线段MN 的长度取得最大值； 3

2'

（3）由于M (t , -t +6t ) ，f (x ) =-2x +6，所以函数f (x ) 图象在M 点处的切线l 1的斜2

率为-2t +6，于是l 1的方程为y -(-t +6t ) =(-2t +6)(x -t ) ，令y =0得

t 2-6t t 2

x P =+t =; 同理, N (t , t 3) ，g ' (x ) =3x 2，所以l 2的方程为

6-2t 2t -6

y -t 3=3t 2(x -t )

，令

y =0

得

x Q =

2t

3

. 所以

2t t 2t 2-12t 127

|PQ |=x Q -x P =-==⋅[(t -3) --6], 因为0

32t -66(t -3) 6t -3

12710

-3

6t -33

10

范围是(0, ) .

3

[点评]:我们知道, 在闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值. 极值有时候就是最值, 但最值也有可能在区间端点处取. 因此解决这一类问题的方法是:先求出在对应区间上的极值, 再与区间端点的函数值进行对比. 最大的为最大值, 最小的为最小值.

七、应用题中的最值问题

应用题是考查综合知识的载体, 它可以把各方面的知识进行整合、联系, 而求最值问题也是应用题中出现频率较高的问题.

例9.(2006年湖南高考题) 对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1-

污物质量

) 为0.8, 要求洗完后的清洁度是0.99. 有两种方案可供

物体质量(含污物)

x +0.8

(x >a -1), 用y 质量x +1

选择, 方案甲:一次清洗; 方案乙:两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为a (1≤a ≤3). 设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是

的水第二次清洗后的清洁度是

y +ac

, 其中c (0.8

度.

(Ⅰ) 分别求出方案甲以及c =0.95时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ) 若采用方案乙, 当a 为某定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最少? 并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

[解析]:(Ⅰ) 设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z, 由题设有

x +0.8

=0.99,解得x=19. x +1

由c =0.95得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y 满足方程:

y +0.95a

=0.99, 解得y=4a , 故z=4a +3.即两种方案的用水量分别为19与4a +3.

y +a

因为当1≤a ≤3时, x -z =4(4-a ) >0, 即x >z , 故方案乙的用水量较少. （II ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似（I ）得

5c -4

，y =a (99-100c ) （*）

5(1-c )

5c -41

+100a (1-c ) -a -1 于是x +y =+a (99-100c ) =

5(1-c ) 5(1-c ) x =

当a 为定值时

, x +y ≥a -1=-a +1,

当且仅当

1=100a (1-c ) 时等号成立. 此

时c =1(不合题意, 舍去)

或

5(1-c ) c =1(0.8,0.99),

将c =1*）式

时总用水量最少, 此时第一次与

得x =1>a -1, y =a .

故c =1-

第二次用水量分别为

1与a , 最少总用水量

是T (a ) =-a +1.

当1≤a ≤3时, T ' (a ) =

1>0, 故T(a ) 是增函数(也可以用二次函数的单调性判断). 这说明, 随着a 的值的增加, 最少总用水量增加.

[点评]:应用题中的变量必须根据实际问题进行约束, 它可以把“均值不等式”、函数的单调性及导数等知识综合起来考查. 要正确解决此类问题首先要正确理解题目的含义进行正确转换, 进而选用相关数学知识进行求解.

由以上可知, 不等式的知识贯穿了整个高中数学教材, 要注意各部分知识之间的互相联系和区别, 在不同的知识中选择最合适的方法加以应用.