1.1函数解析式的几种基本方法及例题

求函数解析式的几种基本方法及例题：

1、凑配法：已知复合函数f [g (x )]的表达式，求f (x ) 的解析式，f [g (x )]的表达式容易配成g (x ) 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f (x ) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是g (x ) 的值域。 此法较适合简单题目。

例1、（1）已知f(x+1)=x2+2x,求f(x)及f(x-2).

（2） 已知f (x +) =x 2+1

x 1 (x >0) ，求 f (x ) 的解析式 x 2

解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1, ∴f （x ）=x2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x2-4x+3.

（2） f (x +) =(x +) 2-2， x +≥2

∴f (x ) =x 2-2 (x ≥2) 1x 1x 1x

2、换元法：已知复合函数f [g (x )]的表达式时，还可以用换元法求f (x ) 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例2 （1） 已知f (x +1) =x +2x ，求f (x +1)

1x (2)如果f () =, 则当x ≠0, 1时，求f (x ). x 1-x

解：（1）令t =x +1，则t ≥1，x =(t -1) 2 f (x +1) =x +2x

∴f (t ) =(t -1) 2+2(t -1) =t 2-1,

∴f (x ) =x 2-1 (x ≥1)

∴f (x +1) =(x +1) 2-1=x 2+2x (x ≥0)

1

1111(2)设=t , 则x =, 代入已知得f （t ）==, ∴f (x ) =. x t t -1x -11-t

3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。

例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x, 求f(x).

解：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,

⎧2a =2⎧a =1⎪⎪则应有⎨2b =-4∴⎨b =-2∴f (x ) =x 2-2x -1.

⎪2a +2c =0⎪c =-1⎩⎩

四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例4 设f (x ) 满足f (x ) -2f () =x , 求f (x )

解 f (x ) -2f () =x ①

显然x ≠0, 将x 换成1x 1x 1，得： x

11f () -2f (x ) = ② x x

解① ②联立的方程组，得：

f (x ) =-x 2- 33x

五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例5 已知：f (0) =1，对于任意实数x 、y ，等式f (x -y ) =f (x ) -y (2x -y +1) 恒成立，求f (x ) 解 对于任意实数x 、y ，等式f (x -y ) =f (x ) -y (2x -y +1) 恒成立，

不妨令x =0，则有f (-y ) =f (0) -y (-y +1) =1+y (y -1) =y -y +1

2再令 -y =x 得函数解析式为：f (x ) =x +x +1 2

⎧x -1-2, x ≤1⎪例6、（分段函数) 设f(x)=⎨1 g(x)=2x +1, 求f[g(x)]的表达式. , x >1⎪2⎩1+x

解：（对于分段函数的问题，应遵循“分段处理”的原则）

当|2x+1|≤1即-1≤x ≤0时，f[g(x)]=2|x|-2,

当|2x+1|＞1即x ＞0或x ＜-1时，f[g(x)]=

⎧2|x |-2, -1≤x ≤0⎪∴f[g(x)]=⎨ 1 x >0或x

（三）、课堂练习：

1、已知f(x+1)=x2-2x, 求f(x)及f(x-2).

(答案：f(x)=x2-4x+3,f(x-2)=x2-8x+15)

2、已知f （x +1）=x+2x +1,求f(x)的解析式。

（答案：f(x)=x2）

3、已知f(x)为多项式，f(x+1)+f(x-1)=2x2-2x+4.求f(x)的解析式。 （答案：f(x)=x2-x+1)

14、已知f(x)=2x+a,ϕ(x)=(x2+3),且ϕ[f(x)]=x2+x+1,则a= . 4

5、如果函数f(x)满足方程af (x ) +f (1) =ax , x ∈R 且x ≠0, a 为常数，且a ≠±1, 求f(x)的解析x

式。

111解：∵af(x)+f()=ax ① 将x 换成，换成x 得， x x x

a

1a a (ax 2-1) af()+f(x)= ② 由①、②得f(x)=2=2(x ∈R 且x ≠0). x x a -1(a -1) x ax 2-

2⎧⎪(x +1) x

（答案：0≤x ≤10或x ≤-2 )

7、已知函数f(x)对任意正数m,n 均有f(mn)=f(m)+f(n)成立，且f(8)=3,试求f(2) 的

1值。 （答案:f(2)=) 2