数学必修五数列知识点解题技巧 (2)

高考数学数列部分知识点梳理

一数列的概念

1）数列的前n 项和与通项的公式①S n =a 1+a 2+ +a n ； a n =⎨

⎧S 1(n =1)

⎩S n -S n -1(n ≥2)

2）数列的分类：①递增数列:对于任何n ∈N +, 均有a n +1>a n . ②递减数列:对于任何

n ∈N +, 均有a n +1

如:6,6,6,6,„„. ⑤有界数列:存在正数M 使a n ≤M , n ∈N +. ⑥无界数列:对于任何正

1）通项公式a n =a 1+(n -1) d ，a 1为首项，d 为公差。前n 项和公式S n =

1n 或2

1

n (n -1) d . 2

2）等差中项：2A =a +b 。 S n =na 1+

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：a n +1-a n =d （n ∈N +，d 是常数）⇔{a n }是等差数列；⑵中项法：2a n +1=a n +a n +2(n ∈N +) ⇔{a n }是等差数列.

4）等差数列的性质：

⑴数列{a n }是等差数列，则数列{a n +p }、{pa n }（p 是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即⑶a n =a m +(n -m ) d ；a n =an +b (a , b 是常数) ；S n =an 2+bn (a , b 是常数，

a n , a n +k , a n +2k , a n +3k , 为等差数列，公差为kd .

a ≠0)

⑷若m +n =p +q (m , n , p , q ∈N +) ，则a m +a n =a p +a q ；

⎧S n ⎫

⎬是等差数列； ⎩n ⎭

S a

⑹当项数为2n (n ∈N +) ，则S 偶-S 奇=nd , 偶=n +1；

S 奇a n

⑸若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则⎨ 当项数为2n -1(n ∈N +) ，则S 奇

-S 偶=a n , (7)

设 (8)设则有 (9)

；

是等差数列的前项和，则

；

，公差为

，前项和为

，则

是等差数列，则

，

（

S 偶n -1

. =

S 奇n

的等差数列；

，

是常数）是公差为

，

(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列

①．

②．

为等差数列，公差为

（即

）为等差数列，公差

；

；

③．（即）为等差数列，公差为.

二、等比数列 1）通项公式：a n =a 1q n -1，a 1为首项，q 为公比 。前n 项和公式：①当q =1时，S n =na 1

a 1(1-q n ) a 1-a n q ②当q ≠1时，S n =. =

1-q 1-q

2

2）等比中项：G =a ⋅b 。

；

3）等比数列的判定方法：⑴定义法：

2

a n +1

=q （n ∈N +，q ≠0是常数）⇔{a n }是等比a n

数列；⑵中项法：a n +1=a n ⋅a n +2(n ∈N +) 且a n ≠0⇔{a n }是等比数列.

4）等比数列的性质：

⑴数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }、{pa n }（q ≠0是常数）都是等比数列；

n -m

a =a ⋅q (n , m ∈N +) m （2）n

（3）若m +n =p +q (m , n , p , q ∈N +) ，则a m ⋅a n =a p ⋅a q ；

（4）若等比数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k -S k 、S 3k -S 2k 、S 4k -S 3k 是等比数列. （5）设 （6）设

，

是等比数列，则

也是等比数列。

则

也是等比数列（即等比数

是等比数列，是等差数列，且

列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）； （7）设

（8

）设

则有

；

，公比为

； （即

）为

，前项和为

，则

是正项等比数列，则

，

是等差数列； ，

，

（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列 ①．

②．

为等比数列，公比为

等比数列，公比为；

三、解题技巧： A 、数列求和的常用方法：

1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。 2、错项相减法：适用于差比数列（如果{a n }等差，{b n }等比，那么{a n b n }叫做差比数列） 即把每一项都乘以{b n }的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。 3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适

⎧⎫⎧1⎫用于数列⎨和（其中{a n }等差）。可裂项为：⎬

⎩a n ⋅a n +1⎭

11111

=(-) =

a n ⋅

a n +1d a n a n +1d

B 、等差数列前n 项和的最值问题：

1、若等差数列{a n }的首项a 1>0，公差d

⎧a n ≥0（ⅰ）若已知通项a n ，则S n 最大⇔⎨；

a ≤0⎩n +1

（ⅱ）若已知S n =pn 2+qn ，则当n 取最靠近-

q

的非零自然数时S n 最大； 2p

2、若等差数列{a n }的首项a 10，则前n 项和S n 有最小值 （ⅰ）若已知通项a n ，则S n 最小⇔⎨

⎧a n ≤0

；

⎩a n +1≥0

q

的非零自然数时S n 最小； 2p

（ⅱ）若已知S n =pn 2+qn ，则当n 取最靠近-C 、根据递推公式求通项： 1、构造法：

1°递推关系形如“a n +1=pa n +q ”，利用待定系数法求解 2°递推关系形如“，两边同除p

n +1

【例题】已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=2a n +3，求数列{a n }的通项公式.

或待定系数法求解

【例题】a 1=1, a n +1=2a n +3n ，求数列{a n }的通项公式.

3°递推已知数列{a n }中，关系形如“a n +2=p ⋅a n +1+q ⋅a n ”，利用待定系数法求解 4°递推关系形如" a n -pa n -1=qa n a n -, 两边同除以a n a n -1 （1p,q ≠0)

【例题】已知数列{a n }中，a 1=1, a 2=2, a n +2=3a n +1-2a n ，求数列{a n }的通项公式.

【例题】已知数列a n 中，a n -a n -1=2a n a n -（a n 的通项公式. 1n ≥2),a 1=2，求数列 【例题】数列{a n }中，a 1=2, a n +1=

2a n

(n ∈N +) ，求数列{a n }的通项公式.

4+a n

2、迭代法：

a 、⑴已知关系式a n +1=a n +f (n ) ，可利用迭加法或迭代法；

a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) +(a n -2-a n -3) + +(a 2-a 1) +a 1

【例题】已知数列{a n }中，a 1=2, a n =a n -1+2n -1(n ≥2) ，求数列{a n }的通项公式

a a a a a

b、已知关系式a n +1=a n ⋅f (n ) ，可利用迭乘法. a n =n ⋅n -1⋅n -2⋅ ⋅3⋅2⋅a 1

a n -1a n -2a n -3a 2a 1

a n -1

【例题】已知数列{a n }满足：n =(n ≥2), a 1=2，求求数列{a n }的通项公式；

a n -1n +1

3、给出关于S n 和a m 的关系

【例题】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=a , a n +1=S n +3n (n ∈N +) ，设

b n =S n -3n ，

求数列{b n }的通项公式．

五、典型例题： A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想）

【例题】已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 4=9, a 9=-6, S n =63，求n ； 2）根据数列的性质求解（整体思想）

【例题】已知S n 为等比数列{a n }前n 项和，S n =54，S 2n =60，则S 3n = . B 、求数列通项公式（参考前面根据递推公式求通项部分） C 、证明数列是等差或等比数列 1) 证明数列等差

【例题】已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，b n =

S n

(n ∈N +) . 求证：数列{b n }是等差n

数列.

2）证明数列等比

【例题】数列{an }的前n 项和为S n ，数列{bn }中，若a n +Sn =n.设c n =an －1，求证：数列{cn }是等比数列；

D 、求数列的前n 项和

【例题1】求数列{2n +2n -3}的前n 项和S n . （拆项求和法） 【例题2】求和：S=1+

111++ +（裂项相消法） 1+21+2+31+2+3+ +n

x 2

【例题3】设f (x ) =，求：⑴f () +f () +f () +f (2) +f (3) +f (4) ； 2

1+x

⑵f () +f () + +f () +f (2010). ) +f () +f (2) + +f (2009

倒序相加

（

法 ）

【例题4】若数列{a n }的通项a n =(2n -1) ⋅3n ，求此数列的前n 项和S n . （错位相减法） 【例题5】已知数列{an }的前n 项和S n =12n－n ，求数列{|an |}的前n 项和T n . E 、数列单调性最值问题

【例题】数列{a n }中，a n =2n -49，当数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n =

2