彩票中的数学优秀论文

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彩票方案的优选模型

摘要：本问题要求我们建立一种优选的评价准则去评估各种彩票方案的合理性，关于彩票中奖与否

涉及的因素较多，主要因素有中奖率、奖金额的设值 、彩票的规则对彩民的吸引力等。题目要求我们对各种因素进行综合分析，评价出给定29种彩票方案的合理性，另外题目还要求设计出更好的方案，对管理部门给出合理化的建议。

对问题一，我们首先分别对“传统型”、“乐透单项型”、“乐透复合型”给出了不同的概率计算方法，计算出了各类彩票方案中各种奖项的中奖率并统计中奖概率总和；其次，通过综合分析建立了评价彩票发行方案合理性的目标函数——合理度G, 它是度量各种因素对彩民吸引力程度的函数。本文通过层次分析法得到模型中涉及到的各因素的权重值Wj ，利用题目所给的数据通过向量的标准化得到各种因素的标准值Cj ，利用Matlab 软件编程对大量的数据进行了处理。得出序号为4的方案为“传统型”的最优方案，序号为7的方案为“乐透型”的最优方案。

对问题二，应用问题一中计算出的权重值，建立了合理的彩票发行方案的优化模型，通过Matlab 软件编程计算得到：在不同彩票发行类型不同中奖概率和P 和前提下的彩票发行最优方案，如表所示：

由表可知，适当提高P 和的浮动区间，彩票的发行方案更合理，“更好”。

关键字：层次分析，合理度，彩票，传统型，乐透型

1．问题重述

目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。

“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如附录表一（X 表示未选中的号码）。

“乐透型”常有两种方式――单项型和复合型。单项型比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。复合型又比如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如附录一。

2002年高教社杯全国大学生数学建模竞赛参赛论文

奖项的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如附录表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，

试分析各种不同彩票方案的合理性，并得到更好的彩票发行方案，给彩票管理部门提出建议。并且给报纸写一篇短文，供彩民参考。 2．定义、假设和符号说明 定义：

1) “传统型”：采用“10选6＋1”方案，由6个基本号码和1个特别号码组成，号码可重复，根据

单注号码与中奖号码的个数和顺序确定中奖等级的一种彩票；

2) “乐透型”：采用“m选n”（m>n）或“m选n+1”方案，方法较灵活，号码不可重复，不考虑号

码顺序仅以中奖号码的个数来决定中奖等级的一种彩票；

3) 中奖面：对于发行的单注彩票获得的各奖项概率之和，它表示每注彩票中奖的可能性；

4) 高项奖，低项奖:高项奖的奖金额为浮动值，它与当期的销售总额有关系，且按比例分配。一

般为一等奖、二等奖、三等奖；后面的奖项为低项奖，其单注奖金为固定值；

5) 奖池：对于某些特定金额的存储仓库，它包含每期最高奖项超出封顶的部分以及奖池的基金，

如果最高奖项为空注，所有的最高奖项奖金额滚入奖池；

6) 合理度：对于一种彩票实施方案各种指标的综合评定值，它的数值越大，相应的方案就越为 合理； 假设：

1) 单注规定最高奖项为一等奖，次之为二等奖、三等奖，依次类推，不存在特等奖的情况；

2) 若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖；

3) “传统型”要求基本号码是连号，如‘xbcdxf’表示与基本号码相符合的是‘bcd’，首尾相连

的情况视为不连续，如‘axxxxf’视为无奖；

4) “传统型”的抽奖号码可以重复，而“乐透型”中不管是“7/33”还是“6+1/36”的形式，

投注者的抽取号码不允许重复；

5) 单注投注金额为两元，总奖金一般为当期销售总额的50％，且此比例固定不变；

6) 低项奖单注奖金固定，高项奖金额按比例分配为浮动值，但一等奖单注保底金额60万元， 封顶金额500万元；

7) 彩票形式多种多样，在此问题中，我们仅讨论“传统型”和“乐透型”两种；

8) 假定各个不同方案均是在公正公平的原则下实施，而且彩民购买和对奖的方便程度相同； 第1页

2002年高教社杯全国大学生数学建模竞赛参赛论文 符号说明：

G ：合理度，用来评价彩票发行方案合理性的目标函数； Hj ：各种因素对彩票合理度G 的影响力； wj ：各种因素对彩票合理度G 的贡献权重； Pi ：各个奖项的中奖概率；

； Ri：各个奖项i 的设置及奖金（高项奖Ri 为比例值，低项奖Ri 为金额值）

P 和：彩票中奖的概率总和；

Cj ：影响合理度的每一种因素的标准值；

I ：彩票方案中设置的最低级奖项，也就是奖项数； I' ：高项奖的奖项数；

A ：合理度的几个影响因素通过两两比较得到的判断矩阵；

max：判断矩阵A 的最大特征值； C I ：判断矩阵A 的一致性指标； 3．问题分析和模型建立 1）各种奖项的概率计算:

对于种类繁多的彩票，目前流行的主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。

(1)针对“传统型6+1/10”的方案，由于基本号码是从6组0~9的数值中产生，并且6个基本号码允许重复，因此利用排列可以计算出各种中奖的概率。首先列出各种等级下可能出现的所有状态，如下表： 表1 传统型10选

6+1

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2002年高教社杯全国大学生数学建模竞赛参赛论文 [注]1：表中的×表示所选号码不是中奖号码。 2：表中的字母表示所选号码是中奖号码。

设1~6等奖的概率分别表示为p1~p6，例如状态为‘xbcdxf’下的概率为概率计算如下： p1

110 52 910

66 910 26

。因此1~6等奖的 ＝2.00 10 7 ； p2 c410 5 26 1

8.00 10 7 ； p3 1.80 10 5 ； p4 3 9 2 9 10 4 6

＝ 2.61 10 4； p5

4 9 6 9 2 9 10 6 32

＝3.423 10 3 ； p6

5 9 12 9 6 9 10 6 32

＝ 4.2039 10 2

(2) “乐透型”——常见有两种形式：单项型和复合型。其中，单项型指类似于“33选7”的形式，摇奖摇出7个基本号码和1个特别号码，但彩民应从33个号码中选出7个号码作为一注。而复合型指类似于“36选

6+1”的形式，摇奖有6个基本号码1个特别号码，彩民抽奖是从36个号码中出取7个号码，单项式和复合式都要求抽奖号码不可重复。判断彩民是否中奖以及中什么等级的奖项，主要看抽取的号码与基本号码和特别号码是否相符合以及相符合的个数。对不同游戏规则，可以分别计算各种等级奖项的中奖概率（选m/n计算）： a. 单项型彩票：

现以一注为单位, 计算一注中奖的概率。考虑实际奖项等级规则，为简单起见 ,我们建立一个摸球模型：假设袋子里有n 个球 ,其中有m 个红球 ,1个黄球和n m 1 个白球。设红球为中奖号码，黄球为特别号码，白

球为其他号码。于是，每一注彩票就相当于一次从袋子中摸出m 个球来，如果摸出m 个红球，即为一等奖；摸出m 1个红球、1个黄球，即为二等奖；摸出个m 1红球、1个白球，即为三等奖；摸出m 2个红球、1个黄球、1个白球，即为四等奖；摸出m 2个红球、2个白球，即为五等奖；摸出m 3个红球、1个黄球、2个白球，为六等奖；摸出m 3个红球、3个白球，为七等奖，由于抽取的奖号不可重复，因此问题简化为摸球试验是不放回的，即一次从口袋里抽出m 个球。

根据以上简化的假设和摸球模型，由组合计算公式，可以计算出各个奖项等级的中奖的概率分别 第3页

2002年高教社杯全国大学生数学建模竞赛参赛论文 为：

一等奖：p1 1C mn

； 二等奖：p2 1 CmC1 CCm mn m 11